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11. Vorlesung EP I Mechanik 7. Schwingungen gekoppelte Pendel 8. Wellen (transversale und longitudinale Wellen, Phasengeschwindigkeit, Dopplereffekt Superposition von Wellen)
Versuche: Schwebung gekoppelte Pendel Wellenkette: laufende und stehende Welle Wellenwanne: ebene Welle, Kugelwelle (Huygens) Dopplereffekt akustisch Hörbereich für Schall EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
7. Schwingungen Versuch: gekoppelte Pendel
Durch die schwache Federkopplung wirkt eine erzwingende Kraft F2 auf das zunächst ruhende Pendel. Nach mehreren Schwingungen nimmt die Amplitude von x1(t) ab, während m2 mit wachsender Amplitude schwingt, bis m1 still steht. Dann wiederholt sich der Vorgang in umgekehrter Richtung, d.h. die Schwingungsenergie wechselt periodisch von Pendel 1 zu Pendel 2. Jedes Pendel vollführt somit eine Schwebung. Diese läßt sich als Überlagerung von 2 Schwingungen mit leicht verschiedenen Frequenzen darstellen. → sogenannte „Eigenschwingungen“.
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7. Schwingungen Gekoppelte Oszillatoren z.B. 2 Schwerependel mit zwischengespannter Feder. Es gibt zwei Schwingungsmoden („Eigenschwingungen“): Überlagerung beider Schwingungsmoden ergibt Schwebung: Oszillation wechselt von einem Pendel zum anderen
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8.Wellen Ausbreitung von Schwingungen -> Wellen Bei gekoppelten Pendeln breitet sich die Schwingung von einem zum nächsten aus Welle entsteht durch lokale Anregung oder Störung eine Mediums , die sich durch Kopplung auf benachbarte schwingungsfähige Systeme ausbreitet …
= Modell für Wellen im Medium (Festkörper oder Fluid), wobei die Kopplungsfeder für die intermolekularen Kräfte steht. Versuch: Wellenkette (mit Torsionspendel) – Damit die Welle am entfernten Ende nicht reflektiert wird, ist dort zunächst eine Dämpfung eingeschaltet, die später (→stehende Welle) ausgeschaltet wird. EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Dabei wird bei klassischer Welle keine Materie aber eine lokale Störung des Mediums und somit Energie transportiert.
Das Medium wird lokal verändert, die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium (Kopplungsstärke, Trägheit) ab. Die Störung kann pulsförmig oder periodisch (z.B. sinus-förmig) sein.
Longitudinale Welle (z.B. Schall):
Transversale Welle (Versuch Wellenkette):
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Wasserwellen: Kombination beider Typen, Kreisbahnen, deren Radii mit der Tiefe abnehmen.
Ebene Wellen und Elementarwellen:
Versuche Wasserwanne
•Wellenfronten (WF) = Flächen in 3 (Linien in 2) Dimensionen, deren Punkte gleichphasig schwingen •Ausbreitungsrichtung senkrecht zu WF -Flächen •Bei ebenen Wellen sind WF Ebenen •Bei Elementarwellen sind WF Kugeloberflächen
•Huygens Prinzip: 1) Jeder Punkt einer WF ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle 2) Die Einhüllenden (Tangentenflächen) bilden neue WF EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Wellenausbreitung, mathematische Darstellung
∆z
z ∆z ∆t EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
mathematische Darstellung für eine in z-Richtung laufende Welle: A (z,t) = A0 sin(ωt-kz) Z = const. → Schwingung
t = const. → Schnappschuss
Definition der Wellenlänge λ: für feste Zeit (Schnappschuß) entspricht λ der Weglänge ∆z, für die gilt ∆z · k = 2π, d.h. das Argument der Sinusfunktion ändert sich um eine Periode. 2π Wellenzahl (oder Wellenvektor) k = λ EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Definition der Phasengeschwindigkeit: vph ist die Geschwindigkeit von Orten gleicher Amplitude, d.h. gleicher Phase, wobei die Phase das Argument der Sinus- oder Cosinusfunktion ist: Phase = ωt-kz Aus Bedingung ωt – kz = ω · (t + ∆t) – k · (z + ∆z) folgt ω · ∆t = k · ∆z ∆z ω ω v ph = = = = f ⋅λ ∆t k 2π / λ Ausbreitungsgeschwindigkeit (= Phasengeschwindigkeit) vph = f·λ Damit ergibt sich eine alternative Schreibweise für die Wellenamplitude: A(z,t) = A0 · sin[ω(t – z/vph)] Im Fall der Akustik ist vph die Schallgeschwindigkeit (cSchall) Im Fall der Optik ist vph die Lichtgeschwindigkeit (c)
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Superposition =Überlagerung = Interferenz von Wellen Wellen überlagern sich ungestört, d.h. eine Welle läuft weiter, auch wenn es Bereiche mit destruktiver Interferenz (lokaler Auslöschung) gibt.
