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1.3 Fehlerbetrachtung, Kalibrierung
1
2
Wiederholung von einzelnen Messungen
1.3.1 Genauigkeit und Statistische Beschreibung und Analyse von Messungen
• Ergebnis einer Messung ist lediglich Schätzwert für den wahren Wert einer Messgröße • Messabweichung (Fehler) ε: Differenz zwischen Messwert und wahrem Wert:
Ergebnis der Messung
Signal Output S
800
ε = xMess − xWahr
• Ziele: • Minimierung der Messabweichung (Unsicherheit) • Abschätzung der Messabweichung (Unsicherheit)
Zufälliger Fehler
Systematischer Fehler (Bias) 400
“Wahrer” Wert (Referenzwert)
200 0
• Abschätzung der Messunsicherheit ist Voraussetzung für Entscheidungen, die auf Messwerten beruhen sollen
}
600
0
10
20
30
40
50
Measurement Messung
3
4
Genauigkeit
Genauigkeit
• Genauigkeit: Richtigkeit und Präzision • Richtigkeit • Ausmaß der Annäherung des Erwartungswertes des Ermittlungsergebnisses an den Bezugswert (wahren Wert) • Systematische Fehler (Messabweichungen)
• Präzision • Ausmaß der gegenseitigen Annäherung voneinander unabhängiger Ermittlungsergebnisse bei mehrfacher Anwendung eines festgelegten Ermittlungsverfahrens unter vorgegebenen Bedingungen • Zufällige Fehler
Gute Richtigkeit Gute Präzision
Schlechte Richtigkeit Gute Präzision Mögliche Verbesserung: Kalibrierung
Gute Richtigkeit Schlechte Richtigkeit Schlechte Präzision Schlechte Präzision Mögliche Verbesserung: Mittelung
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6
Darstellung von Messungen in einem Histogramm
Frequency Häufigkeit
Darstellung von Messungen in einem Histogramm
Zufällige Fehler: Messungen streuen um Mittelwert
1000
500
0
98
100
102
104
Systematischer Fehler
“Wahrer” (Referenz) xref Wert (im Allgemeinen unbekannt)
x=
n
∑x i =1
106
108
X
Mittelwert: Ergebnis der Messung
i
n
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Größen zur Beschreibung einer Verteilung
8
Größen zur Beschreibung einer Verteilung (II) • Streuungsmaße
• Position: • Mittelwert
n
x=
∑x i =1
i
n
n : Anzahl der Messungen xi : Ergebnis der Messung (Zufallsgröße) i x : Mittelwert
• Median • Bei einer nach Größe sortierten Folge von Messwerten („geordnete Stichprobe“) ist der Median der Wert, der in der Mitte liegt (bei einer geraden Anzahl von Messwerten das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte).
• Modalwert, Modus
• Spannweite: Differenz zwischen dem größten (Maximum) und dem kleinsten Wert (Minimum) n • Varianz, Standardabweichung 2
∑ ( xi − x )
Varianz einer Grundgesamtheit: s 2 = i =1 n Standardabweichung der Grundgesamtheit: s = s2 • Wenn von Stichprobe (Messungen) auf Grundgesamtheit geschlossen werden soll: n Varianz (empirische):
σ = 2
• Der häufigste Wert einer Häufigkeitsverteilung
∑ ( xi − x )2
i =1
n −1
n
Standardabweichung (empirische): σ
=
∑ (x − x) i =1
i
n −1
2
σ =s
n n −1
Frequency Häufigkeit
Darstellung von Messungen in einem Histogramm (II)
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• Viele Ergebnisse von Experimenten können durch Glockenkurve beschrieben werden • N →∞, Breite der Klassen → 0:
Standardabweichung (Maß für zufällige Fehler)
1000
n
σ=
500
0
∑ (x − x) i =1
10
Die Normalverteilung
2
i
• Histogramm → Wahrscheinlichkeitsverteilung → Wahrscheinlichkeitsdichte
n −1
