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12.07.16
1. Haftung ●
Das Coulombsche Gesetz: –
Betrachtet wird ein Klotz auf einer rauen Oberfläche, an dem eine horizontale Kraft F angreift: F
g
m
rau –
Die Erfahrung zeigt: Solange die Kraft F einen bestimmten Betrag nicht überschreitet, bleibt der Körper in Ruhe.
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-1
12.07.16
1. Haftung –
Gleichgewicht:
∑ F x =0 ∑ F y=0
: −H + F =0 → H =F
G F
: −G + N =0 → N =G
–
Der Körper haftet für F =H < H 0 .
–
Coulombsches Gesetz:
–
Haftbedingung:
H 0 =μ 0 N
y
H N
x
H < H 0 =μ 0 N
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-2
12.07.16
1. Haftung –
Die Haftungskraft ist so gerichtet, dass die Bewegung verhindert wird.
–
Der maximale Wert H0 ist näherungsweise proportional zur Normalkraft N.
–
Der Proportionalitätsfaktor μ0 heißt Haftungskoeffizient oder Haftzahl.
–
Der Haftungskoeffizient hängt vom Material und der Beschaffenheit der Oberflächen ab.
–
Der Angriffspunkt der Normalkraft N kann aus dem Momentengleichgewicht bestimmt werden.
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-3
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1. Haftung ●
Typische Werte des Haftungskoeffizienten μ0: Stahl auf Eis Stahl auf Stahl (blank) Stahl auf Stahl (rostig) Stahl auf Teflon Leder auf Grauguss Leder auf Metall Holz auf Holz Autoreifen auf Straße Ski auf Schnee
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5. Haftung und Reibung
0,03 0,1 ... 0,15 0,3 ... 0,8 0,04 0,2 ... 0,3 0,2 ... 0,6 0,5 0,7 ... 0,9 0,1 ... 0,3
TM 1 5.1-4
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1. Haftung ●
Haftungswinkel: –
Der Haftungswinkel gibt die maximal mögliche Abweichung der Wirkungslinie der Reaktionskraft von der Normalenrichtung an, bei der noch Gleichgewicht herrscht.
G Fmax
N
ρ0
tan (ρ 0 )=
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5. Haftung und Reibung
H0 A
H0 N
=μ 0
TM 1 5.1-5
12.07.16
1. Haftung –
Gleichgewicht ist möglich, wenn die benötigte Reaktionskraft innerhalb des Haftungskeils bzw. Haftungskegels liegt. Haftungskeil:
Haftungskegel:
ρ0 A
A
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5. Haftung und Reibung
ρ0
TM 1 5.1-6
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1. Haftung ●
Beispiel 1: Schiefe Ebene
–
Gegeben: ●
–
Haftungskoeffizient μ0 = 0,2
Gesucht: ●
mg
Winkel α0 , bei dem der Körper anfängt zu gleiten
α
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-7
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1. Haftung –
Gleichgewicht:
∑ F x =0
: H −m g sin (α)=0
H
→ H =m g sin (α)
∑ F y=0
: N −m g cos (α)=0
→ N =m g cos (α) –
α y
x
N
mg
Haftbedingung: H < H 0 =μ 0 N → m g sin (α)<μ 0 m g cos (α) → tan (α)<μ 0 → α<α 0 =ρ0 (Haftungswinkel)
–
Zahlenwert:
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tan (α 0 )=0,2 → α 0 =11,3° 5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-8
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1. Haftung ●
Beispiel 2: Keilnut
–
A
–
Gegeben: ●
Anpresskraft A
●
Keilwinkel α
●
Haftungskoeffizient μ0
Gesucht: ●
F
durch Haftung übertragbare Kraft F
α
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-9
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1. Haftung Kräfte am Keil:
–
α/2
z
A x
y
A α/2
N
H
α
z F
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N
5. Haftung und Reibung
N
y
TM 1 5.1-10
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1. Haftung –
Gleichgewicht am Keil:
∑ F x =0 N A
–
: F −2 H =0 → F =2 H
H 0 =μ 0 N μ0 A → F =2 H 0 = sin (α /2) =μ ' 0 A
α/2 α/2
N –
1 A=N sin α 2 2
( )
A → N= 2 sin ( α/2 ) Prof. Dr. Wandinger
Maximale Haftungskraft pro Fläche:
Der Koeffizient μ0 μ ' 0= >μ 0 sin ( α/2 ) heißt Keilnuthaftzahl.
