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Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe 4. Veranstaltung: Weitere Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten 09. Dezember 2015
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit 1. Aufgabe: Das Ergebnis einer Untersuchung über die Farbenblindheit bei 1000 Personen zeigt die untenstehende Tabelle, eine sog. Vierfeldertafel. (In Anlehnung an: Lambacher Schweizer. Stochastik. Stuttgart: Klett. 2001. S. 77.) Es wird eine Person per Los ausgewählt. a.) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A={ die Person ist männlich} B={die Person ist farbenblind} C= {die Person ist ein farbblinder Mann}
farbenblind nicht farbenblind
männlich 38 442 480
weiblich 6 514 520
44 956 1000
b.) Man hat irgendwie herausgefunden, dass die ausgeloste Person ein Mann ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person farbenblind? c.) Man hat irgendwie herausgefunden, dass die ausgeloste Person farbenblind ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person männlich?
Sind A, B beliebige Ereignisse mit P(A)0, so bezeichnet PA(B) die durch A bedingte Wahrscheinlichkeit von B, also die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis B eintritt, wenn das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt:
PA ( B)
P( A B) P( A)
2. Aufgabe: Einer medizinischen Statistik über den Zusammenhang zwischen Rauchen und Lungenkrebs kann man entnehmen, dass 30% der Bevölkerung rauchen, dass 0,92% der Bevölkerung an Lungenkrebs erkranken und dass 0,8% der Bevölkerung lungenkrebskranke Raucher sind. Wie groß ist das Krebsrisiko eines zufällig ausgewählten Rauchers und das eines Nichtrauchers? 3. Aufgabe: „Eine Fliesenfabrik sondert Fliesen als unbrauchbar aus, wenn sie sofort einen Form- als auch einen Farbfehler haben; sie verkauft Fliesen als II. Wahl, wenn sie nur einen Farbfehler aufweisen. Die Erfahrung zeigt, dass eine produzierte Fliese mit der Wahrscheinlichkeit von 5 % unbrauchbar ist und mit 20 % Wahrscheinlichkeit als II. Wahl verkauft werden muss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine Fliese mit Farbfehler außerdem einen Formfehler?“ (In: Lambacher Schweizer. Stochastik. Stuttgart: Klett. 2001. S. 78.) Tipp: Berechnen Sie zuerst, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Fliese einen Farbfehler hat.
2. Unabhängigkeit von Ereignissen, Multiplikationssätze Allgemeiner Multiplikationssatz (für zwei Ereignisse): Ist P(A)0, so gilt, dass
P( A B) PA ( B) P( A)
4. Aufgabe: 60% der Studenten einer Universität sind weiblich, 30% von ihnen haben keinen Führerschein. Überdies ist es bekannt, dass auch 20% der männlichen Studenten keinen Führerschein haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Student der Universität a.) männlich und hat keinen Führerschein b.) weiblich und hat einen Führerschein? (In Anlehnung an: Lambacher Schweizer. Stochastik. Stuttgart: Klett. 2001. S. 79.)
Das Ereignis B ist vom Ereignis A (P(A)0) unabhängig, wenn
PA ( B) P( B) gilt. 5. Aufgabe: Zeigen Sie, dass es gilt: Ist das Ereignis B mit (P(B)0) vom Ereignis A unabhängig, dann ist auch das Ereignis A vom Ereignis B unabhängig. 6. Aufgabe: Eine Untersuchung bezüglich der Blutgruppe unter 4000 zufällig ausgewählten Bürgern in Deutschland hat folgendes Ergebnis geliefert:
0 A B AB
männlich 256 861 728 58
weiblich 414 844 738 101
Überprüfen Sie, ob die Blutgruppen 0,A,B bzw. AB vom Geschlecht abhängig sind. 7. Aufgabe: Zeigen Sie die Gültigkeit des sog. speziellen Multiplikationssatzes für zwei Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn P( A B) P( A) P( B) gilt. 8. Aufgabe: Beweisen Sie, dass aus der Unabhängigkeit der Ereignisse A und B die Unabhängigkeit der Ereignisse A und B; A und B bzw. A und B folgt! 9. Aufgabe: Ein Auto hat zwei voneinander unabhängige Bremskreise. Der eine funktioniert mit 99 %, der andere mit 98 % Wahrscheinlichkeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide zugleich defekt? (In: Lambacher Schweizer. Stochastik. Stuttgart: Klett. 2001. S. 87.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktionieren beide gleichzeitig?
3. Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes Bei vielen Problemen wird die Ergebnismenge in mehrere einander gegenseitig ausschließende Ereignisse zerlegt und überdies die Wahrscheinlichkeit eines weiteren Ereignisses gesucht. Der Satz der vollständigen (totalen) Wahrscheinlichkeit besagt, dass in diesen Fällen die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus den Wahrscheinlichkeiten zusammensetzen lässt, die durch die Zerlegung der Ergebnismenge entstehen. Sei also S die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und es gelte: A1 , A2 ... An seien Ereignisse aus S, sodass Ai A j für i, j = 1, 2, …, n mit i≠j und A1 A2 ... An S gelten, dann heißt A1 , A2 ... An eine Zerlegung der Ergebnismenge S. Bilden die Ereignisse A1 , A2 ... An eine Zerlegung der Ergebnismenge S und ist P( Ai ) 0 für i=1,2,…,n, dann gilt für ein beliebiges Ereignis B:
P( B) P( B A1 ) P( B A2 ) ... P( B An )
PA1 ( B) P( A1 ) PA2 ( B) P( A2 ) ... PAn ( B) P( An ) 10. Aufgabe: An der FH Jena ist 64 % der Studierenden weiblich, 36% männlich. Es ist weiterhin aus einer Befragung bekannt, dass die Hälfte der Studentinnen und 54% der Studenten nebenbei auch jobben. Es wird ein/e Studierende/r zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet er/sie nebenbei? 11. Aufgabe: An der FSU Jena sind 28% der Studierenden im 1. Studienjahr, 22 % im 2. Studienjahr, 20% im 3. Studienjahr, 17 % im 4. Studienjahr und 13 % im 5. Studienjahr. Von ihnen haben 54%, bzw. 60%, bzw. 62 % bzw. 70 % und 75 % den Führerschein. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählte/r Studierende/r den Führerschein? Satz von Bayes: Bilden die Ereignisse A1 , A2 ... An eine Zerlegung der Ergebnismenge S und ist P( Ai ) 0 für i=1,2,…,n, ist weiterhin B ein beliebiges Ereignis, dann gilt für jedes Ai mit i=1,2,…,n: P( Ai B) P( Ai ) P( B) PB ( Ai ) P( B) PA1 ( B) P( A1 ) PA2 ( B) P( A2 ) ... PAn ( B) P( An ) 12. Aufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der/die zufällig ausgewählte/r Studierende/r aus der Aufgabe 10 männlich, wenn wir wissen, dass er/sie nebenbei jobbt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Person weiblich, wenn wir wissen, dass sie nebenbei nicht arbeitet? 13. Aufgabe: Mit welcher Wahrscheinlichkeit studiert die zufällig ausgewählte Person aus Aufgabe 11 im ersten Studienjahr, wenn es bekannt ist, dass sie den Führerschein hat? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie im 5. Studienjahr, wenn wir wissen, dass sie keinen Führerschein hat? 14. Aufgabe: Von einem bestimmten statistischen Krankheitstest ist es bekannt, dass er 98% der Kranken und 95% der Nichterkrankten richtig diagnostiziert. Weiterhin ist bekannt, dass ca. 1 % der Bevölkerung von dieser Krankheit betroffen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine als krank diagnostizierte Person wirklich diese Krankheit? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als gesund diagnostizierte Person wirklich gesund? (In Anlehnung an: Lambacher Schweizer. Stochastik. Stuttgart: Klett. 2001. S. 99.)
