4 Leitungen - Hochschule Landshut

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Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik 4 Leitungen 4.1 Signalausbreitung auf unendlich ausgedehnten, homogenen Leitungen Homogene Leitungen sind in Längsrichtung (z-Richtung) homogene Gebilde, bei denen der Hin- und Rückleiter eine in der Querrichtung (x-y-Ebene) konstante und definierte Geometrie besitzen (z.B. Koaxialkabel, Verdrillte Zweidrahtleitung, Parallelplattenleitung, Koplanarleitung, Microstripline, Stripline). Modell der homogenen Leitung: z L’z i(z, t) ... R’z i(z, t) u(z, t) u(z, t) i(z+z, t) ... C’z G’z u(z+z, t) z L'  L : z C'  C : Kapazitätsbelag z R'  R : Widerstandsbelag z G'  G : Leitwertbelag z Induktivitätsbelag Die Leitungsbeläge müssen durch Berechnung der Feldverteilung über den geometrischen Querschnitt in der x-y-Ebene ermittelt werden. In einfachen Fällen (z.B. Parallelplattenleitung, Koaxialleitung) ist dies analytisch möglich, im allgemeinen aber nur numerisch mit FEM-Programmen. Leitungsgleichungen: uz, t   R'z  iz, t   L'z  diz, t  dt iz, t   G'z  uz, t   C'z  duz, t  dt   I) duz, t  diz, t   R'iz, t   L' dz dt   II) diz, t  duz, t   G'uz, t   C' dz dt z0 z0 1 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Dieses lineare, partielle DGL-System mit konstanten Koeffizienten besitzt für die ideale, verlustlose (R’  0, G’  0 ) Leitung eine einfache Lösung: I) nach z differenziert: d2uz, t  d2iz, t    L '  dz 2 dz  dt II) nach t differenziert: d2iz, t  d2uz, t   C' dt  dz dt 2 II) in I): d2uz, t  d2uz, t   L '  C '  dz 2 dt 2 Dies ist die sog. Wellengleichung für die örtliche und zeitliche Spannungsverteilung entlang der Leitung. Analog kann durch Differenzieren von I) nach t und II) nach z und Einsetzen von I) in II) eine entsprechende Wellengleichung für die Stromverteilung abgeleitet werden: d2iz, t  d2iz, t   L '  C '  dz 2 dt 2 Die allgemeinen Lösungen dieser Wellengleichungen sind beliebige örtliche Spannungs- und Stromverteilungen, die sich unter Beibehaltung ihrer Form mit der Geschwindigkeit v in die positive oder negative z-Richtung bewegen: iz, t   f  zv  t   f  zv  t   w w uz, t   Z W  f  zv  t   Z W  f  zv  t   w w Die Verteilungen f+ bewegen sich in die positive z-Richtung. Der Zusammenhang der Geschwindigkeit v und des sog. Wellenwiderstandes ZW mit den Leitungsbelägen ergibt sich durch Einsetzen dieser Spannungs- und Stromverteilungen in die Wellengleichung und in die Ausgangsgleichungen: diz, t  df w   df w   1   1 dz dw  dw   d2iz, t  d2 f w   d2 f w     2 2 dz 2 dw  dw  duz, t  df w  df w   ZW     ZW    dz dw  dw  diz, t  df w   df w  d2iz, t  d2 f w   2 d2 f w   2    v      v   v  v 2 2 dt dw  dw  dt 2 dw  dw  2 2 2  2  In WG für Strom: d f w2    d f w2    L'C' d f w2    d f w2    v 2 dw  dw   dw  dw   v  Der Kehrwert der Geschwindigkeit ist die sog. spezifische Laufzeit: t d '  1  L' C' v In I): Z W   df w    df w    L' df w    df w     v   Z W  L'v  Z W   dw  dw    dw  dw   2 1 L'C' L' C' tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Umgekehrt können natürlich auch die Leitungsbeläge durch die spezifische Laufzeit und durch den Wellenwiderstand ausgedrückt werden: L'  Z W  t d ' C'  td' ZW Wenn nur eine Welle in einer Ausbreitungsrichtung vorhanden ist, ist das Verhältnis zwischen Spannungs- und Stromamplitude unabhängig von z und entspricht betragsmäßig dem Wellenwiderstand der Leitung: u z, t   ZW i z, t  u z, t   Z W i z, t  Bei verlustbehafteten Leitungen sind die Lösungen der