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7 Starre Körper
7.1 Beschreibung des starren Körpers 7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment 7.3 Rotationsenenergie und Trägheitsmoment 7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung 7.5 Drehimpuls 7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten 7.7 Präzession 7.8 Hauptträgheitsachsen
R. Girwidz
1
7 Starre Körper Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse im Schwerpunkt vereinigt wäre und die Summe alle äußeren Kräfte dort angreifen würde. Ist die Summe der äußeren Kräfte Null, so bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig und gleichförmig.
R. Girwidz
2
–1
7.1 Beschreibung des starren Körpers Kräfte an einem frei beweglichen starren Körper reine Translation
reine Rotation
Translation + Rotation
F
i
i
r F i
i
i
3
R. Girwidz
7 Starre Körper 7.1 Beschreibung des starren Körpers a) Freiheitsgrade Massenpunkt: ausgedehnter Körper:
3f 6f
(f: Freiheitsgrade)
b) Translation
c) Rotation
Die allg. Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation zusammensetzen.
R. Girwidz
4
–2
Exkurs Dichte
M mi M dm i
V
V Vi V dV i
V
Dichte lim
V 0
Berechnung d. Masse aus der Dichte:
m dm V dV
dM dV M dV V
M dx dy dz zyx R. Girwidz
5
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Drehmomentenscheibe F2 greift zunächst in SP an
Maßstab hochheben Balkenwaage
Wirkungslinie an Drehmomentscheibe
- Hebel bleibt in Ruhe, wenn: F1 l1 F2 l2 - Die drehbar gelagerte Scheibe bleibt auch in Ruhe, wenn die Angriffspunkte der Kräfte vertikal verschoben werden. R. Girwidz
6
–3
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
7
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment Am starren Körper kann man den Angriffspunkt einer Kraft beliebig längs ihrer Wirkungslinie verschieben, ohne das sich die Wirkung dieser Kraft ändert:
R. Girwidz
8
–4
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment Kräfte am starren Körper:
a)
Angriffspunkt der Kraft entscheidend (aber b)
b)
Kräfte am starren Körper sind „linienflüchtig“, d.h. entscheidend ist der senkrechte Abstand von der Drehachse
c)
Kraftrichtung (Winkel) entscheidend
9
R. Girwidz
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment Def. Drehmoment:
M r F
Betrag:
(“=Kraft x Hebelarm“)
Richtung:
M r F sin Senkrecht auf r und F " rechte - Hand - Regel"
Einheit:
Nm
Mehrere Drehmomente addieren sich vektoriell! R. Girwidz
10
–5
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment Beispiel:
r2 = 2r1 ; F1 = 5N ; Wie groß muss F2 sein, damit der Körper im Gleichgewicht bleibt?
11
R. Girwidz
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
M 1 r 1 F 1;
M1 r1 F1
M 2 r 2 F 2;
M 2 r2 F2 sin 45 r2 F2 sin Wirkungskomp. von F
r2 sin F2 Abstand der Wirkungslinie vom Drehpunkt
M1 M 2 ; F2 F1
R. Girwidz
r1 r2 sin 45
5N
1 3,5N; 2 12
–6
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
13
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Der Schwerpunkt unregelmäßig geformter Körper lässt sich experimentell bestimmen (Schnittpunkt der Schwerlinien). Schwerkraft greift an S an und bewirkt Drehmoment, bis S unter dem Drehpunkt liegt. R. Girwidz
14
–7
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
Statik: Summe aller Kräfte Null:
F
und Summe aller Drehmomente Null:
M
0
i
i
i
0
i
R. Girwidz
15
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
16
–8
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
17
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
18
–9
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
19
7.2 Kräfte am starren Körper- Drehmoment
R. Girwidz
20
–10
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Dynamik
21
R. Girwidz
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment Parallelversuch: Gleiche Höhenenergie wird in Rotationsenergie umgesetzt
Kinetische Energie des Massenelements: 1 1 E Kini m i v 2 m i ri 2 2 2 2
R. Girwidz
22
–11
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment Parallelversuch: Gleiche Höhenenergie wird in Rotationsenergie umgesetzt