Zwei ebene Wellen treffen sich. Wir betrachten Überlagerung an einem Ort P
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Superposition von Wellen - stehende Wellen zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude
A(z,t) = A0 cos(ωt - kz) + A0 cos(ωt + kz ) = 2A0 cos (kz ) · cos (ωt ) Stationäres Wellenbild, wenn •Gleiche Frequenz (sonst Schwebung) •Feste Phasenbeziehung (Kohärenz) also entweder durch Reflexion oder phasenstarre Quellen …
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DopplerDoppler-Effekt Bewegte Quelle: Doppler-Effekt Bewegt sich die Quelle auf den Empfänger zu, so nimmt dieser eine höhere Frequenz wahr
fE = f0
v ph v ph − v Q
‘aufeinander zu’: fE > f0 ‘voneinander weg’: fE < f0
Überschallgeschwindigkeit: - Bei vQ > vph überholt die Quelle die von ihr ausgesandten Wellen. - Es bildet sich eine kegelförmige Wellenfront aus (Mach-Kegel). - Sinus des Öffnungswinkels: vph/vQ (=Mach-Zahl) EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Bemerkung zum Dopplereffekt Herleitung der Formel: Wie aus der Skizze hervorgeht, ist λE = λ0 – vQ · T Da vph = λ0 · f = λ/T, ist λE = λ0 (1Mit f0(E) = vph / λo(E) folgt fE = f0
⋅
vQ v ph
) = λ0 v ph − v Q v ph
v ph v ph − v Q
Die Formel gilt auch für eine sich entfernende Quelle. Dann ist vQ eine negative Größe, d.h. im Nenner der Formel steht vph + |vQ| und fE ist kleiner als f0. Anwendungen des Dopplereffekts: • Messung der Blutgeschwindigkeit (Ultraschall dopplerverschoben) • Radarkontrolle (gleiches Prinzip) • Rotverschiebung des Spektrums sich schnell entfernender Sterne dient der Geschwindigkeitsermittlung EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Superposition von Wellen - stehende Wellen nach Reflexion Je nach Art der Reflexion kann eine zusätzliche Phase auftreten: •Freies, weiches Ende -> kein Phasensprung •Festes, hartes Ende -> Phasensprung um π (senkrechte Kraft)
λ = 2L n Bei zwei festen Enden (schwingende Saite) ergeben sich aus den Randbedingungen feste Schwingungsmoden (sonst Auslöschung), Grundton (n=1) und Obertöne (n>1) EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
9. Akustik, Akustik, Schallwellen Schallwellen: wellenförmige Fortpflanzung von Druck- oder Dichteschwankungen in elastischen Medien wie Gasen,Flüssigkeiten, Festkörpern. In Fluiden: longitudinal (Orientierung der Bewegungsamplitude von Molekülen parallel zur Ausbreitungsrichtung) In Festkörpern: transversal (Bewegungsamplitude senkrecht zur Ausbreitungsrichtung), oder longitudinal wie bei Fluiden. Einteilung nach Frequenzen: Infraschall : Hörbarer Schall: Ultraschall : Hyperschall :
ν <= 16 Hz P: Druck 16 Hz < ν < 16 kHz Versuch S: Auslenkung 16 kHz < ν 10 MHz < ν EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
Schall-Erzeugung: Schallerzeugung durch stehende Wellen auf Festkörpern: l
schwingende Saite Stimmgabel Orgelpfeife Lautsprechermembran Beispiel 1: beidseitig eingespannte Saite -> stehendes Wellenfeld bei bestimmten Eigen- oder Resonanzfrequenzen
l=n
λ 2
, n = 1,2,3,...
f n = n ⋅ f1 , n = 1,2,3,.. EPI WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
