Transcript
¨ 9. UBUNGSBLATT, 13. JUNI 2016
(1) Ermitteln Sie die bedingte Faktornachfragefunktion z(w, q) und die langfristige Kostenfunktion c(w, q) f¨ ur die folgenden Produktionsfunktionen: (a) f (z) = z1 + z2 (b) f (z) = min{z1 , z2 } (2) Langfristige Kostenminimierung: Gegeben sei die Cobb-Douglas Produktionsfunktion f (z1 , z2 ) = z1α z2β ,
α > 0, β > 0
(a) Ermitteln Sie die bedingte Faktornachfragefunktion z(w, q). (b) Ermitteln Sie die Kostenfunktion c(w, q) und stellen Sie diese graphisch als Funktion der Produktionsmenge q dar (mit q auf der Abszisse). Unterscheiden Sie zwischen den F¨ allen α + β < 1, α + β = 1 und α + β > 1. (c) Berechnen Sie die langfristigen Grenzkosten M C(w, q) und stellen Sie diese graphisch als Funktion der Produktionsmenge q dar (mit q auf der Abszisse). Unterscheiden Sie zwischen den F¨ allen α + β < 1, α + β = 1 und α + β > 1. (d) Berechnen Sie die langfristigen Durchschnittskosten AC(w, q). Diskutieren Sie den Zusammenhang zwischen AC(w, q) und M C(w, q) in Abh¨angigkeit der F¨alle α+β < 1, α + β = 1 und α + β > 1. Anmerkung: (nicht zu beweisen) Wenn f (z) homogen vom Grad r > 0 ist, dann gilt: c(w, q) = q 1/r c(w, 1) und z(w, q) = q 1/r z(w, 1) (3) Eigenschaften der Grenkosten C 0 (q) und Durschnittskosten AC(q): q ) f¨ ur jedes q¯ gilt welches die Bedingung AC(¯ q ) ≤ AC(q) Zeigen Sie, dass AC(¯ q ) = C 0 (¯ ∀q erf¨ ullt. (4) (a) Zeigen Sie, dass gilt: wenn f (z) homogen vom Grad Eins ist, d.h. konstante Skalenertr¨ age aufweist, dann ist z(w, q) homogen vom Grad Eins in q. (b) Zeigen Sie, dass gilt: wenn f (z) konkav ist, dann ist c(w, q) eine konvexe Funktion in q. (5) Eine Firma hat 2 Betriebsst¨ atten mit den Kostenfunktionen c1 (q1 ) = q12 /2 und c2 (q2 ) = q2 . Wie sieht die Kostenfunktion der Firma aus? (6) Eine Firma hat folgende Produktionsfunktion q = z1 z2 . Nehmen Sie an, dass die minimalen Kosetn der Produktion bei den Faktorpreisen w1 = w2 = 1 c(w, q) = 4 betragen. Bestimmen Sie den Output q.
1
(7) Zeigen Sie, daß im Falle einer Produktionsfunktion, welche die globale Eigenschaft konstanter Skalenertr¨ age aufweist, die L¨osung des Profitmaximierungsproblems nicht eindeutig ist und jeder profitmaximierenden Faktorkombination ein Profit in der H¨ohe von Null entspricht. (8) Nehmen Sie folgende Produktionsfunktion (mit nur einem Input z) an: f (z) = 20z − z 2 und nehmen Sie weiters an, daß der Preis des produzierten Gutes auf 1 normiert wurde. Der Preis des Inputs z ≥ 0 sei w. Beantworten Sie folgende Fragen: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
Geben Sie die Bedingung erster Ordnung f¨ ur ein Profitmaximum z > 0 an. F¨ ur welche Werte von w ist es optimal den Input z auf Null zu setzen? F¨ ur welchen Wert von w wird der optimale Input auf z = 10 gesetzt? Leiten Sie die Faktornachfragefunktion her. Leiten Sie die Profitfunktion her. Bilden Sie die Ableitung der Profitfunktion in Bezug auf w. Welchen Ausdruck erhalten Sie?
(9) Betrachten Sie ein Unternehmen mit folgender kurzfristiger Gesamtkostenkurve: C(q) = 100 + 2q + q 2 (a) Ab welchem Preis produziert das Unternehmen kurzfristig? Wie viel produziert das Unternehmen bei einem Preis p = 25? (b) Nehmen Sie an, daß langfristig f¨ ur q > 0 die gleiche Kostenstruktur gilt und C(0) = 0 gilt. Ab welchen Preis produziert das Unternehmen langfristig? (10) Betrachten Sie die folgende Graphik in welcher der Erl¨os R = py, die Kosten C und der Profit π(y) als Funktion des Output y angegeben sind. Besprechen Sie anhand dieser Graphik die Bedingungen der Profitmaximierung. Geben Sie in einem zweiten Diagramm den entsprechenden Verlauf der Grenzkosten, der langfristigen Durchschnittskosten, des Grenzprofit (dπ/dy), sowie des Preises p an.
ANMERKUNG: Es werden folgende Beispiele zum ankreuzen sein: 1a, 1b, 2a, 2b, 2cd, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Das ¨ Beispiel 4 wird in der Ubung gezeigt und ist NICHT zum ankreuzen.
2