• Gauß- oder Normalverteilung (Wahrscheinlichkeitsdichte) 98
“Wahrer” (Referenz) Wert (im Allgemeinen unbekannt)
100
102
104
Systematischer Fehler
xref
x=
n
∑ xi
106
108
− 1 p ( x, µ , σ ) = e σ 2π
X
Mittelwert: Ergebnis der Messung
i =1
( x − µ )2 2σ 2
µ : Mittelwert σ : Standardabweichung
n
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Normalverteilung • Andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Die NormalVerteilung
• • • •
Binomialverteilung Poissonverteilung Gleichmäßige Verteilung …
• Normal/Gauss – Verteilung liegt am häufigsten vor Gründe: • Zentraler Grenzwertsatz: Die (normierte) Summe einer großen Zahl von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen ist annähernd (standard)normalverteilt. • Normalverteilung ist Näherung der Binomialverteilung für große N (und p = 1-q ≈ 0.5)
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Die Normalverteilung
Abweichungen
• Bei Zufallsvariable (Messung), die der Normalverteilung folgt:
P( µ − σ ≤ x ≤ µ + σ ) =
µ +σ
∫ p(x, µ , σ )dx = 0.683
µ −σ
P ( µ − 2σ ≤ x ≤ µ + 2σ ) =
Probability Density
• Wahrscheinlichkeit ist durch Integral über Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben:
Bezeichnung
Wahrscheinlicher ± 0.67σ Fehler
0.5
0
Standardabweichung
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Variable X
µ + 2σ
∫ p(x, µ ,σ )dx = 0.954
P ( µ − 3σ ≤ x ≤ µ + 3σ ) =
∫ p(x, µ , σ )dx = 0.997
µ −3σ
Probability Density
µ − 2σ µ + 3σ
Bereich
Wahrscheinlichkeit, dass Abweichung kleiner ist
Wahrscheinlichkeit, dass Abweichung größer ist
0.5
0.5
±σ
0.68
0.32
± 3σ
0.997
0.003
± 6σ
0.999999998
≈10-9
0.5
0
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Variable X
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Fehlerfortpflanzung • Fortpflanzung der Unsicherheit für zufällige Fehler (Abweichungen): • Messergebnis u ist Funktion mehrerer gemessener Größen
u = f (x, y,..)
• Aufgabe: Abschätzung der Unsicherheit der berechneten Größe • Lösungsansatz: Betrachtung einer Näherung erster Ordnung • Voraussetzung: Abweichungen (Fehler) sind unkorreliert • Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz: 2
⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ ⎡ ∂u ⎤ su = ⎢ s x ⎥ + ⎢ s y ⎥ + ... + ⎢ s z ⎥ x y ∂ ∂ ⎣ ∂z ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ 2
2
Fehlerfortpflanzungsgesetz (I) Betrachtung einer aus zwei (mit Unsicherheiten behafteten) Messgrößen berechneten Größe u: u = f ( x, y ) Mittelwerte und Abweichungen:
u = u + ∆u
x = x + ∆x
y = y + ∆y
Taylor-Reihe (Totales Differential):
u + ∆u = f ( x , y ) + ⇒
∂u ∂u ∆x + ∆y ∂x ∂y
Abweichung (Subtraktion des Mittelwerts u = f ( x , y ) )
∆u =
∂u ∂u ∆x + ∆y ∂x ∂y
Gleichung (1)
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Fehlerfortpflanzungsgesetz (II)
Fehlerfortpflanzungsgesetz (III)
Berechnung der Varianz su2 von u bei n Messungen: su
2
1 = n =
∑ (u
1 n
i
− u)
su
i = 1...n
2
2
⎛ ∂u ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠
∑
⎛ ∆xi 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ∂u ⎞ 2 ⎜ i ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ n ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝14243⎠ s 2 x
2
i
∑ ∆u
2 i
∑
⎛ ∆yi 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ i ⎟ ⎜⎜ n ⎟⎟ ⎝14243⎠ s 2 y
i
ui: Ergebnis der Messung (und Berechnung) i.
