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Arbeitsblatt „Mengen und topologische Eigenschaften in metrischen Räumen“ Sei X ein metrischer Raum und M ⊂ X. Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und geben Sie für die jeweils falschen Ausssagen ein Gegenbeispiel an:
1. Eine offene Menge (a) ( ) ist nicht abgeschlossen. (b) ( ) enthält ihre Häufungspunkte nicht. (c) ( ) besteht nur aus inneren Punkten. (d) ( ) hat keine Randpunkte. 2. Ein Randpunkt x einer Menge M (a) ( ) ist stets auch Häufungspunkt der Menge M . (b) ( ) ist immer dann Häufungspunkt, wenn x ∈ / M. (c) ( ) ist genau dann Häufungspunkt, wenn x ∈ / M. (d) ( ) ist niemals auch Häufungspunkt. (e) ( ) besitzt eine Umgebung U (x), die Punkte aus M und CM enthält.∗) (f) ( ) besitzt nur Umgebungen, die Punkte aus M und CM enthalten. 3. Häufungspunkte (a) ( ) Eine endliche Punktmenge besitzt keine Häufungspunkte. (b) ( ) Eine unendliche Punktmenge besitzt stets Häufungspunkte. (c) ( ) Eine unendliche Punktmenge besitzt Häufungspunkte, wenn sie beschränkt ist. (d) ( ) Eine unendliche Punktmenge besitzt genau dann Häufungspunkte, wenn sie beschränkt ist. ∗)
CM = X \ M ist das Komplement von M in X.
4. Von den folgenden Teilmengen A ⊂ R bestimme man†)‡) sup A, max A, inf A, min A den Abschluss A, das Innere A◦ , den Rand ∂A sowie die Häfungspunktmenge A0 . A
sup A
a
(0, 1)
b
[0, 1)
c
[0, 1]
d
{n ∈ N | n < α, 1 < α ∈ R fest}
e
{ n1 | n ∈ N}
f g h
{ n1 +
1 m
inf A
min A
A
| m, n ∈ N}
{m n | m < n ∈ N} {(−1)m+n
m n
| m < n ∈ N}
i
n+1 {(−1)bn/2c 2n+(−1) n n+2 | n ∈ N}
j
{x ∈ R | x2 ≤ 2}
k
{q ∈ Q | q 2 ≤ 2}
l
{y ∈ R | y = x2 , 0 < x ≤ 1}
m
max A
{y ∈ R | y =
1 , x2
x ∈ R}
5. In welchen Fällen von Aufgabe 4) sind sup A bzw. inf A Häufungspunkte von A? 6. Man zeige allgemein: (a) Ist sup A ∈ / A, dann ist sup A Häufungspunkt von A. (b) Ist inf A ∈ / A, dann ist inf A Häufungspunkt von A.
7. Gilt die Umkehrung dieser Aussagen?
†) ‡)
Für α ∈ R ist bαc, die Abrundung von α, d. h. diejenige ganze Zahl z ∈ Z, für die α − 1 < z ≤ α gilt. Die natürlichen Zahlen beginnen bei 1.
A◦
∂A
A0