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-11
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1. Haftung ●
Beispiel 3: Leiter
–
Auf der dargestellten Leiter steht ein Mann der Masse m.
–
Wie hoch kann er steigen, wenn die Wand als glatt betrachtet wird?
–
Gegeben:
mg
h y φ
–
●
Haftungskoeffizient μ0
●
Höhe h, Winkel φ
Gesucht: ●
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maximale Höhe y
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-12
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1. Haftung A M ∑ =0 : −h N B + x mg=0 x → N B= m g h
Gleichgewicht:
–
NB
B mg
h y
–
φ
A
HA
∑ F x =0
:−H A+ N B =0 → H A=N B
∑ F y=0
: N A−mg=0 → N A=m g
Haftbedingung: N B =H A <μ 0 N A
x
y
NA x
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x → m g <μ 0 m g h → x <μ 0 h
y= x tan (ϕ)<μ 0 h tan (ϕ) 5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-13
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1. Haftung –
Wird auch im Punkt B eine Haftungskraft zugelassen, so treten vier unbekannte Reaktionskräfte auf. Die Leiter ist dann statisch unbestimmt gelagert.
–
Mithilfe der Haftungskeile in den Lagerpunkten A und B lässt sich graphisch ermitteln, unter welchen Bedingungen Gleichgewicht möglich ist.
–
Die Leiter ist im Gleichgewicht, wenn sich die Wirkungslinien der Reaktionskräfte in den Punkten A und B und der Gewichtskraft in einem Punkt schneiden.
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-14
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1. Haftung – Grenzlage B
Gleichgewicht ist möglich, wenn sich die Wirkungslinien im schraffierten Gebiet schneiden.
B
mg
A
A
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-15
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1. Haftung ●
Beispiel 4: Klemmhalterung b a
A
–
Der Stab mit Gewicht GS wird von zwei Klemmbacken mit Gewicht GB gehalten.
–
Gegeben:
α
GB
GB
y
GS x
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B
–
●
Gewicht GB
●
Abmessungen a, b
●
Haftungskoeffizient μ0
●
Winkel α
Gesucht: ●
maximales Stabgewicht GS
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-16
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1. Haftung –
Gleichgewicht am Stab:
∑ F x =0
d
N1
y
→ N 1 =N 2= N
P H1
N2 H2 GS
d d ∑ M =0 : 2 H 2− 2 H 1=0 → H 1 =H 2=H P
∑ F y=0
x
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: N 1− N 2 =0
: H 1 + H 2−G S =0
→ G S =2 H
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-17
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1. Haftung –
Gleichgewicht am Klemmbacken:
A M ∑ =0 : −a G B −b H +b tan (α) N =0
N α
Ax
A Ay
GB
a b
a → N = H + G B cot (α) b
(
H
)
y x
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-18
1. Haftung –
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Haftbedingung: a H <μ 0 N =μ 0 H + G B cot (α) b a a → ( 1−μ 0 cot (α) ) H <μ 0 G B cot (α) → ( tan (α)−μ 0 ) H <μ 0 G B b b
(
–
)
Es müssen drei Fälle unterschieden werden: ●
Für tan(α)>μ 0 gilt: 2 μ0 a a H< G B → G S =2 H < GB tan(α)−μ 0 b tan (α)−μ 0 b μ0
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-19
1. Haftung ●
Für tan (α)=μ 0 gilt:
a 0<μ 0 G B b
●
Für tan (α)<μ 0 gilt:
tan (α)−μ 0 <0
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μ0 a a −( μ 0 −tan(α) ) H <μ 0 G B → −H < GB b μ 0 −tan(α) b ●
Die Bedingungen für tan (α)≤μ 0 sind immer erfüllt. Das Stabgewicht GS kann beliebig groß werden. Dieser Fall wird als Selbsthemmung bezeichnet.
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5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-20
