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LZ F11.1/B12.1 Geradlinige Bewegung LZ F11.1.1/B12.1.1 Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
1.
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Geradlinige Bewegung
1.1. Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit 1.1.1 Grundbewegungsarten Translation (lat.): Überlagerung, Übersetzung physikalisch: geradlinige Bewegung, bei der alle Punkte eines starren Körpers kongruente Bahnkurven beschreiben. Rotation (lat.): Drehung, Umlauf physikalisch: drehende Bewegung eines Körpers um eine Achse, so dass jeder Punkt eine Kreisbahn mit dem Mittelpunkt in der Achse beschreibt. Beispiele aus dem Alltag: Radfahrer, Auto - Hubschrauber, Punkt auf der Erdoberfläche, ... Massenpunkt: Idealisierung - Ersatz eines räumlich ausgedehnten Körpers durch einen Massenpunkt. Voraussetzung - die Ausdehnung des Körpers ist klein gegenüber dem Weg. Einem mathematischen Punkt (Theorie) wird eine endliche Masse zugeordnet. Der mathem. Punkt ist der Schwerpunkt (S) des realen Körpers. Mit dieser Vereinfachung gelten alle gefundenen Gesetze (Bewegungsgleichungen) nur für diesen theoretischen Massenpunkt. z.B. freier Fall einer Schrottkugel und eines Blattes Papier mit gleicher Masse!
Körper mit Masse m = 2,2kg x
S
Masse m = 2,2kg x
S
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1.1.2 Bewegung - Bezugssystem Ruhe und Bewegung sind Begriffe, die nur relativ zu einem Bezugssystem einen eindeutigen Sinn haben. Bewegung wird beschrieben als Ortsveränderung in einem Bezugssystem. Vereinbarung: Für unsere weiteren Überlegungen gilt der Physiksaal als ruhendes Bezugssystem. „Ein Körper bewegt sich“ heißt, er ändert in Bezug auf einen anderen Körper seinen Ort. Ortsveränderungen sind messbar mit Hilfe des zurückgelegten Weges. Jeder Bewegungsvorgang erfordert auch eine Zeit. Beispiele: 1. Bahnkurve des Pedals eines Radfahrers aus der Sicht des Radfahrers und aus der Sicht eines Beobachters am Straßenrand. 2. Ein Lastwagen fährt eine geradlinige Straße - über ihm fliegt ein Hubschrauber mit gleicher Geschwindigkeit. Der Hubschrauberpilot lässt ein Paket fallen. Trifft das Paket den Lastwagen? Wie sieht die Bahnkurve für den Lastwagenfahrer und wie für einen Beobachter seitlich auf einem Feld aus? 3. Ein Kind wirft in einem langsam fahrenden Zug (Bahnhof) einen Ball senkrecht nach oben. Wie sieht ein im Abteil sitzender und wie ein am Bahnsteig stehender Beobachter jeweils die Bahnkurve? Bahnbewegung: Zur Beschreibung einer Bewegung müssen wir Ortsangaben machen. Die Menge all dieser Orte heißt Bahn der Bewegung - oder kurz Bahnkurve. Beschreibung der Bahnkurve im rechtwinkeligen Koordinatensystem: Ortsvektoren r(t)
rechtwinkelige Koordinaten y
Polarkoordinaten y
yP
P
yP
r(t)
P
r(t)
xP
x
xP
x
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1.1.3 Definition der Geschwindigkeit Experiment mit der Luftkissenbahn: Demonstration der geradlinigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit = gleichförmige Bewegung s. 1. Streifen - Woran erkennt man diese Bewegungsart? Ergebnis: Der Körper legt in
Zeiten
Wege zurück.
Koordinatensystem im R1 x0 0 t0
x1
x2
x3
t1
t2
t3
x(t)
x = x1 - x0 = x2 - x1 = x3 - x2 = usw.
t = t1 - t0 = t2 - t1 = t3 - t2 = usw.
