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Vorlesung Geometrie http://www.math.uni-leipzig.de/~grosse/teaching
Dr. Nadine Große WS 14/15
¨ Ubungsblatt 7– Probeklausur
Aufgabe 25. Seien A, B, C die Eckpunkte ein nichtentartetes Dreieck in der euklidischen Ebene. F¨ ur zwei Punkte P, Q in der Ebene bezeichne MP Q ihr Mittelpunkt. Das Dreieck, welches durch die Punkte MAB , MBC und MAC gebildet wird, nennen wir Mittendreieck. a) Berechnen Sie das Verh¨ altnis vom Fl¨acheninhalt des Mittendreiecks zum Fl¨acheninhalts des Dreiecks ABC. [2 Punkte] b) Zeigen Sie, dass der Schwerpunkt des Mittendreiecks gleich der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC ist. [2 Punkte] c) Zeigen Sie, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC gleich dem H¨ohenschnittpunkt des Mittendreiecks ist. [2 Punkte] d) Sei A0 der Mittelpunkt von A und S, B 0 der Mittelpunkt von B und S und C 0 der Mittelpunkt von C und S. Finden Sie eine Isometrie (sofern existent), die das Mittendreieck in das Dreieck A0 B 0 C 0 u ¨berf¨ uhrt. Wie viele solcher Isometrien gibt es? [2 Punkte] −−→ −−→ e) Zeigen Sie, dass im Dreieck ABC die Beziehung 2kSM k = kSHk gilt, wobei M der Umkreismittelpunkt und H der H¨ ohenschnittpunkt im Dreieck ABC sind. (Tipp: Nutzen Sie b)-d) ) [2 Punkte] Aufgabe 26. Sei A ein affiner Raum u ¨ber einem K¨orper K mit Richtung V . a) Geben Sie die Definition des Begriffes einer affinen Abbildung f : A → A. [1 Punkt] b) Zeigen Sie, dass f¨ ur A = R3 mit K = R und V = R3 die Abbildung f : A → A (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 + x2 , 2x2 + 1, 3x3 − x1 + 5)
c) d) e)
f)
eine affine Abbildung ist und geben Sie die zugrunde liegende lineare Abbildung explizit an. [2 Punkte] Sei g : A → A, A wie in b), eine affine Abbildung, die g(1, 0, 0) = (2, 5, 0) und g(0, 1, 0) = (1, 4, 0) abbildet. Bestimmen Sie g(1/4, 3/4, 0). [1 Punkt] Ist die Abbildung g in c) eindeutig bestimmt? [1 Punkt] A = R3 sei mit der euklidischen Abstandsfunktion versehen. F¨ ur die Abbildung g in c) gelte zus¨ atzlich g(0, 0, 1) = (2, 4, 1) und g(0, 0, 0) = (2, 4, 0). Bestimmen Sie g(x, y, z) und zeigen Sie, dass g eine Isometrie ist. [4 Punkte] Zerlegen Sie die Abbildung g aus e) in eine Hintereinanderausf¨ uhrung von elementaren Isometrien, wobei elementare Isometrien die Drehungen, Spiegelungen und Translationen sind. [2 Punkte]
Aufgabe 27. Sei P (V ) eine projektive Ebene. Seien g1 , . . . , g4 paarweise verschiedene projektive Geraden in P (V ), die sich alle im Punkt P schneiden. Seien h1 , h2 zwei verschiedene projektive Geraden in P (V ) mit P 6∈ h1 und P 6∈ h2 . a) Zeigen Sie, dass sich zwei projektive Geraden in P (V ) immer schneiden. [2 Punkte] b) Sei h1 ∩ h2 = {Q}. W¨ ahlen Sie eine affine Ebene A in P (V ) derart, dass P, Q ∈ ∞A . Was l¨asst sich dann u ¨ber die Lagebeziehungen der affinen Geraden giA := gi ∩ A und hA j := hi ∩ A, i = 1, 2, 3 und j = 1, 2, sagen? [2 Punkte] c) Geben Sie eine Definition des Doppelverh¨altnisses vier paarweise verschiedener kollinearer Punkte in P (V ) an. [2 Punkte] d) Sei gi ∩ hj = {Zij }. Folgern Sie mittels b), dass die Doppelverh¨altnisse ω(Z11 , Z21 , Z31 , Z41 ) und ω(Z12 , Z22 , Z32 , Z42 ) u ¨bereinstimmen. [2 Punkte] Aufgabe 28. Sei (X, dX ) ein metrischer Raum. Sei A ⊂ X abgeschlossen und nichtleer. F¨ ur x ∈ X definieren wir dX (x, A) := inf a∈A dX (x, a). a) Wann heißt eine Teilmenge A ⊂ X des metrischen Raumes offen bzw. abgeschlossen? [2 Punkte] b) Sei x ∈ A. Zeigen Sie, dass dX (x, A) = 0 ist. [1 Punkt] c) Sei nun y ∈ X mit dX (y, A) = 0. Zeigen Sie, dass y ∈ A ist. [2 Punkte]
Aufgabe 29. Die Punkte A, B, C bilden ein sph¨arisches Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b, c und den Winkelgr¨ oßen α, β, γ. a) Zeigen Sie, dass hC × A, C × Bi = cos c − cos b cos a ist. [2 Punkte] b) Zeigen Sie, dass cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ ist. [2 Punkte] Aufgabe 30. Sei ABC ein nichtentartetes Dreieck in der euklidischen Ebene und I der Innkreismittelpunkt. Zeigen Sie, dass 2^AIC = π + ^ABC gilt. [2 Punkte]
