1 Beugung Und Interferenz

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Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 1 6 Beugung und Interferenz, SpektrallinienEquation Section 6 Abbildung: Beugung am Einfachspalt 6.1 6.1.1 Theoretische Grundlagen Beugung am Einfachspalt Wird ein Spalt mit der Spaltbreite b mit parallelem Licht beleuchtet, so kommt es auf einem Schirm, der sich im Abstand l  b hinter dem Spalt befindet, zu Interferenzerscheinungen: Die Huygenschen Elementarwellen der Spaltöffnung interferieren, auf dem Schirm entsteht ein System heller und dunkler Zonen. Diese entstehen dadurch, dass Lichtwellen gleicher Phase sich gegenseitig verstärken und Lichtwellen in gegenläufiger Phase sich gegenseitig auslöschen. Näherungsweise kann man wie folgt argumentieren (Abb.6.1): Haben die von den Punkten A und C ausgehenden Randwellen einen Wegunterschied, der einem ganzzahligen Vielfachen einer ganzen Wellenlänge entspricht (d.h. die Länge der Strecke AB entspricht einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge), so kommt es unter der Richtung α zu einer Auslöschung aller Wellenzüge. Denn dann beträgt zum Beispiel der Gangunterschied zwischen einem 'Lichtbündel' am Rand bei C und einem in der Mitte gerade eine halbe Wellenlänge; diese beiden Bündel löschen sich also aus. Für jedes weitere Lichtbündel findet sich eines mit einem Gangunterschied von einer halben Wellenlänge; die Bedingung für die Intensitätsminima lautet Abb.6.1: Beugung am Einfachspalt demnach sin α= k ⋅ λ b ; k = 1, 2, 3,... (6.1) Beträgt der Wegunterschied AB ein halbzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge, d.h. sin = α 2k + 1 λ ⋅ 2 b (6.2) Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 2 so entsteht auf dem Schirm in Richtung α ein Intensitätsmaximum. Ist l der Abstand zwischen Beugungsspalt und Beobachtungsschirm und x der Abstand von der optischen Achse zu einem Beobachtungspunkt auf dem Schirm, so ergibt sich weiterhin x x = tan aa = bzw. arctan( ) l l (6.3) Mit Hilfe dieser Bedingungen lässt sich demnach die Wellenlänge oder aber die Spaltbreite b bestimmen, wenn die jeweils andere Größe bekannt ist. Wird der Spalt durch eine kreisförmige Öffnung mit dem Radius R (bzw. Durchmesser D) ersetzt, so entsteht eine radialsymmetrische Intensitätsverteilung, und es gilt für die Intensitätsminima der Beugungsfigur sin = α m ⋅ λ 2m ⋅ λ = R D mit m = 0.61, 1.12, 1.62, 2.12... (Diese Faktoren entstehen aufgrund der komplizierten Geometrie bei der Überlagerung der von einer Kreisfläche ausgehenden Elementarwellen; Stichwort: Bessel – Funktionen). Nach einem Theorem aus der Wellenoptik (Babinetsches Theorem) ist das Beugungsbild eines Spaltes gleich dem eines gleich breiten Gegenstandes. Wird der Spalt also durch ein gleich großes Hindernis ersetzt (Draht, Faden o.ä.), so gelten die oben aufgeführten Beziehungen für die Minima und die Maxima ebenso. 6.1.2 Beugung am Gitter Gegenüber dem Einfachspalt hat ein optisches Gitter eine Vielzahl sehr schmaler, parallel zueinander angeordneter Spalte (Abb.6.2). Die Zahl der Spalte beträgt bei den im Praktikum verwendeten Gittern bis zu 600 pro Millimeter Gitterbreite. Der Abstand zweier Spalte voneinander ist dann 1/600 mm oder 1 m 1,67 ⋅ 10−6 m=1,67 m m. = 600000 Dieser Spaltabstand heißt "Gitterkonstante" g. Für die folgende Argumentation wird angenommen, dass die Spaltbreite vernachlässigbar klein ist. Jeden einzelnen Spalt eines Gitters kann man näherungsweise als ein Huygensches Zentrum auffassen. Beleuchtet man ein Gitter mit monochromatischem Licht, so überlagern sich Abb.6.2: Beugung am Gitter die von den einzelnen Gitterspalten ausgehenden Elementarwellen so, dass – unter den Winkeln αk gegenüber der optischen Achse – eine Reihe von scharfen, hellen Maxima entsteht. