1 Inhaltliche Anforderungen Für Ein Mathematikstudium An Der

Transcript

Inhaltliche Anforderungen für ein Mathematikstudium an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe Liebe Studierende, wenn Sie Mathematik an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe erfolgreich studieren möchten, sollten Sie die unten aufgeführten Inhalte aus der Schulmathematik der Sekundarstufe I sicher beherrschen, da die Dozenten und Dozentinnen der Mathematik diese voraussetzen. Bei den Aufgaben können Sie testen, ob Ihre Kenntnisse ausreichen. Sollten Sie kleinere Lücken feststellen, empfehle ich Ihnen diese mit einen Nachschlagewerk zu beheben, z.B. Rolles, G. (Hg.)(2009): Duden, Basiswissen Schule, Mathematik. Berlin. Sollten Sie größere Defizite feststellen oder Bedarf an Übungsmaterial haben, empfehle ich Ihnen, Schulbücher für den Mathematikunterricht für die Sekundarstufe I zu verwenden. Darüber hinaus bietet die Pädagogische Hochschule Karlsruhe derzeit in den Wochen unmittelbar vor Vorlesungsbeginn im Wintersemester Brückenkurse in Mathematik an, in denen Sie ihre Schulkenntnisse aus dem Mathematikunterricht der Sekundarstufe I wiederholen, vertiefen und festigen können. Die meisten der folgenden Inhalte sind Gegenstand der Brückenkurse in Mathematik der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe. Sichere Schulkenntnisse reichen alleine aber im Allgemeinen für ein erfolgreiches Studium in Mathematik nicht aus. Wichtig ist die Bereitschaft, die Inhalte der Lehrveranstaltungen stets vor- und nachzuarbeiten. Dies gilt insbesondere deshalb, weil die Inhalte meistens aufeinander aufbauen und auch die Methodik und das Tempo in den Lehrveranstaltungen vom Unterricht in der Schule abweicht. Außerdem werden in vielen Lehrveranstaltungen Übungsaufgaben ausgegeben, deren selbstständige Vorbereitung unbedingt notwendig ist. Neben Fleiß ist auch die Fähigkeit, sich in abstrakte Inhalte einzuarbeiten notwendig. Wenn Sie die eben erwähnten Voraussetzungen mitbringen, erhöhen sich die Chancen deutlich, dass Ihr Studium in Mathematik gut verläuft. Ich wünsche Ihnen ein erfolgreiches Studium an der Pädagogischen Hochschule Karlsruhe! Christian Stellfeldt 1 1. Arithmetik • Was versteht man unter einem Dezimalsystem? Aufgabe: Lesen Sie die folgende Zahl richtig vor. 3257050007000 Lösung: • Billionen Milliarden Millionen Tausend Einer 3 257 50 7 0 Kenntnisse der Zahlbereiche: natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen Aufgabe: Geben Sie eine Zahl an, die eine reelle Zahl, jedoch keine rationale Zahl ist. Lösung: • 2 , π, e, … Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz bezüglich der Addition und Multiplikation reeller Zahlen Lösung: a) Kommutativgesetz: a + b = b + a bzw. a · b = b · a b) Assoziativgesetz: a + (b + c) = (a + b) + c bzw. a · (b · c) = (a · b) · c) c) Distributivgesetz: a · (b +/- c) = ab +/- ac oder (a +/- b) · c = ac +/- bc) • Teiler und Vielfache Aufgabe: Sind die Ziffern 2, 3, 4, 5 oder 7 Teiler der beiden folgenden Zahlen? Lösen Sie die Aufgaben ohne Taschenrechner: a) 30 b) 28 Lösung: a) 2 I 30, 3 I 30, 5 I 30 b) 2 I 28, 4 I 28, 7 I 28 • Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5, 9 und 10 im Dezimalsystem bei natürlichen Zahlen Aufgabe: Sind die beiden folgenden Zahlen durch 2, 3, 5, 9 oder 10 teilbar? Lösen Sie die Aufgaben ohne Taschenrechner. a) 735690 b) 75402 Lösung: a) Teiler sind: 2, 5 und 10 b) Teiler sind: 2, 3 und 9 2 Begründung: • • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Einerziffer durch 2 teilbar ist. • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf „0“ oder „5“ endet. • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf „0“ endet. Primzahlen und Primfaktorzerlegung Aufgabe: a) Welche der folgenden Zahlen sind keine Primzahlen?: 1, 2, 3, 4, 9, 13, 17, 31, 51. b) Stellen Sie die folgenden Zahlen als Produkt von Primzahlen dar: 60, 80, 144. Lösungen: a) 1, 4, 9, 51 b) 60 = 5 · 3 · 2 · 2 80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 100 = 2 · 2 · 5 · 5 2. Größen • Umrechnung von Längen-, Flächen- und Raummaßen Aufgabe: Rechnen Sie in die angegebenen Größen um: a) 1,2 ha in m² b) 7,75 l in cm³ Lösungen: a) 1,2 ha = 120 a = 12.000 m² b) 7,75 l = 0,00775 m³ = 7.750 cm³ 3. Funktionen • Was ist eine Funktion oder Zuordnung? Aufgabe: Ist die Zuordnung eine Funktion? Begründen Sie. a) Parkgebühr → Parkdauer b) Seitenlänge eines Quadrates → Umfang des Quadrates Lösung: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge z zuordnet. a) Keine Funktion. Hier zahlt man für mehrere Stunden manchmal die gleiche Gebühr, wodurch es keine eindeutige Zuordnung ist und somit keine Funktion. 3 b) Ist eine Funktion. Hier wird jedem Umfang genau eine Seitenlänge zugeordnet, wenn die Seitlänge vergrößert wird, vergrößert sich automatisch der Umfang → eindeuSge Zuordnung / FunkSon. • Definitions-, Ziel- und Wertemenge Aufgabe: Geben Sie die maximale Definitionsmenge, den entsprechenden Wertebereich und die Zielmenge der folgenden Funktion an: f(x) = x³ ? Lösung: D=R Z=R W = R (R = reelle Zahlen) • Proportionale Funktionen • Antiproportionale Funktionen Die Ausflugskasse einer Hochschulgruppe enthält 840 €. a) Wie viel Euro kann die Gruppe täglich ausgeben, wenn sie 4 (6, 8) Tage unterwegs ist? Und um welchen Zuordnungstyp handelt es sich bei dieser Zuordnung (Anzahl der Tage→ Ausgaben pro Tag)? b) Die Gruppe möchte pro Tag 120 € ausgeben. Wie viel Geld benötigen sie für die Ausflugskasse , wenn sie 5 Tage (8 Tage, 14 Tage) unterwegs sind? Um welchen Zuordnungstyp handelt es sich bei dieser Zuordnung (Anzahl der Tage → Betrag der Ausflugskasse)? Lösung: a) Antiproportionale Zuordnung Anzahl der Tage 4 6 8 Ausgaben pro Tag 210 140 105 b) Proportionale Zuordnung • Lineare Funktionen: Steigung, Steigungsdreieck, Punkt-Steigungsform Aufgabe: Geben Sie jeweils die Funktionsgleichung zu den Geraden der Zuordnung x → y an, mit der sich der y- Wert berechnen lässt. Lösung: Grün: y = 2 Blau: y = 2x+2 Rot: y = − 1 x − 1 2 4 • Quadratische Funktionen 1. Aufgabe: Zeichnen Sie die Parabeln zu den Funktionsgleichungen in ein Koordinatensystem. a) y = 2x² – 2,5 b) y = − 2 (x – ¾)² – ½ c) y = x(x − 2) − 3,5 Lösung: Definition: Eine Funktion mit einer Gleichung der Form Fo y = ax² + bx + c oder solcher,, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt allgemeine quadratische Funktion. Funk Diese kann umgewandelt werden rden in die Scheitelform y = (x − d)² + c sowie die Normalform y = x² + px + q. • Quadratische Gleichungen: a-b-ca oder p-q-Formel Aufgabe: Lösen n Sie die folgenden Gleichungen ohne technische Hilfsmittel. a) 6x² + 15 = 18x +3 b) 3x = 5x² + 6 c) −6x + 3x² = −3 Lösung: a) 6x² + 15 = 18x + 3 → 0 = 6x² – 18x + 12 → (0 = x² − 3x + 2) → x₁ = 2 ; x₂ = 1 b) Diese Gleichung ist nicht lösbar, da der Wurzelausdruck negativ ist. Die Gleichung hat demzufolge keine reelle Lösung. c) −6x + 3x² = −3 → 0 = 3x² – 6x + 3 → ( 0 = x² − 2x + 1) → x = 1 4. Binomische Formeln, Potenzen, Wurzeln, Logarithmus und Exponentialgleichungen leichungen • 1., 2. und 3. binomische Formel Aufgabe: Bilden Sie mithilfe der binomischen Formeln ein Produkt a) x 4 − 2x 3 + x 2 b) 225x² − 1 c) 36s² + 60st + 25t 5 Lösung: a) (x² − x)² • b) (15x + 1) · (15x − 1) c) (6s +5t)² Potenzgesetze 1. Aufgabe: Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich. a) 3ab³a – 5ba²b b) w³ : w · 3 c) a³ · b · a²b b) 3w² c) a5b 2 Lösung: a) a²b² · (3b – 5) 2. Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung so genau wie möglich. a) x + 9 = 41 3 4 c) x = 2 −3 b) (x + 3) = 16 5 4 Lösung: a) x = 5 32 = 2 • b) x = 4 16 − 3 = −1 c) x = 2    − 3  ⋅ 4 3 = 2− 4 = 1 = 1 24 16 Zehnerpotenzen 1. Aufgabe: Berechnen Sie mithilfe der Potenzgesetze ohne Verwendung eines Taschenrechners. a) 9,23 · 10 4 – 2,41 · 10 4 b) 2 · 107 · 3 · 10 -5 c) −5,28 · 10 -4 Lösung der 1. Aufgabe: a) 6,82 · 10 4 = 68.200 b) (2 · 3) · ( 107 · 10 -5 ) = 6 · 10² = 600 c) − 0,000528 2. Aufgabe: Schreiben Sie mithilfe der Zehnerpotenzen mit einer Stelle nach dem Komma. a) 87.000 b) 0,0039 c) 3.480 b) 3,9 · 10 -3 c) 34,8 · 10² Lösung der 2. Aufgabe: a) 8,7 · 10 4 • Rechnen mit Wurzeln Aufgabe: Vereinfachen Sie: a) 98 200 50 72 b) 27 48 c) Lösung: a) 7 10 b) 5 6 c) 3 4 6 • Zusammenhang zwischen Potenz- und Wurzelgesetze 1. Aufgabe: Schreiben Sie die Ausdrücke als Potenz. a) 9 4 7 b) 3  1  4   2 Lösung der 1. Aufgabe: a) 7 4 9 b) 4 − 2 3 2. Aufgabe: Schreiben Sie als Potenz und vereinfachen Sie. a) 6 23 b) 10 x5 Lösung der 2. Aufgabe: a) 2 b) • Logarithmus x Aufgabe: Bestimmen Sie a bzw. b. a) log a 1 = −2 49 b) log 8b = 1 3 Lösung: a) a−2 = b) • 1 83 1 1 1 → 2 = → a=7 49 49 a =b → b= 3 8 → b = 2 Exponentialgleichungen Aufgabe: Bestimmen Sie x. a) 102x = 0,1 b) 4 ⋅ 2 −2x +2 = 64 Lösung: a) 2x · log 10 = log 0,1 → 2x = log10 → x = −0,5 log0,1 b) 2 −2x +2 = 16 → (−2x+2) · log 2 = log 16 → − 2x + 2 = 7 log16 = 4 → x = −1 log2 5. Geometrie Für die Lösungen der Geometrieaufgaben lohnt es sich, auch mal in einem Schulbuch nachzuschauen. • Kreisfläche und -umfang 1. Aufgabe: Ein Kreisausschnitt hat den Radius 4,5 cm und den Mittelpunktswinkel 147°. Wie groß ist sein Flächeninhalt, wie viel Prozent der Kreisfläche ist das? Wie lang ist der Kreisbogen? 2. Aufgabe: Ein Kreisausschnitt mit der Bogenlänge 14 cm hat den Mittelpunktswinkel 37°. Wie groß sind sein Radius und sein Flächeninhalt? Lösung der 1. Aufgabe: a) A ≈ 25,98cm² Anteil d. Ausschnitts an Gesamtfläche ≈ 41 % b ≈ 11,5 cm Lösung der 2. Aufgabe: b) r ≈ 21,7cm A ≈ 152,0cm² • Scheitel-, Stufen-, Wechsel-, Nebenwinkel • Konstruktionen (nur) mit Zirkel und Lineal (Grundkonstruktionen) Aufgaben: a) Konstruieren Sie (nur mit Zirkel und Lineal) die Mittelsenkrechte einer Strecke. b) Konstruieren Sie in einem Dreieck (nur mit Zirkel und Lineal) die Winkelhalbierenden. • Besondere Punkte und Linien des Dreiecks Aufgabe: Konstruieren Sie in einem beliebigen Dreieck den Inkreis. • Kongruenzsätze Aufgabe: Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind und welche nicht. Begründen Sie. a) Zwei rechtwinklige Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und einem weiteren Winkel übereinstimmen. b) Zwei gleichschenklige Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in der Länge eines Schenkels und in einem Basiswinkel übereinstimmen. Lösung: a) Ja, durch diese Angaben lässt sich ein Dreieck eindeutig konstruieren, da eine Seite und alle Winkel gegeben sind (wsw). b) Ja, durch diese Angaben lässt sich ein Dreieck eindeutig konstruieren, da zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind (Ssw). 8 • Zentrische Streckung Aufgabe: Zeichnen Sie ein Dreieck und strecken Sie es an einem beliebigen Punkt Z mit dem Streckfaktor k = −1,5. • Sinus, Cosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck Aufgabe: In einem Dreieck beträgt b =5,9 cm, a = 3,8 cm und γ = 90°. Berechnen Sie die Länge der Seite c sowie α und β. Lösung: c ≈ 7,0 cm; β ≈ 57,2° ; α ≈ 32,8° 9