Definition der Geschwindigkeit v (velocitas (lt.) = Geschwindigkeit)
v
x t
[v] = 1
Weg durch Zeit; in der Einheit Meter pro Sekunde
m s
1
m km = 3,6 s h
und
1
km 1 m = h 3,6 s
Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Größe , d.h. ein VEKTOR v Der Betrag (Skalar) der Geschwindigkeit Übung: 1.
Rechne um! I. d II. d III. d IV. d
2.
Berechne!
v = v ... d.h. nur der Wert
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1.1.4 Bewegungsgleichungen Startpunktbetrachtung: I)
x0 = 0 m Startpunkt (Index Null); t0 = 0 s ... Startzeitpunkt x hier kann das Deltasymbol weggelassen werden: v oder t
x=v·t
v·t
0
t
x(t)
x=v·t II)
Beliebiger Startpunkt: x0
0 m Startpunkt; t0 = 0 s ... Startzeitpunkt
x0 + v.t x0
0
v·t
x0
t
x(t)
x = x0 + v·t
Darstellung der Bewegungen im x(t) und v(t) - Diagramm Zeit - Weg - Diagramm x(t)
x = x(t) 3
2
I)
t0 = 0 s; x0 = 0 m
Bedeutung: Die gleichförmige Bewegung stellt sich im t-x-Diagramm als
........... x=v·t 1
t
v = konstant
Die Steigung der Geraden ist ein Maß für die .
0
mit
dar.
...............
v3
v2
v1
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II) t0 = 0 s;
5
x0
0m
Startpunkt liegt nicht im Ursprung x = x0 + v · t
x0
0
t
Zeit - Geschwindigkeits - Diagramm
v = v(t)
v(t) 3 2 1
Bedeutung: Die Fläche im t-v-Diagramm ist ein Maß für den .
.............. .................. Umstellung der Formel: x= v· t
v3
v
0
t1 t
t
v2
v1
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Übungsblatt zu Kapitel 1.1.: gleichförmige Bewegung Lösen Sie die Aufgaben 1. und 2. nur rechnerisch! Beachten Sie die Relativgeschwindigkeiten! 1.0
1.1 1.2 2.0
2.1
Ein Pkw von l1=4,80 m Länge setzt auf einer Bundesstraße bei einer Geschwindigkeit km von v1 = 90,0 an, einen Autobus von l2 = 14,0 m Länge zu überholen. Der Autobus h km fährt mit v2 = 72,0 . Das Überholen beginnt bei einem Abstand s1 = 30,0 m. Nach h einem Abstand von s2 = 50,0 m vor dem Autobus hat sich der Pkw wieder in die rechte Fahrbahn eingeordnet. Berechnen Sie die zum Überholen notwendige Zeit. [19,8s] Berechnen Sie den dabei zurückgelegten Weg s des Personenkraftwagens. [499m] Man sitzt in einem Triebwagen und sieht einen entgegenkommenden Personenzug vom km 160 Meter Länge vorbeifahren. Der Triebwagen hat v1= 108 Geschwindigkeit, der h km Personenzug v1= 43,2 . h Berechnen Sie, wie lange der Beobachter im Triebwagenzug vor seinem Fenster den Personenzug sieht. [3,81s]
Lösen Sie die weiteren Aufgaben sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch! 3.0
3.1 3.2 3.3 4.0
4.1 4.2 5.0
5.1 5.2 5.3