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Wegunterschied ∆ der benachbarten Wellenzüge einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge entspricht: ∆ = k ⋅ λ = g ⋅ sin α mit k = 1, 2,3,... (6.4) Folglich gilt für die Winkelabhängigkeit der Maxima sin a max = k ⋅λ g (6.5) Ist der Wegunterschied ∆ nur geringfügig von k ⋅ λ verschieden, z.B. ∆ = g sin α min = k ⋅ λ + λ N (6.6) Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 3 (N = Anzahl der Gitterspalte, die zur Beugung beitragen), so interferieren die von je zwei um N 2 voneinander entfernten Spalten ausgehenden Wellenzüge zu einem Minimum. In ähnlicher Weise lassen sich für alle Abweichungen um z ⋅ λ N (z = 1, 2, 3, ... N − 1 ) von k · λ stets Paare von Wellenzügen finden, die untereinander einen Wegunterschied von einer halben Wellenlänge haben und sich daher auslöschen. Zwischen den scharfen Spektrallinien befinden sich demnach ( N − 1) Minima und Nebenmaxima, die allerdings mit steigendem N immer lichtschwächer werden. ( N − 2) sog. Eine genauere Untersuchung zeigt, dass das Beugungsbild eines Gitters das Beugungsbild des Einzelspaltes multipliziert mit einem durch das Gitter bestimmten Interferenzterm ist: 2 2  pb    pg  sin aa sin      sin  N  sin  ll     I (a ) = I 0   p b p g    sin a   sin  sin a    l l    ((    ((((  (((((( Beugungsterm Einzelspalt (6.7) Interferenzterm Gitter Im Abb.6.3 ist der Intensitätsverlauf für verschiedene N dargestellt ( g = 5b) . Abb.6.3: Normierter Intensitätsverlauf als Funktion des Beugungswinkel N der Gitterspalte. α für unterschiedliche Anzahl Die Einhüllenden stellen jeweils den Verlauf des Beugungsbildes des Einzelspaltes dar. Der Interferenzterm, der durch die Interferenz der Lichtwellen aus den N Spalten entsteht, führt zum Auftreten von Interferenzmaxima, zwischen denen jeweils N − 2 Nebenmaxima entstehen. Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 4 Emittiert die Lichtquelle eine weitere "Lichtfarbe" mit der Wellenlänge λ + ∆λ , so überlagert sich dem durch die Wellenlänge λ bestimmten Beugungsbild ein weiteres; jedoch ist hierbei gemäß Gl. (6.5)der Winkelabstand der Maxima größer: sin a max = k ⋅ ( λ + ∆λ ) g (6.8) Bei spektralanalytischen Messungen mit dem Gitterspektrometer ist die Frage von Belang, wie klein der Wellenlängenunterschied ∆λ werden kann, ohne dass die durch λ und ∆λ bestimmten Beugungsmaxima für den Beobachter ineinander "verschwimmen". Maßgeblich hierfür ist das Auflösungsvermögen A des Gitters. Man versteht darunter die Größe = A λ / ∆λ , die angibt, bei welchem Wellenlängenunterschied ∆λ noch getrennte Maxima erkennbar sind (nicht zu verwechseln mit dem Auflösungsvermögen des Mikroskops.). Für eine deutliche Trennung muss das Maximum der zweiten Welle (mit Wellenlänge λ + ∆λ ) mindestens über dem ersten Minimum neben dem entsprechenden Maximum der ersten Welle ( λ ) liegen (sogenanntes Rayleigh – Kriterium). Für das Maximum gilt nach Gleichung (6.5) g sin a max = k (λ + ∆λ ) (6.9) und für das erste Minimum gilt nach Gleichung (6.6) g sin α min = kλ + λ / N Wegen aa max ≥ min muss gelten k ( λ + ∆λ ) ≥ k λ + = A (6.10) λ N , woraus folgt λ ≤ kN . ∆λ (6.11) Das Auflösungsvermögen steigt also mit der Ordnungszahl k der beobachteten Maxima sowie mit der Zahl N der Gitterspalte, die vom parallelen Licht durchsetzt werden. 6.1.3 Auflösungsvermögen des Mikroskops Die Gesamtvergrößerung des Mikroskops ist t⋅s V= f Obj ⋅ f Ok (6.12) also der Tubuslänge t direkt und den Brennweiten von Objektiv und Okular umgekehrt proportional. Hieraus folgt, dass man im Prinzip Mikroskope mit beliebig hoher Vergrößerung konstruieren kann, indem man die Tubuslänge hinreichend vergrößert und Optiken mit sehr kleinen Brennweiten verwendet. Falsch ist allerdings der Schluss, dass man damit auch beliebig feine Strukturen eines Gegenstandes erkennen kann (Stichwort „leere Vergrößerung“). Als Auflösung bezeichnet man die Fähigkeit, zwei nebeneinander liegende Punkte des Objektes noch aufzulösen. Liegt nun die Objektgröße im Bereich der Größenordnung der Lichtwellenlänge, so lassen sich auch bei beliebiger Vergrößerung und bei Verwendung von Objektiven mit sphärisch und chromatisch