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11 4 Relativbewegung eines Massenpunkts Aufgabe 1 Die Ableitungsregeln für Zylinderkoordinaten lassen sich aus den Gesetzen der Relativkinematik herleiten. z, zȀ ³ a) Stellen Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor w des drehenden Koordinatensystems in KȀ auf. P(t) ³ ez ³ b) Beschreiben Sie die relative Lage r Ȁ, Relativge³ ³ schwindigkeit v Ȁ und Relativbeschleunigung a Ȁ bez. KȀ im Koordinatensystem KȀ. rȀ ³ O, OȀ ö ³ c) Finden Sie die Vektoren der Lage r , Absolutgeschwindigkeit ³ v und Absolutbeschleunigung ³ a in KȀ mit Hilfe der Relativkinematik. z ³ eö ³ er y r x yȀ xȀ Aufgabe 2 Beweisen Sie durch Differentiation der Orthogonalitätsbeziehung SS T + E nach der Zeit, . ~ dass für beliebige Drehmatrizen das Produkt w + SS T schiefsymmetrisch ist, weshalb man jeder Drehung durch Rösselsprung einen Winkelgeschwindigkeitsvektor w zuordnen kann. Aufgabe 3 Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v F durch den Regen, der mit der Geschwindigkeit v R unter dem Winkel ö zu Boden fällt. Die Windschutzscheibe des Fahrzeugs ist um 60° geneigt. yȀ 60° ö vR xȀ vF a) Bestimmen Sie die Relativgeschwindigkeit des Regens, die der Fahrer beobachtet. b) Unter welchem Winkel fällt der Regen für v F + 72kmńh, v R + 30mńs, ö + 45° auf die Windschutzscheibe? c) Bei welcher Fahrzeuggeschwindigkeit klatscht der Regen senkrecht auf die Windschutzscheibe? 12 4 Relativbewegung eines Massenpunkts Aufgabe 4 Ein Fahrzeug A fährt mit konstanter Geschwindigkeit v 0 auf einem Kreis mit Radius R. Der Fahrer beobachtet dabei ein zweites Fahrzeug B, das rechts neben ihm mit gleicher Geschwindigkeit geradeaus fährt. Rń2 a) Wählen Sie ein mit dem Fahrzeug A verbundenes, mitbewegtes Koordinatensystem KȀ, in dem alle folgenden Vektoren beschrieben werden sollen. Wie groß ist die Ursprungsgeschwindigkeit v OȀKȀ und die Winkelgeschwindigkeit w KȀ des mitbewegten Koordinatensystems im skizzierten Augenblick? v0 v0 R b) Beschreiben Sie die Absolutgeschwindigkeit v BKȀ und die relative Lage rȀKȀ des beobachteten Fahrzeugs B im skizzierten Augenblick. A B c) Welche Relativgeschwindigkeit vȀBKȀ des Fahrzeugs B beobachtet der Fahrer des Fahrzeugs A im skizzierten Augenblick? d) Wählen Sie ein mit dem Fahrzeug B verbundenes, mitbewegtes Koordinatensystem KȀȀ. Welche Relativgeschwindigkeit vȀȀKȀȀ des Fahrzeugs A beobachtet der Fahrer des Fahrzeugs B im skizzierten Augenblick? Aufgabe 5 In einem Mechanismus wird eine Schwinge über eine Kurbel (Radius R, Winkelgeschwindigkeit W) angetrieben. P yȀ wS v rel b xȀ R ö a W a) Bestimmen Sie die effektive Schwingenlänge b und den Schwingenwinkel a aus der Geometrie. 3R b) Berechnen Sie mit Hilfe der Relativkinematik die Relativgeschwindigkeit v rel des Kubelzapfens P bezüglich der Schwinge sowie die Winkelgeschwindigkeit w S der Schwinge in der skizzierten Position. c) Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit v rel und die Winkelgeschwindigkeit w S der Schwinge für ö + 0° und ö + 180°? 4 Relativbewegung eines Massenpunkts Aufgabe 6 z Ein Spielzeugkreisel mit kugelförmiger Kontaktfläche (Radius R) tanzt auf einer Ebene mit der Winkelgeschwindigkeit W. Durch die Eigendrehung und kleine Kippbewegungen a, b Ơ 1 hat der Kreisel im inertialen Koordinatensystem K {0, x, y, z}die Winkelgeschwindigkeit ȱa.. ) bWȳ w K +ȧb * aWȧ. Ȳ W ȴ Der Mittelpunkt seiner Kugeloberfläche bewegt sich dabei mit der Absolutgeschwindigkeit 13 W y OȀ O y OȀ b x OȀ P a x ȱx.. OȀȳ vOȀK +ȧy OȀȧ. Ȳ0ȴ Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des körperfesten Punktes P, der momentan die Ebene berührt. Aufgabe 7 Ein Reisender jongliert in einem Zug (Reisegeschwindigkeit v R) mit einem Ball. Er wirft dazu den Ball mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht nach oben. Im Moment des Abwurfs (t + 0) fährt der Zug in einen Bahnhof ein und beginnt, mit der konstanten Verzögerung a V u 0 zu bremsen. vR y, yȀ v0 xȀ a) Ein Mann auf dem Bahnsteig beobachtet den Jongleur durch das Fenster. Wie lautet der Impulssatz für den Ball im raumfesten Koordinatensystem dieses Beobachters? Welche Flugbahn y(x) beobachtet er? b) Wie lautet der Impulssatz für den Ball im mitbewegten Koordinatensystem des Jongleurs? Welche Flugbahn yȀ(xȀ) beobachtet er? c) Welche Flugbahnen würden die beiden sehen, wenn der Zug nicht bremsen würde? H x 1 2 3 14 4 Relativbewegung eines Massenpunkts Aufgabe 8 Ein Fahrgeschäft auf einem Rummelplatz besteht aus aus einer horizontalen Scheibe (konstante Winkelgeschwindigkeit W), auf der sich im Abstand R von der Drehachse eine Gondel (Radius r) mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit w relativ zur Scheibe dreht. Im Drehpunkt der Gondel wird ein mitbewegtes, gondelfestes Koordinatensystem KȀ definiert, in dem die folgenden Angaben zu machen sind. y xȀ P wt r yȀ R Wt x a) Welche Scheinkräfte verspürt ein Fahrgast P (Masse m), der sich an den Gondelrand anlehnt, bezüglich KȀ? b) Formulieren Sie den Impulssatz für den Fahrgast in Relativkoordinaten und berechnen Sie die Kontaktkräfte tangential und normal zur Gondelwand. c) Wie schnell muss sich die Gondel drehen, damit der Fahrgast sicher an die Gondelwand gepresst wird?