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Lehrstuhl II fu ¨r Mathematik Prof. Dr. E. Triesch
http://www.math2.rwth-aachen.de WS 2007/2008
¨ 0. Ubung H¨ ohere Mathematik Themen: Logik, Mengen, Abbildung, Funktionen, Injektiv, Surjektiv Aufgabe 1. a)* Zeigen Sie, dass die logische Aussage A ⇒ B gleichwertig mit der Aussage ¬A ∨ B ist. b) Zeigen Sie, dass die logische Aussage A ⇔ B gleichwertig ist mit der Aussage (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B). c) Zeigen Sie: Ist (A∨B) wahr, so ist (A∧C)∨(B ∧C) gleichwertig mit (A ⇒ C)∧(B ⇒ C). d) Zeigen Sie die Distributivgesetze f¨ ur logische Aussagen: 1. (A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C). 2. (A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C). Aufgabe 2. Bilden Sie die Negation der folgenden Behauptungen: a) Alle Hunde essen K¨ase. b) Die sieben Zwerge wohnen hinter sieben Bergen. c) Es gibt Elefanten, die sprechen k¨onnen. d) Jede Giraffe kann springen, wenn sie gl¨ ucklich ist.
Aufgabe 3. Bilden Sie von folgenden Behauptungen die Negation und u ufen Sie den ¨berpr¨ Wahrheitsgehalt der Negation: a) F¨ ur alle x ∈ R existiert ein y ∈ N mit x < y. b) F¨ ur alle x ∈ Q existieren n, m ∈ N, so dass x =
n . m
c) Es existiert ein x ∈ Q, so dass f¨ ur alle n, m ∈ N gilt: x =
n . m
d) F¨ ur alle x ∈ R und f¨ ur alle y ∈ R existiert ein z ∈ R, so dass z 2 > x + y gilt. e) F¨ ur alle x ∈ R existiert ein z ∈ R, so dass f¨ ur alle y ∈ R gilt: z 2 > x + y. f) Es existiert ein z ∈ R, so dass f¨ ur alle x ∈ R und alle y ∈ R gilt: z 2 > x + y. Aufgabe 4. Bilden Sie den Schnitt (A ∩ B), die Vereinigung (A ∪ B), die Differenz (A \ B) und das kartesische Produkt A × B der folgenden Mengen: a) A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {1, 6, 7, 8, 2}. b) A = {1, 2, {3, 4}, 5} und B = {1, 3, 4}.
c) A = Z und B = R. d) A = {x ∈ Z | x < 3} und B = {x ∈ Z | x > −3}. e) A = {x ∈ R | 2 < 7} und B = {x ∈ Z | 2 < 7}. f) A = Q und B = {x + π | x ∈ N}. g) A = N und B = {x ∈ R | x2 = 1}. Aufgabe 5. Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf dem angegebenen Definitionsund Wertebereich auf Injektivit¨at, Surjektivit¨at und Bijektivit¨at. a) f : R → R, f (x) = x3 − 4x2 − x + 4.
b) f : R → R, f (x) = x + 2.
e) f : Z → N, f (x) = |x|.
f) f : (0, ∞) → (0, ∞), f (x) =
i) f : R → [0, ∞], f (x) = x2 .
j) f : Z → Z, f (x) = x2 .
c) f : R → R, f (x) = x2 − 1.
g) f : [0, ∞] → [0, ∞], f (x) = x2 .
L¨osung: a) nicht injektiv, surjektiv c) nicht injektiv, nicht surjektiv e) nicht injektiv, surjektiv g) bijektiv i) nicht injektiv, surjektiv
d) f : [−1, 1] → R, f (x) =
x−3 . x2 −2
h) f : [0, ∞] → R, f (x) = x2 .
b) bijektiv d) nicht injektiv, nicht surjektiv f) injektiv, nicht surjektiv h) injektiv, nicht surjektiv j) nicht injektiv, nicht surjektiv
√
x + 5.
Information: Mengen Eine Zusammenstellung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit nennt man Menge. Die Objekte heißen Elemente. Zwei Mengen A und B nennt man gleich, wenn sie genau diesselben Elemente enthalten. Geschrieben A = B. Wir nennen A eine Teilmenge der Menge B, kurz: A ⊂ B, wenn jedes Element von A auch zu B geh¨ort. A 6⊂ B bedeutet, dass A mindestens ein Element enth¨alt, das nicht in B liegt. Die leere Menge bezeichnen wir mit ∅. Sie ist Teilmenge jeder Menge. Enthalten zwei Mengen A und B u ¨berhaupt kein gemeinsames Element, so sagt man, dass A und B disjunkt sind. Das bedeutet: A ∩ B = ∅. Folgende Operationen sind mit Mengen m¨oglich: • Durchschnitt Der Durchschnitt von zwei Mengen A und B ist die Menge A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Sie besteht aus allen Elementen, die in beiden Mengen A und B enthalten sind. Bildet man den Durchschnitt der Mengen A1 , ..., An , so kann man abk¨ urzend schreiben T n A := {x | x ∈ A ∧ ... ∧ A }. 1 n i=1 i • Vereinigung Die Vereinigung von zwei Mengen A und B ist die Menge A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Sie besteht aus allen Elementen, die mindestens in einer der Mengen A oder B enthalten sind. Bildet man die Vereinigung der Mengen A1 , ..., An , so kann man abk¨ urzend schreiben S n i=1 Ai := {x | x ∈ A1 ∨ ... ∨ An }. • kartesisches Produkt Das kartesische Produkt von zwei Mengen A und B ist die Menge A × B := {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}. Sie besteht aus allen Paaren (x, y), wobei das erste Element aus der Menge A und das zweite Element aus der Menge B stammt. Bildet man das kartesische Q Produkt der Mengen A1 , ..., An , so kann man abk¨ urzend schreiben ni=1 Ai := {(x1 , ..., xn ) | x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An }. • Differenz Die Differenz von zwei Mengen A und B ist die Menge A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B}. Sie besteht aus allen Elementen, die in der Menge A und nicht in B enthalten sind.
