Preview only show first 10 pages with watermark. For full document please download

7.¨ubung Zur Quantenmechanik (t2p) Im Ws 15

   EMBED

Share

Transcript

23.11.2015 LMU – Fakult¨at f¨ ur Physik ¨ 7. Ubung zur Quantenmechanik (T2p) im WS 15/16 Prof. G. Buchalla Aufgabe 1: (Harmonischer Oszillator) Gegeben sei ein Teilchen in einem harmonischen Oszillator im Zustand r   mω 2 mω x e− 2~ x Ψ(x) = A 1 − 2 ~ a) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Energie. b) Berechnen Sie die Erwartungswerte hˆ xi, hˆ x2 i, hˆ pi, hˆ p2 i mit Hilfe der algebraischen Methode. Bestimmen Sie dann die Erwartungswerte der kinetische und potentielle Energie. Wie sieht die Unsch¨arferelation bei diesem Zustand aus? c) Bestimmen Sie die Zeitentwicklung des Zustands. Zu welcher Zeit ist der Zustand gegeben durch r   mω 2 mω x e− 2~ x Ψ(x) = B 1 + 2 ~ Aufgabe 2: (Anwendungen des harmonischen Oszillators) Gegeben sei das Lennard-Jones-Potential  V (r) = 4 ε σ 12 σ 6 − 6 r12 r  , welches n¨aherungsweise das Potential zwischen zwei sph¨arischen Atomen beschreibt. F¨ ur zwei 4 −3 2 −3 2 ˚ ˚ He-Atome sind ε ' 10 eV, σ ' 2.5A und ~ /m ' 2 × 10 eV A (mit der reduzierten Masse m) realistische Parameterwerte. a) Skizzieren Sie das Potential. Bestimmen Sie die Lage des Minimums r0 und Vmin = V (r0 ). b) N¨ahern Sie das Potential in der N¨ahe des Minimums durch einen harmonischen Oszillator an und sch¨atzen Sie die Nullpunktsenergie E0 = ~ω/2 f¨ ur die eindimensionale Bewegung (entlang r) der 4 He-Atome in dieser N¨aherung ab. Vergleichen Sie E0 mit der Dissoziationsenergie −Vmin . Aufgabe 3: (Variationen des harmonischen Oszillators) a) Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Energieeigenwerte f¨ ur ein Teilchen der Masse m in einem Potential der Form  1 mω 2 x2 x > 0 2 V (x) = ∞ x≤0 b) Ein harmonischer Oszillator der Masse m und der Ladung q werde einem konstanten elektrischen Feld Ex ausgesetzt: 1 V (x) = mω 2 x2 − qEx x. 2 Bestimmen Sie die Verschiebung der Energieniveaus durch das elektrische Feld. c) Finden Sie mit Hilfe der Unsch¨arferelation ∆x∆p ≥ ~/2 eine Absch¨atzung f¨ ur die Grundzustandsenergie eines Teilchens der Masse m, das sich im Potential V (x) = λ x4 , λ > 0 befindet.