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Prof. Dr. S. Dietrich Dr. M. Bier (
[email protected]) M.Sc. H. Bartsch M.Sc. N. Farahmand Bafi Dr. M. Gross M.Sc. M. Labb´e-Laurent M.Sc. A. Reindl Dr. C. Rohwer
Theoretische Physik I: Klassische Mechanik ¨ 7. Ubungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP1 16)
SoSe 2016 30. Mai 2016
23. Additionstheoreme f¨ur Geschwindigkeiten Gegeben seien ein Inertialsystem K und ein relativ dazu mit der konstanten Geschwindigkeit u ∈ R3 bewegtes zweites Inertialsystem K ′ . Ein Teilchen bewege sich mit konstanter drr drr′ Geschwindigkeit, die in K als v = ∈ R3 und in K ′ als v ′ = ′ ∈ R3 wahrgenomdt dt men wird. Dabei sind die Geschwindigkeiten u , v und v ′ im Allgemeinen nicht parallel. Bestimmen Sie f¨ ur den Fall, dass K ′ aus K durch (a) Galileitransformation bzw. (b) Lorentztransformation hervorgeht, eine Relation zwischen v und v ′ . (Hinweis: Betrachten Sie t′ (t) als Funktion von t und leiten Sie r ′ (t′ (t)) nach t ab.) u| |u Diskutieren Sie f¨ ur die Lorentztransformation in Aufgabenteil (b) den Limes ≪ 1 und c vergleichen Sie ihn mit dem Ergebnis der Galileitransformation aus Aufgabenteil (a). 24. Lorentzkraft Betrachten Sie ein punktf¨ormiges Teilchen der Masse m und Ladung q in einem homogenen magnetischen Feld B = Beez . Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen im Ursprung und es besitze die Geschwindigkeit v (t = 0) = v 0 . Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Teilchens auf, l¨osen Sie diese und beschreiben Sie die Bahn. 25. St¨orungsrechnung D Betrachten Sie ein punktf¨ormiges Teilchen der Masse m im Potential U(z) = mgz + ε z 2 , 2 wobei g, D > 0 und 0 ≤ ε ≪ 1 gelte. Zum Zeitpunkt t = 0 ruhe das Teilchen im Ursprung. (a) Beschreiben Sie die physikalische Situation in Worten. Welche Teilchenbahnen erwarten Sie f¨ ur ε = 0 und f¨ ur ε > 0? (b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. (c) Bestimmen Sie die L¨osung z0 (t) der Bewegungsgleichung aus Aufgabenteil (b) f¨ ur den Fall ε = 0 und beschreiben Sie die Teilchenbewegung. Fortsetzung auf Seite 2 1
D (d) Nun soll der Einfluss eines nicht verschwindenden St¨orterms ε z 2 6= 0 im Poten2 tial U auf die Teilchenbahn untersucht werden. Substituieren Sie hierzu den Ansatz z(t) = z0 (t)+εz1 (t)+O(ε2 ) in die Bewegungsgleichung aus Aufgabenteil (b) und identifizieren Sie ordnungsweise die Koeffizienten der Terme ∼ εn auf beiden Seiten der Bewegungsgleichung f¨ ur n = 0 und f¨ ur n = 1. Welche Gleichung ergibt sich f¨ ur n = 0? L¨osen Sie die Gleichung f¨ ur n = 1, indem Sie die L¨osung z0 (t) der Gleichung f¨ ur n = 0 verwenden. Formulieren Sie die L¨osung in 1. St¨orungsordnung z˜(t) := z0 (t) + εz1 (t) und beschreiben Sie den Einfluss der St¨orung in Worten. F¨ ur welche Zeiten t erwarten Sie, dass z˜(t) eine gute N¨aherung der exakten L¨osung sein wird? (e) L¨osen Sie nun die Bewegungsgleichung in Aufgabenteil (b) exakt, entwickeln Sie die L¨osung bis zur 1. Ordnung in ε und vergleichen Sie mit der L¨osung in 1. St¨orungsordnung z˜(t) aus Aufgabenteil (d). Bemerkungen: • Der Fall, dass ein interessantes Problem exakt gel¨ost werden kann (siehe Aufgabenteil (e)) tritt sehr selten auf. Kann man das Problem aber durch die St¨orung eines exakt l¨osbaren Spezialfalls (siehe Aufgabenteil (c)) formulieren, ist St¨orungsrechung (siehe Aufgabenteil (d)) eine Methode, um n¨aherungsweise L¨osungen zu gewinnen. • Durch Vergleich der Koeffizienten h¨oherer Ordnungen in ε l¨asst sich eine St¨orungsrechung prinzipiell bis zu beliebig hoher Ordnung durchf¨ uhren. Dabei treten in jeder Ordnung n neben der unbekannten Funktion zn (t) nur schon bekannte Beitr¨age zk (t) mit k < n auf. • Konvergenzfragen einer St¨orungsentwicklung sind von physikalischer Relvanz.
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