2
Einsetzen von Gleichung (1): 1 ⎛ ∂u ∂u ⎞ 2 ⇒ su = ∑ ⎜ ∆xi + ∆yi ⎟ n i ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎧ 1 ⎪⎪ = ⎨ n⎪ ⎪⎩
⎛ ∂u
⎞
2
i
⎞
i
i
⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⇒ su = ⎜ s x ⎟ + ⎜ s y ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2
⎛ ∂u
2
Berechnung der Standardabweichung:
Größen unkorreliert
∑ ⎜⎝ ∂x ∆x ⎟⎠ +∑ ⎜⎜⎝ ∂y ∆y ⎟⎟⎠ i
2
⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂u ⎞ 2 = ⎜ ⎟ sx + ⎜ ⎟ s y ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
644 4= 70444 8⎫
+2
⎪⎪
∂u ∂u
∑ ∂x ∂y ∆x ∆y ⎬ i
i
i
2
⎪ ⎭⎪
Standardabweichung des Mittelwerts
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Standardabweichung des Mittelwerts
Standardfehler
• Empirische Standardabweichung beschreibt Unsicherheit bei einer einzelnen Messung • Messergebnis wird durch Berechnung des Mittelwerts ermittelt • Aufgabe: Quantifizierung der Unsicherheit des Mittelwerts, des Standardfehlers
Standardfehler: Herleitung (I)
• Fehlerfortpflanzungsgesetz für n Variablen x1..xn (Hier andere Bezeichnung statt x,y,…)
⎛ ∂u ⎞ ⎜⎜ σ i ⎟⎟ ⎠ i =1 ⎝ ∂xi n
∑
σu =
2
u = f ( x1 , x2 ,..xn )
• Mittelwert: u=
∑x
i
n
=
x1 + x2 + x3 .... + xn n
• Betrachtung der Einzelmessungen x1,x2,.. als unabhängige Variablen mit gleicher Standardabweichung σ
σ 1 = σ 2 = σ 3 =... = σ
20
Standardabweichung des Mittelwerts
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Standardabweichung des Mittelwerts
Standardfehler: Herleitung (II)
(Standardfehler)
• Die Standardabweichung des Mittelwerts σn (Standardfehler) aus n Messungen ist durch
• Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes • Mit ∂x = 1 (gilt für alle xi) folgt: ∂xi n 2
2
2
2
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ σ u = ⎜ σ 1 ⎟ + ⎜ σ 2 ⎟ + ..... = ⎜ σ ⎟ + ⎜ σ ⎟ + ..... ⎝n ⎠ ⎝n ⎠ ⎝n ⎠ ⎝n ⎠
σn =
(σ 1 = σ 2 = .. = σ )
• Also folgt bei n Variablen ⎛1 ⎞ ⎝n ⎠
2
σ u = n⎜ σ ⎟ =
σ2 n
=
22
σ n
σ n
gegeben. (σ
n wurde in der Herleitung als σu bezeichnet, um Verwechselungen mit σi (i=1..n) zu vermeiden)
• Sehr wichtiges Ergebnis: Die Unsicherheit einer Messung lässt sich durch wiederholte Messungen verringern (dies ist ein wichtiger Grund, warum Mittelwert berechnet wird!) • Aber: Verbesserung ist durch Wurzelfunktion gegeben • ⇒ Verringerung der Unsicherheit um z.B. Faktor 10 erfordert 100-fache Anzahl von Messungen ⇒ Zeit, Kosten
• Und: Systematische Fehler werden nicht verringert • Ausblick: Angabe von Konfidenzintervall mit t-Faktor (siehe z.B. DIN 1319)
Fehlerfortpflanzung für systematische Fehler • Auswirkung von systematischen Fehlern kann durch direktes Einsetzen in die Gleichung betrachtet werden • Andere Möglichkeit: Totales Differential u = f ( x1 , x2 ..xn ) ∂u ∂u ∂u ∆u = ∆x1 + ∆x2 ... + ∆x n ∂x1 ∂x2 ∂xn
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Eliminierung von systematischen Fehlern (Praktisch)