Leitungsgleichungen gedämpfte harmonische (sinusförmige) Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit  v ausbreiten, z.B. uz, t   uˆ  e  z  sin  t    z   Spannungsverlauf am Ort z  0: Spannungsverlauf entlang der Leitung zum Zeitpunkt t  0: û û u(0,t) u(z,0) t z  ist der Dämpfungskoeffizient und  ist der Phasenkoeffizient der harmonischen Welle. Der Phasenkoeffizient  ist bis auf einen Faktor 2 der Kehrwert der Wellenlänge  2 . Die Ausbreitungsgeschwindigkeit kann damit der harmonischen Welle:    auch durch die Wellenlänge  und die Frequenz f ausgedrückt werden: v  2  f   2 /   v  f Bei einer verlustbehafteten Leitung ist sowohl der Wellenwiderstand als auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit frequenzabhängig. Zusätzlich reduzieren die Verluste auch die Amplituden der harmonischen Wellen entlang der Ausbreitungsrichtung. Dadurch verändert sich die Form einer aus harmonischen Wellen zusammengesetzten Spannungs- und Stromverteilung während der Ausbreitung. Der Effekt der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten bei verschiedenen Frequenzen heißt Dispersion. Dispersion führt zu einer Verbreiterung von Pulsen während der Ausbreitung und begrenzt dadurch in der Übertragungstechnik die Bandbreite. Die Abnahme der Amplitude durch die Verluste heißt Dämpfung und begrenzt in der Übertragungstechnik die Reichweite. 3 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Durch Einsetzen der gedämpften harmonischen Wellen in die Leitungsgleichungen erhält man den Zusammenhang von ZW,  und  mit den Leitungsbelägen: ZW  R' j  L' G' j  C'   j  R' j  L'G' j  C' Praktisch genutzt werden vor allem verlustarme Leitungen, für die gilt: R'  L' und G'  C' In diesem Fall gilt näherungsweise: ZW  L' , C'     L' C' ,  L' C' 2  R' G'      L' C'  Im Rahmen dieser Näherung wird Dispersion vernachlässigt, d.h. der Wellenwider1  stand und die Ausbreitungsgeschwindigkeit v   sind frequenzunabhängig  L'C' und haben die gleichen Werte wie bei der verlustlosen Leitung. Der Dämpfungskoeffizient  beschreibt entsprechend dem Ansatz eine Abnahme der Amplitude bei einer Leitungslänge z um einen Faktor e  z . Hieraus ergibt sich die Dämpfung a in dB pro Leitungslänge z: a dB z      R'  C' L'   20 lg e  z   4 . 34 dB G ' Z    20 lge   4.34dB   R'  G'     W  L ' C ' Z z  W    Die Dämpfung ist frequenzabhängig, weil der Widerstandsbelag R’ und der Leitwertbelag G’ frequenzabhängig sind. Die Frequenzabhängigkeit des Widerstandsbelages R’ wird durch den sog. Skineffekt verursacht, der die Ladungsträger durch das eigene Magnetfeld auf die Oberfläche des Leiters konzentriert. Dadurch verringert sich der effektive Querschnitt und der Widerstand nimmt zu. Solange die sog. Skintiefe größer ist als die Dicke des Leiters, ist die Zunahme schwach. Wenn die Skintiefe dagegen kleiner als die Dicke geworden ist, erfolgt die Zunahme proportional zur Wurzel aus der Frequenz. Ein RG58-Koaxialkabel hat z.B. bei 200MHz eine Dämpfung von 0.24dB/m, während die Dämpfung bei 800MHz bereits 0.51dB/m beträgt. Der Leitwertbelag, der die Verluste im Dielektrikum beschreibt, nimmt näherungsweise proportional zur Frequenz zu. Die Verluste im Dielektrikum werden wegen der Proportionalität zur Frequenz vor allem bei sehr hohen Frequenzen wichtig, da die bei niedrigeren Frequenzen dominierenden ohmschen Verluste nur proportional zur Wurzel aus der Frequenz ansteigen. Durch diese frequenzabhängige Dämpfung kommt es auch bei Vernachlässigung der Dispersion zu einer Formänderung bei der Ausbreitung, da die hohen Frequenzen stärker gedämpft werden. Die verlustbehaftete Leitung hat damit Tiefpasscharakter und bewirkt eine Abflachung der Pulsflanken. 