Zwei Fahrzeuge bewegen sich von einem Ort aus mit gleichförmiger Geschwindigkeit in gleicher Richtung fort. Fahrzeug A fährt um 12.00 Uhr fort mit der Geschwindigkeit km km v1 = 20,0 , Fahrzeug B um 12.15 Uhr mit der Geschwindigkeit v2 = 30,0 ab. h h Ermitteln Sie die Wegstrecke, die sie um 12.30 Uhr zurückgelegt haben. [10,0km; 7,50km] Ermitteln Sie die Zeit, zu der Fahrzeug A eingeholt wird [12.45 Uhr] Ermitteln Sie den Weg, den sie dann zurückgelegt haben. [15,0 km] Zwei Radfahrer wohnen in den Orten A und B 60,0 km voneinander entfernt. Sie brechen gleichzeitig um 8.00 Uhr auf und fahren einander entgegen. Der erste würde für den ganzen Weg 4,00 Stunden, der zweite 6,00 Stunden brauchen. Ermitteln Sie die Zeit zu der sie einander begegnen, und den dann zurückgelegten Weg. [10.24 Uhr; 36km; 24km] km km Berechnen Sie die Geschwindigkeit eines jeden. [15 ; 10,0 ] h h Ein Motorradfahrer fährt um 11.00 Uhr von einem Ort ab und legt in der Stunde 40,0 km zurück. 1,50 Stunden später fährt ein Auto den gleichen Weg und legt dabei in der Stunde 60,0 km zurück. Ermitteln Sie die Zeit, zu der sie sich treffen. [15.30 Uhr] Ermitteln Sie die bis dahin zurückgelegte Entfernung. [jeder ...180km] Ermitteln Sie den Abstand der beiden um 14.30 Uhr. [20,0km]
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1.1.5. Durchschnittsgeschwindigkeit v
v
... mittlere Geschwindigkeit
Beispiel: Zwei Läufer starten vom gleichen Ort in dieselbe Richtung. Läufer A stürzt und läuft nach einer bestimmten Zeit weiter. Danach hat er eine höhere Geschwindigkeit, so dass er gleichzeitig mit Läufer B ins Ziel kommt. Das Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf dieser Bewegungen. x(t) Z x2 ? x1 0 t1
t2
t3
t
v
Beispiel: Eine Rennstrecke hat eine Länge von 4,50 km. Im Probelauf wurde von einem Wagen eine km Durchschnittsgeschwindigkeit von 150 ermittelt. Im Hauptrennen wurde in der 1. Runde h km eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 200 ermittelt. h Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit beider Läufe!
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Bewegungsaufgaben mit zwei Fahrzeugen (A und B) 1. Start vom gleichen Ort jedoch verschiedenen Zeitpunkten, Überholbedingung: vB x(t)
B
A T
0
T...Treffpunkt
t
2. Start zum gleichen Zeitpunkt aber verschiedenen Orten in gleiche Richtung ; vA x(t)
vA
vB
A
0 t 3. Start zum gleichen Zeitpunkt aber verschiedenen Orten in entgegengesetzte Richtung x(t)
A
0
t
4. Start zu verschiedenen Zeitpunkten und verschiedenen Orten in entgegengesetzte Richtung x(t)
A
0
t
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1.1.6 Vektorielle Addition von Geschwindigkeiten
In welchem Winkel muss der Elefant schwimmen, wenn er genau gegenüber am anderen Flussufer ankommen will? Peter möchte mit seinem großen Freund über den breiten Fluss genau an das Ufer gegenüber. Der Fluss ist 73,0 Meter breit, fließt 0,400 Meter in der Sekunde und der Elefant kommt pro Sekunde 0,700 Meter weit. Lösung: Der Elefant muss im Winkel von 34,80 gegen die Strömung schwimmen.