• Identifikation von systematischen Fehlern: • Messung eines Normals • Messung der Messgröße mit zertifizierter Methode (z.B. zertifiziert durch PTB, NIST) • Analyse des Messgeräts
• Eliminierung von systematischen Fehlern: • Kalibrierung • Nachträgliche rechnerische Korrektur
24
25
26
Zusammenfassung
Vollständiges Messergebnis • Rundung des Mittelwerts auf ein oder zwei Stellen der Standardabweichung
• Empirische Standardabweichung: n
Standardabweichung σ1 = der Einzelmessung:
∑ ( xi − x ) 2 i =1
n −1
x = (x ± σ )
n : Anzahl der Messungen xi : Messwert der Messung i x : Mittelwert
Standardabweichung des Mittelwerts (Standardfehler):
σn =
• Abhängig von der Art der Messung wird die Standardabweichung der Einzelmessung genutzt oder die Standardabweichung des Mittelwerts
σ1
• Zusätzlich: Angabe der Art der Standardabweichung (z.B. Standardabweichung des Mittelwerts) und der Anzahl der Messungen
n
• Fehlerfortpflanzungsgesetz für n Variablen x1..xn u = f ( x1 , x2 ,..xn )
σu =
⎛ ∂u ⎞ ⎜⎜ σ i ⎟⎟ ⎠ i =1 ⎝ ∂xi n
∑
• • • •
2
Beispiel: Messung der Länge l Aus 10 Messungen berechneter Mittelwert: l = 10,51342 µm Standardabweichung des Mittelwerts σ n = 1,52783 µm Messergebnis: l = (10,5 ± 1,5) µm ,10 Messungen, Standardabweichung des Mittelwerts
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1.3.2 Kalibrierung • Kalibrierung • Tätigkeit zur Ermittlung des Zusammenhangs zwischen den ausgegebenen Werten eines Messgerätes oder einer Messeinrichtung oder den von einer Maßverkörperung oder von einem Referenzmaterial dargestellten Werten und den zugehörigen, durch Normale festgelegten Werten einer Messgröße unter vorgegebenen Bedingungen • Nicht zu verwechseln mit der Eichung, die nur von den dafür zuständigen Behörden vorgenommen werden darf (z.B. PTB)
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Kalibrierung (Praktisch) • Erster Schritt: Messungen von Normalen (bekannte Messgrößen) • Zweiter Schritt: Bestimmung des Zusammenhang zwischen Messgröße X und gemessenem Signal S, der Kalibrierfunktion: • S = f (X) • Dritter Schritt: Berechnung der “Skala”, der gemessenen Größe als Funktion des Signals S • X = f(S)
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Beispiel: Kalibrierung
Berechnung der Kalibrierfunktion und der Analysefunktion
30
2000
• Detektor (z.B. Photoionisationsdetektor PID): I / pA
1500
• Bekannt: Signal (Strom I) ist lineare Funktion der Konzentration c
1000 500 0
• Erster Schritt: Messung von bekannten Proben (Normale)
0
5
10
15
20
25
30
35
c / ppm
• Ergebnis: Konzentration
• Zweiter Schritt: Berechnung der Kalibrierfunktion I( c ) m. c b
Strom
c / ppm
I / pA
10
501
30
1501
• Dritter Schritt: Berechnung der „Skala“ (Analysenfunktion) c( I )
I
b m
31
32
Lineare Regression
Lineare Regression
• Messungen zur Kalibrierung enthalten Unsicherheit • Berechnung der Kalibrierfunktion mit der Methode der kleinsten Quadrate 80
