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Algebraische Geometrie

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Prof. Dr. S. Orlik Dr. T. Hudson WS 2016/17 ¨ Ubungen zur Vorlesung Algebraische Geometrie“ ” ¨ 1. Ubungsblatt S Aufgabe 1. Sei X ein topologischer Raum und sei X = i∈I Xi eine endliche ¨ offene Uberdeckung. Zeigen Sie: a) Sind alle Xi noethersch, so auch X. b) Sind alle Xi irreduzibel und gilt Xi ∩ Xj 6= ∅ f¨ ur alle i, j ∈ I, so ist auch X irreduzibel. Aufgabe 2. Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper und sei n ∈ N. Zeigen Sie: a) Eine Teilmenge X ⊂ k n ist genau dann irreduzibel, wenn I(X) ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] ein Primideal ist. b) Sei X ein noetherscher topologischer Raum. Dann ist auch jede Teilmenge Y ⊂ X mit der induzierten Topologie noethersch. Aufgabe 3. Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper und sei n ∈ N. Zeigen Sie: a) F¨ ur eine Teilmenge X ⊂ k n gilt V (I(X)) = X. b) F¨ ur Ideale I1 , I2 ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] gilt V (I1 ) ∪ V (I2 ) = V (I1 · I2 ).