korrigierten Linsen keine Einzelheiten des Objekts mehr erkennen. Ursache hierfür sind Beugungsphänomene: Ein Objektpunkt wird nämlich nie als Punkt, sondern immer als kleines Beugungsscheibchen abgebildet. Zwei Punkte mit dem Abstand d werden noch getrennt abgebildet, wenn die ihnen zugeordneten Beugungsscheibchen noch getrennt erscheinen. Man kann zeigen, dass dies bedeutet 0,610 ⋅ λ (6.13) d > d min = sin α Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 5 Hierbei ist α der halbe "Öffnungswinkel" des Objektivs, d.h. die Hälfte des Winkels, unter dem der nutzbare Durchmesser der Objektivlinse vom Objektpunkt aus gesehen wird. λ ist die Wellenlänge in dem Medium zwischen Objekt und Objektiv. Verwendet man z.B. eine Immersionsflüssigkeit 1 mit dem Brechungsindex n, so wird λ = λVak / n und 0,610 ⋅ λVak (6.14) d > d min = n ⋅ sin a Das Produkt n sin α in diesen Gleichungen heißt numerische Apertur NA; es handelt sich hierbei um eine gerätespezifische Konstante. Unter Auflösung versteht man den Kehrwert des kleinstmöglichen noch abbildbaren Abstands zweier Objektpunkte: n ⋅ sin a (6.15) = A 1/= d min 0,610 ⋅ λVak Die Gleichung zeigt, dass die Auflösung verbessert werden kann durch Verwendung von kurzwelligerem Licht (z.B. Blaufilter, UV-Mikroskopie) oder durch Vergrößerung der numerischen Apertur. Je höher der Wert der numerischen Apertur, desto höher auch das Auflösungsvermögen des Objektivs. Die Auflösung eines optischen Mikroskops ist also u.a. durch die Licht-Wellenlänge begrenzt (rund 400 bis 600 nm). Will man feinere Details untersuchen, muss man z.B. Elektronenmikroskope einsetzen, bei denen Elektronen mit Wellenlängen um 0,003 bis 0,03 nm verwendet werden. Noch zwei Anmerkungen: 1) Nach dem gerade Gesagten ist eine große Vergrößerung alleine noch keine Garantie dafür, dass feine Details des Objektes aufgelöst werden; auch das Auflösungsvermögen muss beachtet werden. Billiggeräte haben oft trotz hoher nominaler Vergrößerung sehr schlechte Auflösungen und liefern damit optisch leere Bilder. 2) Das Okular kann das vom Objektiv erzeugte Bild nur nachvergrößern. Details, die das Objektiv nicht liefert, kann auch das Okular nicht hinzufügen. Eine Kombination (Objektiv 40X, Okular 25X) liefert also trotz gleicher Gesamtvergrößerung 1000X detailärmere Bilder als die Kombination (Objektiv 100X, Okular 10X) Schließlich noch ein Zitat aus 'Bergmann - Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3, Optik': „Es muss noch erwähnt werden, dass die obigen Erörterungen insofern mit einer gewissen Willkür behaftet sind, als definitionsgemäß festgesetzt wurde, dass zwei Lichtpunkte erst dann zu trennen seien, wenn das Zentrum des einen Beugungsscheibchens mit dem ersten dunklen Ring des anderen zusammenfalle. Es wird aber unter Umständen eine Trennung auch schon dann möglich, wenn der Abstand etwas kleiner ist; das hängt von physiologischen Faktoren ab. Daher können unsere Betrachtungen nur die richtige Größenordnung des Auflösungsvermögens ergeben, was auch die Erfahrung bestätigt. Man fügt daher in der Praxis auf der rechten Seite der Gleichung [hier im Skript Gl. (6.15)] noch einen 'physiologischen Faktor' zu, der größer als 1 ist und nur im ungünstigsten Fall den Wert 1 selbst annimmt.“ 6.1.4 Speckles Beleuchtet man mit sichtbarem Laserlicht eine raue Oberfläche, sieht man unter geeigneten Umständen nicht einen gleichmäßig hellen Fleck. Das beleuchtete Gebiet scheint vielmehr mit hellen und dunklen Punkten einer bestimmten 'Korngröße' gesprenkelt zu sein (Sprenkel = speckle). Grund dafür sind Interferenzeffekte der Elementarwellen, die von jedem Punkt der streuenden Oberfläche ausgehen (Prinzip von Huygens). Die Zufallscharakteristik der (Geometrie der) diffus reflektierenden Oberfläche findet sich auch im beobachteten Sprenkel-Bild (speckle pattern). Mit Hilfe dieses Phänomens kann man Bewegungen von Oberflächen (z.B. Vibrationen, aber auch Veränderungen und Verformungen von Fresken) auf kleinsten Skalen beobachten (Bruchteile der Lichtwellenlänge); das Verfahren wird u.a. im Denkmalschutz eingesetzt. 