Kinetische Energie des Massenelements: 1 1 E Kini m i v 2 m i ri 2 2 2 2 Rotationsenergie des gesamten Körpers: bei i Teilmassen:
ERot EKini i
1 2 2 mi ri 2 i
bei kontinuierlicher Massenverteilung: 23
R. Girwidz
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment Parallelversuch: Gleiche Höhenenergie wird in Rotationsenergie umgesetzt
Kinetische Energie des Massenelements: 1 1 E Kini m i v 2 m i ri 2 2 2 2 Rotationsenergie des gesamten Körpers: bei i Teilmassen:
ERot EKini i
bei kontinuierlicher Massenverteilung: R. Girwidz
ERot
1 2 2 mi ri 2 i
1 2 2 r dm 2 V
24
–12
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment Definition: Trägheitsmoment I
I r 2 dm r 2 dV V
V
[ I ] = kg m²
25
R. Girwidz
7.3 Rotationsenergie und Trägheitsmoment Definition: Trägheitsmoment I
I r 2 dm r 2 dV V
V
[ I ] = kg m²
–
I ist ein Maß für die Massenverteilung des Körpers bezüglich einer Rotationsachse
–
I bezieht sich immer auf eine Rotationsachse
–
Rotationsenergie: analog zu:
R. Girwidz
1 2 I 2 1 mv 2 2
ERot EKin
26
–13
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
27
R. Girwidz
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Verschiedene beschleunigende Massen
~M Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment
R. Girwidz
28
–14
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
~M Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment
Fi mi ai
Beschleunigende Kraft auf Δmi:
mi ri
29
R. Girwidz
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
~M Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment Beschleunigende Kraft auf Δmi:
Fi mi ai
mi ri
Erforderliches Drehmoment:
R. Girwidz
Mi Fi ri mi ri 2
30
–15
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
~M Winkelbeschleunigung ~ Drehmoment Beschleunigende Kraft auf Δmi:
Fi mi ai
mi ri
Erforderliches Drehmoment:
Mi Fi ri mi ri
Für den ganzen Körper:
M Mi
2
mi ri 2
31
R. Girwidz
7.4 Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Für den ganzen Körper:
M Mi
mi ri
M
r 2 dm
2
allg.:
V
I
M I
R. Girwidz
32
–16
7.5 Drehimpuls 7.5 Drehimpuls
33
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls Impuls eines Massenelements mi:
p i mi v i
R. Girwidz
34
–17
7.5 Drehimpuls Impuls eines Massenelements mi:
p i mi v i
Definition: Drehimpuls
L r i pi i
mi r i v i i
mi ri 2
i
35
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls Impuls eines Massenelements mi:
p i mi v i
Definition: Drehimpuls
L r i pi i
mi r i v i i
mi ri 2
i
L I R. Girwidz
36
–18
7.5 Drehimpuls
Drehimpuls
L r i pi i
L I
-
Einheit:
L kg m
-
Richtung:
L r,v
R. Girwidz
2
s
Nm s J s;
(Einheit einer Wirkung)
37
7.5 Drehimpuls
Versuch
R. Girwidz
38
–19
7.5 Drehimpuls Drehmoment und Drehimplusänderung
mit
M I
d M LL dt
Andererseits: Wenn kein Drehmoment wirkt, bleibt der Drehimpuls erhalten Versuch
39
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Masse
m
Translationsenergie
Kraft
Ekin
1 mv 2 2
F F ma
Impuls
p F
dp dt
p m v
R. Girwidz
40
–20
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Masse
m
Translationsenergie
Kraft
Winkelgeschwindigkeit
Ekin
ω
1 mv 2 2
F F ma
Impuls
p F
dp dt
p m v
41
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin
ω I
1 mv 2 2
F F ma
Impuls
p F
dp dt
p m v
R. Girwidz
42
–21
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin
1 mv 2 2
ω I
Rotationsenergie Erot
1 2 I 2
F F ma
Impuls
p F
dp dt
p m v
43
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin
1 mv 2 2
F ma
Impuls
I
Rotationsenergie Erot
Drehmoment
F
ω
1 2 I 2
M r F
M I
p F
dp dt
p m v
R. Girwidz
44
–22
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin
1 mv 2 2
Erot
M I Drehimpuls
p
1 2 I 2
M r F
F ma
Impuls
I
Rotationsenergie
Drehmoment
F
ω
L
dp F dt
M
p m v
L I r p
dL dt
45
R. Girwidz
7.5 Drehimpuls Translation
Rotation
Geschwindigkeit
v
Winkelgeschwindigkeit
Masse
m
Trägheitsmoment
Translationsenergie
Kraft
Ekin
1 mv 2 2
Erot
F
dp dt
R. Girwidz
L M
p m v
p2 Ekin 2m
M r F M I
Drehimpuls
p
1 2 I 2
F ma
Impuls
I
Rotationsenergie
Drehmoment
F
ω
dL dt
L I r p
L2 Erot 2I
46
–23
7.5 Drehimpuls
für Zentralkräfte:
M 0 da F || r L konst.
