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TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik Prof. K. Eppler
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Wintersemester 15/16
Mathematik III 12. Übung (11. - 15. 1. 16) 34. Eine Strecke der Länge L wird durch zwei „rein zufällig“ ausgewählte Teilpunkte in drei Stücke zerlegt. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus den drei Teilstücken ein Dreieck gebildet werden kann. 35. Ein Student behauptet, er überlasse seine Samstagabendbeschäftigung dem Zufall. Für ihn sei die Wahrscheinlichkeit, dass er • eine Diskothek besuche, gleich 12 , • ins Kino gehe, gleich 13 , • zu Hause bleibe und lese, gleich 14 . (Jede dieser Beschäftigungen füllt dabei den ganzen Abend.) Was halten Sie von dieser Behauptung? 36. Ein Arbeiter überwacht 3 Aggregate, die unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aggregat während einer Stunde keiner Überprüfung bedarf, sei für die 3 Aggregate gleich 0.9 bzw. 0.8 bzw. 0.85. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Laufe einer Stunde a) keine einzige Überprüfung erforderlich ist, b) wenigstens eines der drei Aggregate keiner Überprüfung bedarf? 37. Ein Rommé–Spiel besteht aus 104 Karten, wobei die 4 Farben Kreuz, Pique, Herz, Karo je zweimal vorhanden sind mit je 9 Zahlenkarten und 4 Bildkarten. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Karte (a) eine Bildkarte ist, (b) eine Kreuzkarte ist, (c) eine Herz–Bildkarte ist, (d) eine Bildkarte ist, wenn es sich um eine Karokarte handelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine Kreuz–Zahlenkarte, dann eine Herz–Zahlenkarte und schließlich eine Kreuz–Bildkarte zu ziehen, wenn die gezogene Karte (e) vor jedem weiteren Ziehen wieder untergemischt wird, (f) nicht untergemischt wird? 38. In einer Lieferung von Kartons mit je 10 Glasschüsseln befinden sich mit einer Wahrscheinlichkeit p in einem Karton genau 10 Schüsseln der Güteklasse 1 und mit einer Wahrscheinlichkeit 1 − p genau 9 Schüsseln der Güteklasse 1 und eine Schüssel der Güteklasse 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Karton keine Schüssel der Güteklasse 2 enthält, wenn bei zufälliger Auswahl a) eine daraus entnommene Schüssel Güteklasse 1 besitzt, b) unter fünf daraus entnommenen Schüsseln keine der Güteklasse 2 ist?
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39. In einer Kiste werden 100 gleichartige Teile angeliefert, wovon 65 von der Maschine I stammen, unter denen sich 3 Ausschussteile befinden, 35 von der Maschine II stammen, unter denen sich 2 Ausschussteile befinden. Man gebe die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig gewähltes Teil a) von der Maschine I stammt, b) ein Ausschussteil ist, c) ein gutes Teil und von der Maschine II ist, d) ein gutes Teil ist, wenn es von der Maschine II stammt, e) ein gutes Teil und von der Maschine I ist, wenn vorher bereits ein derartiges Teil entnommen wurde. 40. Ein Student sucht ein Buch, das mit Wahrscheinlichkeit p im Schreibtisch und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p im Bücherschrank liegt, wobei für die 10 Regale im Schrank jeweils gleiche Wahrscheinlichkeit vorliegt. Nachdem der Student in 8 Regalen nachgesehen hat, will er die Suche dort fortsetzen, wo die Wahrscheinlichkeit für das Auffinden des Buches am größten ist. a) Wo muss er suchen? b) Wie lautet die Antwort, wenn er bereits nach dem 6. Regal diese Entscheidung treffen will? 41. Die Produktion einer Abteilung wird von zwei Kontrolleuren mit den Anteilen 30% bzw. 70% sortiert; dabei ist für den ersten Kontrolleur die Wahrscheinlichkeit, eine Fehlentscheidung zu treffen, gleich 0.03, für den zweiten 0.05. Es wird beim Versand ein fehlsortiertes Teil gefunden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde es a) vom ersten,
b) vom zweiten Kontrolleur sortiert?
Für ein zufällig ausgewähltes Teil berechne man c) die Wahrscheinlichkeit, dass es richtig einsortiert wurde.