1 Flüssigkeit zwischen Objektiv und Präparat, z.B. Immersionsöl (n=1,52), Wasser (n=1,33) oder Glycerin (n=1,47). Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 6 Das Zufalls-Interferenzfeld der Speckles existiert an allen Punkten im Raum zwischen beleuchteter Oberfläche und Beobachter. Dass die Speckles nicht auf der Oberfläche lokalisiert sind, sieht man schon alleine daran, dass das Auge diese 'Granularität' immer scharf sehen kann, aus jeder Entfernung und aus jedem Winkel, ob kurz-, weit- oder normalsichtig, ob mit oder ohne Brille. (Mit einer Brille wird man eine andere Verteilung der Sprenkel sehen, aber ihre Schärfe ändert sich nicht.) Die meisten Beobachter haben Schwierigkeiten, ein Objekt im Fokus zu halten, wenn es mit Laserlicht beleuchtet wird, weil das Auge unwillkürlich versucht, sich auf die Sprenkel auf dieser Oberfläche scharf einzustellen. Das ist aber unmöglich, weil eben die Speckles nicht in irgendeiner festen Ebene im Raum lokalisiert sind. Wird z.B. eine Zeitungsseite mit Laserlicht beleuchtet, verschwindet unter geeigneten Bedingungen die Schrift, wenn man das Auge 'scharf' einstellt. Wenn man aber den Kopf einigermaßen schnell bewegt, sorgt die Trägheit des Auges dafür, dass das Sprenkelbild verschwindet und die Schrift wieder scharf erscheint. 6.1.5 Atommodelle und Spektrallinien 6.1.5.1 Das Rutherfordsche Atommodell Nach der von Rutherford auf Grund seiner berühmten Streuversuche entwickelten Modellvorstellung vom Bau des Atoms befindet sich fast die gesamte Masse und die gesamte positive elektrische Ladung im Kern, dessen Größe etwa 10–14 m beträgt. Umgeben ist der Kern von Z (=Ordnungszahl) Elektronen, die insgesamt die Ladung des Kerns kompensieren. Mit dieser Elektronenhülle erreicht das Atom eine Größe von ca. 10-10 m. Das Verhältnis Atomdurchmesser zu Kerndurchmesser beträgt damit 104, d.h. der größte Teil des Atoms besteht aus 'leerem Raum'. Etwas anschaulicher werden die Größenverhältnisse, wenn man sich den Kern als Kügelchen von 1 cm Durchmesser vorstellt. Dann hat das gesamte Atom den Durchmesser 100 m. In Rutherfords Atommodell umlaufen die Elektronen den Kern auf Kreisbahnen, auf denen sie durch die elektrostatische Anziehung vom positiven Kern gehalten werden. Diese Vorstellung ist aber nicht haltbar, vor allem deswegen, weil ein Elektron auf einer Kreisbahn eine beschleunigte Ladung darstellt. Beschleunigte Ladungen strahlen aber immer Energie ab; die Elektronen auf ihrer 'Kreisbahn' würden also andauernd Bewegungsenergie verlieren und folglich in den Kern spiralen, was zu einem raschen Kollaps des Atoms führen würde. Außerdem gibt es in Rutherfords Modell keinerlei Einschränkungen für die möglichen Elektronenbahnen; mithin kann man ein Spektrum mit diskreten Linien in diesem Modell nicht erklären. 6.1.5.2 Das Bohrsche Atommodell Zur Klärung der Widersprüche des Rutherfordschen Atommodells formulierte Niels Bohr 1913 einige adhoc-Annahmen, mit denen die Gesetze der Klassischen Physik - allerdings nur für atomare Größenordnungen außer Kraft gesetzt wurden. Die Bohrschen Postulate besagen z.B. (siehe Abb.6.4): Die Elektronen können sich nur auf einzelnen ganz bestimmten ("diskreten") Kreisbahnen mit den Radien rn bewegen. Diesen Radien rn sind eindeutig Energien En zugeordnet: Ein Elektron, das sich auf der ersten / Abb.6.4: Schematische Darstellung des Bohrschen zweiten usw. Kreisbahn (Radius r1 / r2 usw) bewegt, hat Atommodells die Energie E1 / E2 usw. Die Bewegung auf einer Kreisbahn erfolgt strahlungsfrei. Die Elektronen können aber von einer Bahn n1 auf eine andere Bahn n2 wechseln. Dabei wird Energie mit der Umgebung ausgetauscht. Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 7 6.1.5.3 Quantenmechanik Die wesentliche Leistung des Bohrschen Modells ist die Erkenntnis, dass es diskrete Energiezustände von Atomen oder Molekülen gibt (Quantisierung der Energie) und dass jeder Spektrallinie, die ein Atom oder Molekül emittieren oder absorbieren kann, die Differenz zweier Energiezustände dieses Teilchens entspricht. Als theoretische Beschreibung der atomaren Welt taugt das Modell weniger. Zwar stimmen die nach dem Bohrschen Modell berechneten Energiewerte von Atomen mit einem Elektron in erster Ordnung gut mit den gemessenen Frequenzen überein. Eine genauere spektroskopische Untersuchung zeigt aber, dass das Spektrum viel differenzierter aufgebaut ist (Feinstruktur- und Hyperfeinstrukturaufspaltung); dieses Fakt kann das Bohrsche Modell nicht erklären. Es versagt außerdem - das ist vielleicht noch wichtiger - vollkommen bei der Berechnung der Spektren von Atomen mit zwei oder mehr Elektronen, Molekülen oder gar Festkörpern, d.h., fast überall. Tatsächlich gibt es seit über 70 Jahren eine bessere Beschreibung der mikroskopischen Welt, nämlich die Quantenmechanik. Sie liefert die Begründung für die von Bohr 1913 ad hoc aufgestellten Postulate; mit ihrer Hilfe lassen sich die Spektren auch von komplizierten Molekülen usw. sehr genau berechnen. Dass das Bohrsche Modell angesichts dieser Lage immer noch 'populär' ist, liegt im wesentlichen daran, dass das Vorgehen der Quantenmechanik sehr formal (= mathematisch) und nicht im Alltagssinn anschaulich ist. Das Bohrsche Modell, das auf griffige und 'alltagsvertraute' Vorstellungen gründet, ist dagegen vergleichsweise einfach - mit dem Nachteil, dass man eben nur ein kleines Stück der physikalischen Welt 'erklären' kann. Allerdings muss man auch diese Bemerkung stark einschränken. Im Bohrschen Modell werden nämlich Begriffe verwendet, die in der Quantenwelt ihren Sinn verlieren. Zum Beispiel kann man nicht von der 'Bahn' eines Elektrons sprechen; nach allem, was man heute weiß, kann man nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben, das Elektron an einem bestimmten Punkt in der Nähe des Atomkerns anzufinden (Aufenthaltswahrscheinlichkeit, "Wahrscheinlichkeitswolke"), wobei diese Wahrscheinlichkeitswolke davon abhängt, in welchem Zustand, d.h. in welchem der quantisierten Energieniveaus sich das Elektron befindet. Abb.6.5: Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im H-Atom. a: Grundzustand; b, d, e: angeregte Zustände. (Nach Haken, Wolf: Atom- und Quantenphysik) Man darf also nicht im mechanisch - anschaulichen Bild der Elektronenbahnen ein wirklichkeitsgetreues Abbild des Atoms sehen. Ein solches Abbild ist nicht möglich. Es handelt sich beim Bohrschen Modell lediglich um ein "gedankliches Hilfsmittel", eben ein Modell, mit dem wir bei Atomen mit einem Elektron die auftretenden atomaren Phänomene ansatzweise beschreiben können. Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 8 6.1.5.4 Energieniveaus und Spektren Bei einem Wechsel in einen Zustand höherer Energie (d.h. En2 > En1 ) muss das Elektron von außen die Energiedifferenz erhalten. Dieser Vorgang wird als Anregung des Atoms bezeichnet und kann z. B. durch Absorption eines Photons mit der Energie E = h ⋅n = En2 − En1 geschehen. Wechselt ein Elektron in einen Zustand niedrigerer Energie (d.h. En1 > En2 ), so kann ein Photon emittiert werden und die frei werdende Energie mitnehmen. Dann gilt: En1 − En2 =⋅ hn. Um die Energieniveaus zunächst grob zu bestimmen, kann man zunächst von feineren Effekten (Feinstruktur-Aufpaltung etc.) absehen. Für das Wasserstoffatom (und wasserstoffähnliche Atome, also ionisierte Atome wie He+, Li++, die ebenso wie Wasserstoff nur ein Elektron haben) ergeben sich dann folgende Energieniveaus: m ⋅ e4 1 (6.16) n = 1, 2,3,... En = − e2 2 ⋅ 2 8⋅e0 ⋅ h n mit Elektronenmasse = e 1,602 ⋅10−19 As ; Influenzkonstante me 9,109 ⋅10−31 kg ; Elementarladung= = ε 0 8,854 ⋅10−12 As / Vm . In dieser Gleichungen ist nur die Hauptquantenzahl n variabel, alle anderen Größen sind Konstanten. Damit gilt für die Energiedifferenz ∆E bei einem Elektronenübergang vom Zustand n1 zum Zustand n2 :  me ⋅ e 4 1   me ⋅ e 4 1  me ⋅ e 4  1 1  ∆E = En1 − En2 = − ⋅ − − ⋅ = − 2  (6.17)  2 2 2   2 2 2  2 2  2  8 ⋅ e 0 ⋅ h n1   8 ⋅ e 0 ⋅ h n2  8 ⋅ e 0 ⋅ h  n2 n1  Ist n2 < n1 und damit En2 < En1 , so manifestiert sich die freiwerdende Energie ∆E in Form eines Photons, dessen Frequenz gegeben ist durch ν = ∆E / h . Das gleiche Energiequantum muss aufgewendet werden, um das Atom "anzuregen", d.h. um das Elektron auf einen Zustand höherer Energie anzuheben. Über die Beziehung (c: Lichtgeschwindigkeit) (6.18) c= λ ⋅ν kann auch die entsprechende Wellenlänge λ bestimmt werden. Die Frequenz des emittierten Lichts ist um so größer (und damit die Wellenlänge um so kleiner), je größer der Unterschied der beiden Quantenzahlen n1 und n2 ist. Bei größeren Unterschieden zwischen den Energiestufen kommen nicht etwa mehrere Photonen frei, sondern pro Übergang nur ein Photon, dieses jedoch mit größerer Frequenz. Man klassifiziert diese Spektren nach dem Endzustand des Elektrons, auf den es von einem höheren Energieniveau 'herunterfällt' (wobei ein Photon emittiert wird). Sei also n1>n2. Die (historisch bedingten) Namen dieser Spektren lauten Endzustand n2 1 2 3 4 Name Lyman-Serie Balmer-Serie Paschen-Serie Brackett-Serie Bereich Ultraviolett Sichtbar nahes Infrarot fernes Infrarot Der Vorfaktor in Gl. (6.17) enthält nur konstante Größen und ist daher insgesamt eine Konstante mit dem me ⋅ e 4 Wert = 13,6 eV ; dies ist die Grundzustandsenergie des Wasserstoffatoms. 8 ⋅ e 02 ⋅ h2 Üblich ist auch die Angabe der sogenannten Rydberg-Konstanten R∞ , me ⋅ e 4 = 1,09737315683 ⋅107 m −1 . Eine genauere Betrachtung als die oben 8 ⋅ e 0 2 ⋅ h3 ⋅ c durchgeführte ergibt eine Abhängigkeit der Rydberg-Konstanten von der Kernmasse in der Form R∞ . So erhält man für den 'normalen' und schweren Wasserstoff H und D die R= (1 + me / mKern ) = R∞ Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 9 −1 Werte RH 1,09677584 ⋅107 m= und RD 1,09707419 ⋅107 m −1 . Damit hat man die Möglichkeit, = spektroskopisch die Anteile der beiden Isotope festzustellen. Das Spektrum einer Substanz ist für sie charakteristisch, sozusagen eine Art Fingerabdruck. Es kann als Erkennungszeichen für die Anwesenheit bestimmter Stoffe in einem Gemisch unbekannter Zusammensetzung dienen und ermöglicht Schlüsse auf die molekulare Struktur der absorbierenden Substanz. Spektroskopische Methoden gehören daher zu den wichtigsten Analysemethoden in vielen naturwissenschaftlichen Bereichen, unter anderem in der Biochemie. 6.2 6.2.1 Experimentelle Aufgaben Beugung am Einfachspalt - Bestimmung der Spaltbreite Geräte: güner Laserpointer (λ=532 nm), optische Bank, Reiter, Spalt in Justierfassung, Schirm, Verschiebeeinrichtung, Photodiode in Fassung, Voltmeter Auf der optischen Bank werden ein Laser als Lichtquelle, ein Spalt und ein Schirm befestigt und genau auf die optische Achse justiert, so dass das Beugungsbild auf dem Schirm zu sehen ist (siehe Abb.6.6). Zur Detektion der Intensitätsverteilung wird der Schirm aus dem Aufbau entfernt; an seiner Stelle wird ein quer verschiebbarer Reiter mit einer Photodiode auf der optischen Bank befestigt. Die Photodiode wandelt die ortsabhängige Lichtintensität in ein proportionales elektrisches Spannungssignal um, das mit einem Voltmeter gemessen werden kann. Zunächst wird die Photodiode mit den Feinverschiebeeinheiten vertikal (y-Richtung) und horizontal (x-Richtung) zur Ausbreitungsrichtung des Laserstrahls (optische Achse) so verschoben, dass ein maximales Spannungssignal angezeigt wird. Dann befindet sich die Öffnung des Fotodetektors genau in der optischen Achse. Anschließend wird die Photodiode in geeigneten Schritten in x-Richtung verschoben und die der Lichtintensität proportionale Spannung in Abhängigkeit vom Abstand x zur Achse Abb.6.6: Schematischer Versuchsaufbau Beugung gemessen. Dabei sollen mindestens zwei Nebenmaxima am Einfachspalt erfasst werden. Der gemessene Spannungsverlauf wird in einem Diagramm logarithmisch gegen den Abstand aufgetragen. Aus den Querabständen xk der Intensitätsmaxima und dem Abstand l zwischen Spalt und Photodiode kann mit Gl.