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Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Gleichartige Vektoren können vektoriell addiert werden (Überlagerung von zwei Bewegungen). Betrachtung von zwei Geschwindigkeitsvektoren v a ... ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren. v ... ist der resultierende (Gesamt-) Vektor 1. Sonderfall:
= 00
v = v1 + v 2
v1 v2 v
Die Einzelbeträge werden algebraisch addiert. Diese Summe gibt den Gesamtbetrag des resultierenden Vektors. 2. Sonderfall:
= 1800 v1
v = | v1 + (-v2) |
v2 v
Der Gesamtbetrag ist der Betrag der algebraischen Differenz. Die Richtung des resultierenden Vektors zeigt in die Richtung des Vektors mit dem größeren Betrag. 3. Sonderfall: v2
= 900 v
v1
Satz von Pythagoras:
v
tan
v12
v22
v2 v1
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00;
900;
11
1800
Dieser Fall kann auch rechnerisch gelöst werden - wird aber von Ihnen nur als zeichnerische Lösung verlangt! Lösung: Zeichnen der beiden Vektoren unter dem Winkel . Konstruktion des Parallelogrammes. Der gesuchte Gesamtvektor ist die Länge der Diagonalen. Winkel können mit dem Winkelmesser abgelesen werden. v2 v
v1
5. Sonderfall zu 4.: = 900 Gegeben sind die Beträge der beiden Geschwindigkeiten (v1; v2). v2 Konstruktive Lösung von: v und
v v2
v1
Aufgaben - Typ: 1. Schwimmer/Boot flussabwärts; Flugzeug - Rückenwind 2. Schwimmer/Boot flussaufwärts; Flugzeug - Gegenwind 3. Bootsantrieb senkrecht zum Ufer; Flugzeug - Seitenwind 4. Allgemeiner Fall: Konstruktion 5. Beispiel: s. Seite 9 - Peter und der Elefant
v1
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Aufgaben 1.0 1.1 1.2
1.3 1.4 2.0
2.1
2.2 2.3
Ein Kahn mit Außenbordmotor (Eigengeschwindigkeit v2=18,0 km·h-1) befindet sich auf einem Fluss (Strömungsgeschwindigkeit v1=3,00 m·s-1) mit der Breite b = 120 m. Berechnen Sie die Geschwindigkeit in einem System S, das auf dem Flussgrund ruht, die der Kahn flussabwärts bzw. flussaufwärts erreicht. [8,00m·s-1; 2,00 m·s-1] Berechnen Sie, wie weit der Kahn abtreibt, wenn er senkrecht zur Strömungsrichtung ( = 90,00) gesteuert wird. Wie lange braucht er bis er auf der anderen Uferseite angekommen ist? Fertigen Sie eine Skizze an! [72,0m; 24,0s] Berechnen Sie die Geschwindigkeit gegenüber dem Grund des Kahns bei 1.2 [5,83 m.s-1] Unter welchem Winkel gegenüber dem Startufer fährt der Kahn? [ =59,00] Ein Schwimmer überquert einen 30,0 m breiten Fluss. Zur Vereinfachung wird angenommen: die Strömungsgeschwindigkeit (v1= 40,0 m·min-1) ist überall im Fluss konstant; die Eigengeschwindigkeit (v2= 50,0 m·min-1) des Schwimmers ist konstant. Das Bezugssystem ist das ruhende Ufer. Der Schwimmer schwimmt unter einem Winkel von = 90,00 vom Ufer weg. Wie weit wird der Schwimmer abgetrieben und wie lange braucht er bis er auf der anderen Uferseite angekommen ist? Wie groß ist die Geschwindigkeit über Grund? [24,0m; 1,07m·s-1; 36,0s] Geben Sie die Koordinaten der Ankunftsstelle auf der anderen Flussseite an, wenn = 60,00 ist! Nach welcher Zeit erreicht er das andere Ufer? [45,0m; 41,6s] Welchen Winkel gegen dem Startufer muss der Schwimmer einhalten. um genau gegenüber dem Startpunkt das andere Ufer zu erreichen? Nach welcher Zeit erreicht er dieses? [ =1430; 59,8s]
3.0
Gleiche Problemstellung wie Aufgabe 2.: geg.: v1= 7,20 km·h-1 ; v2= 12,6 km·h-1; =90,00 ges.: Geschwindigkeit über Grund - wie weit abgetrieben - Zeit für Überquerung! [4,03 m·s-1; 114 m; 57,1s]
4.0
Gleiche Problemstellung wie Aufgabe 2.: geg.: v1= 0,500 m·s-1 ; v2= 2,00 m·s-1 ges.: Wie lange benötigt der Schwimmer um 100m in Strömungsrichtung zu schwimmen? [40,0s] Wie lange benötigt der Schwimmer um 100m gegen die Strömungsrichtung zu schwimmen? [66,7s] Wie lange benötigt der Schwimmer um den 50,0m breiten Fluss zu überqueren und wie weit wird er dabei abgetrieben? [ =90,00; 25,0s; 12,5m]
5.0
Aufgabe Junge/Peter und Elefant - Seite 9