Drehscheml
R. Girwidz
47
7.5 Drehimpuls Der Drehimpuls ist ein Vektor!
R. Girwidz
48
–24
7.5 Drehimpuls
R. Girwidz
49
7.5 Drehimpuls
R. Girwidz
50
–25
7.5 Drehimpuls Definition des Drehimpulses ist nicht an Kreisbahn gebunden! z. B. Ellipsenbahn
L r p z. B. Hyperbelbahn
L r p
Zuwurf mit Stoßparameter
R. Girwidz
51
7.5 Drehimpuls
R. Girwidz
52
–26
7.5 Drehimpuls
53
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten Einfache Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten: a) Zweiatomiges Molekül
I A m1 r1 m2 r2 2
R. Girwidz
2
54
–27
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten Einfache Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten: a) Zweiatomiges Molekül
–
Trägheitsmoment bezüglich Molekülachse sehr klein
–
Molekülphysik beobachtet Rotationsspektren und bestimmt I
R. Girwidz
55
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten b) Homogene dünne Stange (Achse am Ende)
R. Girwidz
56
–28
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten b) Homogene dünne Stange (Achse am Ende)
l
m I r dm r dV r 2 A dr V 0 K K 2
2
l
l l m m 2 m r 3 2 r A dr r dr A l 0 l 0 l 3 0
1 m l2 3 R. Girwidz
57
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten c) Hohlzylinder (Drehachse = Mittelachse)
R. Girwidz
58
–29
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten c) Hohlzylinder (Drehachse = Mittelachse) Masse m; Radien R1, R2 Man zerlegt zur einfachen Berechnung den Hohlzylinder in dünne Röhren der Dicke dr (Radius r, Höhe h) mit dem Volumenelement dV = 2πr dr h Volumen V des Hohlzylinders: V = h π (R22-R12)
I
m 2 mR 2 r dV hr 2r dr V R VK 2
1
I
R m m m 2h R2 R1 m R2 R1 R2 R1 r 4 2h r 3dr 2h ; 2 2 2 2 V V 4 4 2 h R R R2 R1 R R 2 1 R2
2
1
I
1
4
4
2
2
2
2
m 2 2 R2 R1 ; 2 59
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten c) Hohlzylinder (Drehachse = Mittelachse)
I
m 2 2 R2 R1 2
dünnwandig: R1 R2
=> I = m R2 ;
Vollzylinder: R1 = 0
=> I = 1/2 m R2 ;
Versuch R. Girwidz
60
–30
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten d) Steinerscher Satz - Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
R. Girwidz
61
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten d) Steinerscher Satz - Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
R. Girwidz
62
–31
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten d) Steinerscher Satz - Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
1 1 2 Ekin mv s Is 2 ; 2 2 1 1 ma 2 2 Is 2 ; 2 2 1 (ma 2 Is ) 2 ; 2 IB
63
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten d) Steinerscher Satz - Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
IB a 2 m I A
R. Girwidz
64
–32
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten d) Steinerscher Satz - Wenn die Rotationsachse nicht durch den Schwerpunkt geht
I A r 2 dm ; V
IB R 2 dm ; V
2
a r dm ; V
2
a 2dm r 2dm 2 a r dm V
V
R ar
2
V
0
a r dm a x dm a x dm
IB a 2 m I A
0 (Schwerpkt satz)
R. Girwidz
65
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten Steinerscher Satz:
Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Rotation um eine beliebige Achse B ist gleich dem Trägheitsmoment des Körpers um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt plus das Trägheitsmoment des Schwerpunkts.