4 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik 4.2 Signalausbreitung auf verlustlosen Leitungen mit endlicher Länge e a  0 z Zwischen Spannungs- und Stromverteilung einer nach rechts laufenden Welle besteht nach dem letzten Abschnitt der Zusammenhang u  z, t   Z W  i z, t  . Wenn die Welle am Leitungsende ankommt, erzwingt der Abschlusswiderstand nach dem ohmschen Gesetz aber u, t   RL  i, t  , was die nach rechts laufende Welle nur bei R L  Z W erfüllen kann. Bei jedem anderen Abschlusswiderstand lässt sich der Widerspruch nur auflösen, indem ein Teil der Welle reflektiert wird, der nach links läuft. Spannung am Leitungsende: u(, t )  u (, t )  u  (, t ) Strom am Leitungsende: Aus RL  i(, t )  i (, t )  i (, t ) u (, t )  u (, t ) u (, t )  u (, t ) u (, t )  u (, t ) u, t   ZW   folgt: RL    u (  , t ) u (  , t ) i, t  i (, t )  i (, t ) u (, t )  u (, t )    ZW ZW Hieraus kann die Amplitude der reflektierten Welle berechnet werden: u (, t )  RL  Z W  u (, t ) RL  Z W Das Verhältnis rL  u  (, t ) heisst Reflexionsfaktor : u  (, t ) rL  RL  Z W RL  Z W Spezialfälle: R L  Z W (Abschluss mit Wellenwiderstand)  rL  0 Energie der Welle wird im Abschlusswiderstand vollständig in Wärme umgewandelt. R L   (offene Leitung, Leerlauf)  rL  1 Energie der Welle wird vollständig reflektiert, da in einem Leerlauf keine Energie in Wärme umgesetzt werden kann. RL  0 (kurzgeschlossene Leitung)  rL  -1 Energie der Welle wird vollständig reflektiert, da in einem Kurzschluss keine Energie in Wärme umgesetzt werden kann. Wenn die reflektierte Welle wieder am Leitungsanfang ankommt, trifft sie auf den R  ZW Quellenwiderstand RQ und wird mit dem Reflexionsfaktor rQ  Q erneut RQ  Z W reflektiert. Reflexionen treten auch beim Übergang zwischen Leitungen mit unterschiedlichem Wellenwiderstand oder mit unterschiedlicher Querschnittsgeometrie auf. 5 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Auswirkungen der Reflexionen Der Verlauf der Spannung am Leitungsende ergibt sich aus der Überlagerung aller am Leitungsende eintreffenden Spannungswellen und kann sehr übersichtlich mit einem sog. „Impulsfahrplan“ konstruiert werden ( t d  t d ' ): u, t   ZW  RQ  Z W  (1+rL) 0 uQ(t-td) (1+rL) (1+rL) 2 + rLrQ + (rLrQ)  uQ(t-3td) uQ(t-5td) (1+rL) (1+rL) 3 4 + (rLrQ)  + (rLrQ)  uQ(t-7td) uQ(t-9td) + … t  z 0 0 td 2td 3td 4td 5td 6td 7td 8td 9td 10td 11td t Um die gravierenden Auswirkungen der Reflexionen zu demonstrieren, nehmen wir eine ideale Spannungsquelle am Leitungsanfang an, die zum Zeitpunkt t  0 einen Spannungssprung U0  t  erzeugt. Der Widerstand RL am Leitungsende sei . Diese Situation entspricht recht gut den Verhältnissen in digitalen Schaltungen. R  ZW Reflexionsfaktor am Leitungsende: rL  L 1 RL  Z W R  ZW Reflexionsfaktor am Leitungsanfang: rQ  Q  1 RQ  Z W 2U0 u, t  U0 0 t  z 0 0 td 2td 3td 4td 5td 6td 7td 8td 9td 10td 11td t U0 uQ(t) 0 6 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  0, RL  : Dieses Verhalten ist in einer digitalen Schaltung natürlich nicht akzeptabel. Es kann vermieden werden durch einen Leitungsabschluss mit RL  ZW: 2U0 u, t  U0 0 t  z 0 0 td 2td 3td 4td 5td 6td 7td 8td 9td 10td 11td t U0 uQ(t) 0 Eine mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene Leitung wirkt an ihrem Eingang wie ein Widerstand ZW. Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  0, RL  50: 7 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Alternativ kann auch ein angepasster Quelleninnenwiderstand RQ  ZW verwendet werden: 2U0 u, t  U0 0 t  z 0 0 td 2td 3td 4td 5td 6td 7td 8td 9td 10td 11td t U0 uQ(t) 0 Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  50, RL  : Achtung: Die Verwendung von RQ  ZW und RL  ZW führt zu einer Halbierung der Spannungsamplitude wegen des Spannungsteilers zwischen RQ und ZW! Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  50, RL  50: 8 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Auswirkung der Reflektionen bei einer Fehlanpassung (RQ  0 und RL  3ZW): 2U0 u, t  U0 0 t  z 0 0 td 2td 3td 4td 5td 6td 7td 8td 9td 10td 11td t U0 uQ(t) 0 Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  0, RL  150: 9 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Auswirkung der Reflektionen bei einer Anstiegszeit trf  5td und RQ  0, RL  : 2U0 u, t  U0 0 t  z 0 0 td 2td 3td 4td 5td 6td 7td 8td 9td 10td 11td t U0 uQ(t) 0 Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  25ns, Rq  0, RL  oo: Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  105ns, Rq  0, RL  oo: 10 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Bei einem sinusförmigen Eingangssignal bleibt das Ausgangssignal wegen der Linearität zwar sinusförmig. Die Reflexionen bewirken bei höheren Frequenzen jedoch eine sehr große Amplitudenänderung am Ausgang wie sie auch an einem Parallel- oder Serienschwingkreis auftreten. In den folgenden Simulationen ist die Amplitude eines sinusförmigen Signals am Ausgang einer Leitung mit ZW  50 und td  5ns als Funktion der Frequenz dargestellt. Die Leitung ist mit einem Widerstand RL abgeschlossen und wird von einer Sinusquelle mit Quellenwiderstand Rq und einer Amplitude von 1V gespeist. Darunter ist jeweils die Impedanz des Leitungseingangs als Funktion der Frequenz dargestellt. Simulation mit ZW  50, td=5ns, Rq  0, RL  : Simulation mit ZW  50, td=5ns, Rq  0, RL  50: Simulation mit ZW  50, td=5ns, Rq  50, RL  oo: 11 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik Schlussfolgerungen 1) Bei digitalen Signalen mit Anstiegs-/Abfallzeit trf müssen Reflexionen durch Leitungsabschluss vermieden (RL  ZW oder RQ  ZW) bzw. auf ein vertretbares Maß (RL  ZW oder RQ  ZW) reduziert werden, wenn t rf  2  t d bzw. t rf  2  td'  bzw. t rf ns  10  m Voraussetzung für den Leitungsabschluss ist die Verwendung einer Leitung mit definiertem Wellenwiderstand. Reflexionen können vernachlässigt werden, wenn t rf  2  t d bzw. t rf  2  t d '  bzw. t rf ns  10  m In diesem Fall ist kein Leitungsabschluss erforderlich und es können Leitungen ohne definierten Wellenwiderstand verwendet werden. 2) Sinusförmigen Signalen mit Frequenz f  1 kann man eine Anstiegs-/Abfallzeit T T zuordnen. Bei sinusförmigen Signalen mit Frequenz f müssen Reflexionen 2 durch Leitungsabschluss vermieden (RL  ZW oder RQ  ZW) bzw. auf ein vertretbares Maß (RL  ZW oder RQ  ZW) reduziert werden, wenn t rf  f 1 4  td bzw. f   1 4  td' bzw. f    50MHz  m bzw.   4 Voraussetzung für den Leitungsabschluss ist die Verwendung einer Leitung mit definiertem Wellenwiderstand. In der Messtechnik werden deshalb Koaxialkabel mit einem Wellenwiderstand von 50 verwendet, Funktions- und Pulsgeneratoren besitzen einen definierten Quellenwiderstand von 50. Bei Oszilloskopen werden sowohl hochohmige Eingänge verwendet (typ. 1M//10…50pF) als auch 50-Eingänge. Reflexionen können vernachlässigt werden, wenn f  1 4  td bzw. f    1 4  td' bzw. f    25MHz  m bzw.    4 In diesem Fall ist kein Leitungsabschluss erforderlich und es können Leitungen ohne definierten Wellenwiderstand verwendet werden. In diesem Frequenzbereich wirkt eine am Ausgang offene Leitung an ihrem Eingang wie eine Kapazität C' und eine am Ausgang kurzgeschlossene Leitung wirkt an ihrem Eingang wie eine Induktivität L' . Bei höheren Frequenzen wirkt eine an ihrem Ausgang offene oder kurzgeschlossene Leitung wie ein Schwingkreis mit unendlich vielen Serien- und Parallelresonanzen. 