• Signal S ist mit Unsicherheit behaftet • Ziel: Lineare Funktion f(x) finden, die Messungen am besten approximiert, d.h. Bestimmung von a, b:
60
80
y = a +b⋅ x
40
• Definition: Residuum R für Messung i
20
Ri = yi − (a + b ⋅ xi )
0
2
4
6
Messgröße X
8
10
12
40
20
• Minimierung von [R ] = ∑ R 2
0
60
Signal S
Signal S
• Annahme: Normal (Messgröße) ist bekannt
2 i
i
0
0
2
i = 1 .. n; n: Anzahl Messungen
4
6
Messgröße X
8
10
12
33
34
Lineare Regression
Lineare Regression
• Partielle Ableitungen
([
[ ]
• Lineares Gleichungssystem (a and b sind Variablen, [..] sind Koeffizienten)
])
∂R ∂ ( y − (a + b ⋅ x )) = ∂a ∂a ∂ y 2 − 2a[ y ] − 2b[xy ] + na 2 + 2ab[x] + b 2 x 2 = = −2[ y ] + 2na + 2b[x] ∂a 2
2
([ ]
[ ])
⇒ [ y ] − na − b[x ] = 0
• Berechnung von a und b
Ableitung = 0 bei Minimum
[ ] ([ ]
[ ])
a=
∂ R 2 ∂ y 2 − 2a[ y ] − 2b[xy ] + na 2 + 2ab[x ] + b 2 x 2 = = −2[xy ] + 2a[x ] + 2b x 2 ∂b ∂b
[ ]
2 ⇒ [xy ] − a[x ] − b x = 0
[ ]
Ableitung = 0 bei Minimum
[ y ][x 2 ]− [x][xy ] 2 n[x 2 ]− [x ]
n[xy ] − [x][ y ] 2 n x 2 − [x]
b=
[ ]
• Polynome und andere Linearkombinationen von Funktionen können analog zur Approximation eingesetzt werden
Zwei Gleichungen für a und b
35
36
Lineare Regression
Korrelation
• Abweichung der gemessenen yi von Regressionsfunktion: σ y2 =
[R ] 2
σy =
Standardfehler:
n−2
[R ] 2
n−2
• Varianz der Steigung (Fehlerfortpflanzung) σ b2 =
σ y2
[(x − x ) ] 2
x : Mittelwert
(Erinnerung: [ ]: Summe)
• Varianz von a σ a2 =
σ y2 [x 2 ]
[
n (x − x )
2
]
• Um Wertepaare (xi,yi) auf eine lineare Abhängigkeit hin zu untersuchen, kann der Korrelationskoeffizient r berechnet werden
r=
n[xy ] − [x ][ y ]
[ ]
n x 2 − [x ]
2
[ ]
n y 2 − [y]
2
• Wertebereich: -1 ≤ r ≤ 1 • Unabhängige Größen:
(Erinnerung: [ ] = Summe über i)
r=0
• Umkehrschluss nicht möglich: Aus r = 0 folgt lediglich, dass kein linearer Zusammenhang besteht
• Linear abhängige Größen:
r = ±1
37
38
Korrelation r = 0,85 y
y
r=0
Normale für Kalibrierungen
x
x
r = -0,998 Aber: Korrelation ist nicht gleich Kausalität
y
y
r = 0,998
x
J. G. Webster (Editor): “The Measurement, Instrumentation, and Sensors Handbook” CRC Press, 1999.
x
39
40
1.4. Messprotokoll
Bedeutung von Normalen (Standards)
Enthält alle Informationen, die für Bestimmung des Messwertes notwendig sind und die Fehlerbetrachtung
Wiederholbarkeit 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. J. G. Webster (Editor): “The Measurement, Instrumentation, and Sensors Handbook” CRC Press, 1999.
Aufgabenstellung mit Erläuterung Ort, Datum, Uhrzeit, Name Beschreibung des Messverfahrens Typenbezeichnung, Seriennummer der Prüflinge Schaltbild, evtl. Leitungsführung Messergebnisse, Tabellen - graphische Darstellung Zusammenfassung, kritische Diskussion
41
Darstellung der Messwerte U (V) 4
U=f (I)
3,5
Durch Regression ermittelte Funktion zur Approximation der Messung
3 2,5 2 1,5
Wenn möglich: Fehlerbalken
1 0,5 0
1
2
3
I (mA)