R. Girwidz
66
–33
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten Rollender Zylinder auf schiefer Ebene Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit hängen zusammen
ds R d ; d ds R ; dt dt
vS R ;
67
R. Girwidz
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten Rollender Zylinder auf schiefer Ebene Energiebetrachtung
E pot mgh
(beim Start)
1 1 2 2 Ekin mv h ISh 2 2
(am Ziel)
Translations- Rotationsenergie energie
vh 2
R. Girwidz
2gh I 1 s mR 2 68
–34
7.6 Berechnung von Trägheitsmomenten
vh 2
2gh I 1 s mR 2
homogener Vollzylinder:
1 IS mR 2 2
4 2 v sh gh 3
dünnwandiger Hohlzylinder:
IS mR 2
v sh gh 2
69
R. Girwidz
7.7 Präzession
- Ein starrer Körper, der sich ohne Einschränkung um einen festen Punkt drehen kann heißt Kreisel - Wirkt auf einen rotierenden Kreisel ein Drehmoment so gilt:
M
dL dt Rad aufgehängt an einer Schnur
R. Girwidz
70
–35
7.7 Präzession
Besonders „attraktiver“ Spezialfall: – der Körper rotiert um die Figurenachse, d. h. (L || Fig.achse) – und
M L
Der Betrag von L bleibt konstant, aber die Richtung ändert sich (und damit die Richtung der Figurenachse). => Der Körper beschreibt eine Präzessionsbewegung
R. Girwidz
71
7.7 Präzession Berechnung der Präzessionsfrequenz ωp
R. Girwidz
72
–36
7.7 Präzession Berechnung der Präzessionsfrequenz ωp
dL M dt m g l dt L L L d mg l p dt L
d
Präzessionsfrequenz 73
R. Girwidz
7.7 Präzession Berechnung der Präzessionsfrequenz ωp
dL M dt m g l dt L L L d mg l p dt L
d
Präzessionsfrequenz R. Girwidz
74
–37
7.7 Präzession Versucht man, einen Kreisel durch ein Drehmoment zu kippen, so weicht die Kreiselachse senkrecht zur angreifenden Kraft aus.
Beispiel Fahrradfahren: Drehimpuls und Drehmoment beim Lenken
75
R. Girwidz
7.7 Präzession Präzession der Erde
TPr äz 26000 a;
Pr äz M / L 2 / TPr äz ;
R. Girwidz
76
–38
7.7 Präzession Zur Kernspinresonanz Auch im mikroskopischen Bereich kann man Präzessionsbewegungen beobachten. Atome, Atomkerne und Moleküle mit Eigendrehimpuls besitzen oft ein magnetisches Moment. Bringt man sie in ein äußeres Magnetfeld, so entsteht ein Drehmoment und die Drehimpulsachse präzediert mit eine charakteristischen Resonanzfrequenz um das Magnetfeld.
Drehmoment M µ B µ : magn. Moment B : magn. Kraftflußdichte
Mit der Kernspinresonanz (nuclear magnetic resonance NMR) weist man Atome und ihren speziellen chemischen Bindungszustand nach. In der Medizin sind Diagnosen mit Hilfe von NMR-Computer-Tomographen möglich.
Film u. Dias von Haase 77
R. Girwidz
7.7 Präzession Nutation Versuch
R. Girwidz
78
–39
7.7 Präzession Nutation
Nutation: Drehimpulsrichtung deckt sich nicht mit der Figurenachse 79
R. Girwidz
7.8 Hauptträgheitsachsen
Fotos, Versuche (Lassowerfer)
-
Um Hauptträgheitsachsen / freie Achsen drehen Körper ohne Unwucht, d. h. die Lager werden nicht durch Kräfte belastet.
-
Hauptträgheitsachsen gehen durch den Schwerpunkt.
-
Jeder Körper hat 3 Hauptträgheitsachsen, die senkrecht aufeinander stehen.
-
Stabil drehen Körper nur um die Hauptträgheitsachsen mit dem größten und dem kleinsten Trägheitsmoment.
R. Girwidz
80
–40
