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Himmelsmechanik Sommersemester 2016, Prof. Spahn ¨ Ubungsblatt 7 (20 Punkte) Ausgabe: 4. Juli 2016 Abgabe: 18. Juli 2016 Aufgabe 7.1 – Tisserand-Kriterium
(6 Punkte)
Betrachten Sie einen Kometen mit anf¨anglichen Halbachse a, Exzentrizit¨at e und Inklination i. Nach einem nahen Vorbeiflug an einem großen Planeten (z.B. Jupiter) ¨andern sich seine Orbitelemente zu a0 , e0 , i0 . Beweisen Sie, dass die folgende Beziehung (Tisserand, 1896) n¨ aherungsweise erf¨ ullt ist, wenn sich der Komet weit entfernt vom Planeten befindet und gilt µ1 = γm1 µ2 = γm2 (mit Normierung: γ (m1 + m2 ) = 1): p 1 2 a (1 − e2 ) cos i + = const a Aufgabe 7.2 – Jacobi-Integral an den Lagrange-Punkten
(8 Punkte)
Wir verwenden ein mitrotierendes Bezugssystem befestigt im Schwerpunkt von m1 und m2 mit den Achsen x, y, z. Die Massen m1 und m2 haben die Koordinaten (−µ2 , 0, 0) und (µ1 , 0, 0) (Schwerpunktssatz & Normierung). Der Abstand einer anderen Masse von den beiden schweren Massen sei r1 bzw. r2 . Das Jacobi-Integral schreibt sich dann µ2 µ1 2 2 − x˙ 2 − y˙ 2 + C =x +y +2 r1 r2 (a) Zeigen Sie, dass f¨ ur eine Nullgeschwindigkeitskurve (v 2 = 0) gilt 2 2 C = (1 − µ2 ) r12 + + µ2 r22 + r1 r2 (b) Berechnen Sie das Jacobi-Integral an den Positionen der triangularen LagrangePunkte L4/5 und n¨ aherungsweise f¨ ur die kolinearen Lagrange-Punkte L1/2/3 bis einschließlich Ordnung O (µ2 ). 13 1 µ2 α = 3µ L4/5 : x = − µ2 1 2 1 1 23 L1 : r2 = α − α2 − α3 − α4 + O α5 3 9 81 1 1 31 L2 : r2 = α + α2 − α3 − α4 + O α5 3 9 81 2 3 4 7 µ2 7 µ2 13223 µ2 µ2 L3 : r1 = 1 − + − +O 12 µ1 12 µ1 20736 µ1 µ1 Aufgabe 7.3 – Flug zum Mond
√ y=±
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y=0 y=0 y=0 (6 Punkte)
Ein Raumschiff befindet sich in 100 km H¨ohe auf einer ¨aquatorialen Kreisbahn um die Erde. Nun soll es eine zus¨ atzliche tangentiale Geschwindigkeit bekommen, sodass die daraus entstehende Trajektorie zum Mond f¨ uhrt. Sch¨atzen Sie, basierend auf dem JacobiIntegral, die minimale Geschwindigkeit ab, f¨ ur welche dies m¨oglich ist. Hinweise: Nutzen Sie das 3KP Erde-Mond-Raumschiff und die Energie bei L1 , um eine N¨ aherungsl¨ osung zu finden. Beachten Sie die gebr¨ auchliche Skalierung der relevanten Gr¨ oßen!
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