(6.2) und Gl.(6.3) der Sinus des Beugungswinkels k-ter Ordnung bestimmt werden. Mit Hilfe der gemessenen Größen und der bekannten Lichtwellenlänge λ soll die Breite b des verwendeten Spaltes bestimmt werden. Was ergibt ein Vergleich mit dem aufgedruckten Wert, was sind mögliche Fehlerursachen? 6.2.2 Bestimmung der Dicke eines Hindernisses Geräte: HeNe-Laser (λ=633 nm), optische Bank, Reiter, Draht in Justierfassung, Schirm mit Millimeterpapier Statt auf den Spalt, trifft das Licht nun auf einen dünnen Draht, dessen Dicke gemessen werden soll. Die Messung wird mit Hilfe des Schirms (statt der Photodiode) vorgenommen, indem die Maxima direkt auf dem Millimeterpapier markiert und ausgemessen werden. Aus den Querabständen xk der Intensitätsmaxima und dem Abstand l zwischen Draht und Schirm kann wiederum mit Gl.(6.2) und Gl.(6.3) der Sinus des Beugungswinkels k-ter Ordnung bestimmt werden. Mit Hilfe der gemessenen Größen und der bekannten Lichtwellenlänge λ soll die Dicke des verwendeten Drahtes bestimmt werden. Was ergibt ein Vergleich mit dem Ergebnis aus 6.2.1? Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie 6.2.3 Kap.6: Beugung und Interferenz 10 Gitterspektrometer: Wellenlängenmessung und spektrale Auflösung Geräte: Spektrallampen, Stativ mit Fassung, Netzgerät für Spektrallampe, Spektro-Goniometer, Gitter 1. Die Wellenlängen der im sichtbaren Bereich liegenden Spektrallinien des Heliums (oder Quecksilbers) sind mit Hilfe eines Spektro-Goniometers zu vermessen. Dazu wird die Spektrallampe direkt vor den Eintrittsspalt des Spektrometers gestellt, und es werden die Winkel, unter denen die einzelnen Spektrallinien durch das Gitter gebeugt werden, bestimmt. Hieraus lassen sich aufgrund der Beugungsgesetze am Gitter (Gl.(6.5)) die Wellenlängen berechnen. Voraussetzung für eine saubere Messung ist u.a., dass das Gitter genau senkrecht zum einfallenden Licht ausgerichtet ist (Drehtisch am Gerät arretieren). Dieser Versuchsteil ist mit dem 600-er Gitter durchzuführen. 2. In gleicher Weise werden die Wellenlängen im Emissionsspektrum des Natriums vermessen. Es handelt sich dabei (im wesentlichen) um zwei Linien, deren Wellenlängenunterschied ∆λ nur ( 0,6 ⋅10−9 m ) beträgt. Dieser Versuchsteil ist mit dem 100-er und dem 600-er Gitter 0,6 nm= durchzuführen. Wie groß ist die zur deutlichen Trennung beider Spektrallinien erforderliche Auflösung des Spektrometers? Mit welchen experimentellen Parametern kann diese Auflösung erreicht werden? Vergleichen Sie Ihre Beobachtungen mit den Daten des Spektrometers. Hinweis: Achten Sie bitte darauf, dass die Winkel auf dem Goniometer in Grad und nicht im Bogenmaß angegeben sind. 6.2.4 CD oder DVD? Geräte: güner Laserpointer (λ=532 nm), optische Bank, Reiter, CD - und DVD – Rohling in UHalter mit Kunststoffplatte CD - und DVD - Rohlinge besitzen vorgepresste Spuren, um den Schreiblaser zu führen. Die Spuren wirken bei Lichteinfall wie ein Reflexionsgitter (daher das Farbenspiel auf der vermeintlich glatten Oberfläche zum Beispiel unter einer Lampe). Der Spurabstand einer CD beträgt (1,6±0,1)µm, der einer DVD (0,74±0,01)µm. Zur Vermessung der Spurabstände wird ein einfacher Beugungsversuch benutzt. Ein Laserstrahl trifft durch einen durchbohrten Schirm auf den jeweiligen Rohling. Justieren Sie die Rohlinge so auf der optischen Bank, dass Sie senkrecht zur optischen Achse stehen. Das Beugungsmuster der Rohlinge wird nun in Reflexion auf dem Schirm, der mit Millimeterpapier beklebt ist, sichtbar. Die Positionen von je zwei Beugungsmaxima des jeweiligen Rohlings werden markiert und ausgemessen. Aus diesen Daten und dem Abstand l zwischen Schirm und Rohling werden die jeweiligen Spurabstände bestimmt und mit den obigen Angaben verglichen. Welche Spurabstände ergeben sich aus der Vermessung des jeweiligen Beugungsbildes? Welches ist die CD, welches die DVD? 6.2.5 Auflösungsvermögen des Mikroskops - Bestimmung der Objektivapertur Geräte: Optische Bank, Mikroskoptubus, 2 Leuchtdioden in Messverschiebereiter, Spannungsquelle 6 V=, Kreisblende, Okular, 1 Objektiv in Objektivrevolver. Die numerische Apertur NA eines Mikroskopobjektivs soll gemessen und mit dem aufgeprägten Wert verglichen werden. Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.6: Beugung und Interferenz 11 Zur Messung werden die Geräte so justiert, dass die Öffnung der Kreisblende scharf in der Mitte des Gesichtsfeldes des Mikroskops zu sehen ist. Anschließend wird das Okular entfernt und das Bild der Leuchtdioden im Tubus beobachtet (Abstand Auge – Mikroskop > 30 cm.). Die Dioden werden dann soweit nach außen geschoben, bis ihre Bilder auf dem Rand des Gesichtsfeldes liegen. Bei weiterer Verschiebung über diesen Punkt hinaus werden die Dioden nicht mehr abgebildet. Über geometrische Beziehungen kann nun die numerische Apertur berechnet werden 1d ) ( NA = n sin(aa ) ≈ n tan( ) = Abb.6.7: Schematischer Aufbau zur Bestimmung 2e der numerischen Apertur 1. Wie groß ist das Auflösungsvermögen des Objektivs bei dem für die Messung verwendeten Rotlicht der Wellenlänge ca. 600 nm ? 2. Wie groß ist der kleinste Abstand zweier Objektpunkte, den das Objektiv bei Verwendung von blauem Licht mit der Wellenlänge 420 nm noch auflösen kann? 6.2.6 Speckles Geräte: Laser, Linse, Streuscheibe Ein Laser und eine Linse (evtl. noch eine Streuscheibe) werden auf einer optischen Bank auf die optische Achse justiert. Der Raum wird völlig abgedunkelt. (" ...the disk ... appears speckled with bright and dark regions that sparkle and shimmer in a dazzling psychodelic dance." "Optics", Hecht, Zajac, Addison-Wesley Publishing Company). - Wie sind die nun sichtbaren Speckles zu erklären? Warum kann man sie nicht mit dem Licht einer Glühlampe oder mit Tageslicht erzeugen? Warum sieht man keine Speckles, wenn man a) Milch, b) eine Hand mit Laserlicht bescheint? Drehen Sie den Kopf nach links und rechts. Bewegen sich die Speckles mit oder gegen die Kopfbewegung? (Im ersten Fall sind Sie normal- oder fernsichtig, im zweiten Fall kurzsichtig.) 6.2.7 Spektrallinien: Die Balmer–Serie des Wasserstoffatoms Geräte: Spektralröhre mit Wasserstoff – Füllung, Halterung, Netzgerät 5 kV, 2 Maßstäbe (einer davon weiß, mit 2 Reitern), Gitter 600 / mm, Gitterhalterung, Spaltblende, Stativmaterial Mit Hilfe der dargestellten Messanordnung in Abb. 6.8 sollen die Wellenlängen des Lichts bestimmt werden, das von angeregtem Wasserstoffgas beim Übergang von höheren in niedrigere Energiezustände emittiert wird. Eine mit H2 gefüllte Spektralröhre (R, senkrecht zur Papierebene) steht vor einem Maßstab (M), auf dem 2 verschiebbare Reiter angebracht sind. Im Abstand a (ausmessen) vor der Spektralröhre befindet sich ein Gitter G; die Gitterebene ist parallel zu M ausgerichtet. Wird die Spektralröhre durch das Gitter hindurch betrachtet, so kann mit Hilfe der beiden verschiebbaren Reiter der Abstand 2x der beidseitig der Röhre erscheinenden Spektrallinien (jeweils gleicher Ordnung) gemessen werden. Es sind eine Vielzahl von Linien zu erkennen, die z.T. vom molekularen Wasserstoff herrühren. Die Balmer-Linien vom atomaren Wasserstoff erkennt man an der größeren Intensität. Bei entsprechender Dunkeladaption des Auges sind 4 Linien beobachtbar. Der Beugungswinkel ϕ ergibt sich dann aus der Beziehung Physik für Biologie und Zwei-Fächer-Bachelor Chemie sin ϕ = x x + a2 Die Wellenlängen ergeben sich aus der Winkelabhängigkeit der Maxima bei der Beugung am Gitter nach Gl. 6.5 mit k = 1 . 2 Berechnen Sie nach Gleichung (6.17) die Energien des Wasserstoffatoms für die Hauptquantenzahlen n2 = 2 und n1 = 3,4,5,6,∞, sowie die Energiedifferenzen bei den Übergängen von n1 nach n2 und die dazugehörigen Wellenlängen. Für welche Übergänge entsteht Licht im sichtbaren Bereich? Vergleichen Sie diese theoretischen Werte mit ihren Messwerten. Kap.6: Beugung und Interferenz 12 (6.19) Abb.6.8: Schematischer Aufbau zur Vermessung von Spektrallinien