12 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik 3) Eine mit dem Wellenwiderstand abgeschlossene, verlustfreie Leitung wirkt an ihrem Eingang wie ein ohmscher Widerstand ZW und bewirkt an ihrem Ausgang nur eine Zeitverzögerung um td: u a t   u e t  t d    Laplacetransformation: Ua s   Ue s   e  st d  Ua s  Übertragungsfunktion: G(s)   Ue s   G(s)  e  st d Frequenzgang: G( j)  e  jt d 40 +0° G |G|dB -90° 20 -180° 0 -270° -360° -20 -450° -540° -40 -1 10 2 4 6 8 100 2 4 6 8 101 td 4 10 -1 2 4 6 8 100 2 4 6 8 101 td 4 In der Regelungstechnik besitzt ein sog. Totzeitglied das gleiche Zeitverhalten, die gleiche Übertragungsfunktion und den gleichen Frequenzgang mit der sog. Totzeit Tt anstelle der Verzögerungszeit td. Beispiele für Totzeitglieder sind Rohrleitungen, Förderbänder, Messverzögerung des Istwertes durch A/D-Wandlung und/oder Datenübertragung, Verzögerung der Stellgröße durch Taktung. 13 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik 4.3 Häufig verwendete Leitungsgeometrien a) Parallelplattenleitung (Spannungsversorgung Versorgungs- und Masselage) C'   0   r  w h ZW  auf Platinen mit separater 0 1 h 377 h     0 w w   r r  ZF 0 377   L'   0   ns t d '   0   0   r  r   r  3 .3    c m h w 1c Beispiel: Europaplatine mit w  100mm, h  1mm und r  4.7  C’  4.2nF/m L’  12.6nH/m ZW  1.7 td’  7.3ns/m b) Koaxialleitung (Messtechnik, Videotechnik) C'  2   0   r D ln  d ZW  0 1  D  60  D   ln    ln    0   r 2  d  r d  L'  0  D   ln  2  d  t d '   0  r   0  r ns   r  3. 3 c m Beispiel: RG 58 C/U mit d  0.9mm D  3mm r  2.2  C’  100pF/m L’  250nH/m ZW  50 dB f  Dämpfung ca. 0.54 m GHz td’  5ns/m c) Symmetrische Doppelleitung (twisted-pair) (Ethernet, CAN-Bus) C'    0  r   0  r   2s  s cosh 1   ln   d  d ZW  0 1  s  120  2s    cosh 1     ln  0  r  r  d  d  L'  0  2s  s   cosh 1    0  ln    d d  t d '   0  r   0  r ns   r  3 .3 m c Beispiel: d  0.5mm s  1mm r  2.3  C’  50pF/m L’  525nH/m ZW  100 td’  5ns/m dB f  Dämpfung ca. 0.63 m GHz 14 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc Prof. Dr. T. Wolf Hochschule Landshut Elektrotechnik III Elektro- und Informationstechnik d) Symmetrische Stripline (Signalübertragung auf Platinen) Näherungsformeln für w/h  0.35 und d/h  0.25 ZW  60 r  ln t d '   r  3 .3 1. 9  h 0 .8  w  d ns m Für genaue Berechnungen muss ein Wellenleiterprogramm (transmission line calculator, microstrip calculator) verwendet werden. e) Microstripline (Signalübertragung auf Platinen) Näherungsformeln für 0.1  w/h  2 ZW  87  r  1 .4  ln 6 h 0. 8  w  d t d '  0.475 r  0.67  3.3 ns m Für genaue Berechnungen muss ein Wellenleiterprogramm verwendet werden. f) Doppelstreifenleitung bzw. Koplanarleitung (Signalübertragung auf Platinen) Die Koplanarleitung kann ohne Massefläche, mit einer Massefläche als Microstrip-Geometrie und mit zwei Masseflächen als Stripline-Geometrie ausgeführt werden. Für Berechnungen des Wellenwiderstandes und der Laufzeit muss ein Wellenleiterprogramm verwendet werden. 15 tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc