Transcript
¨ Ubungen zur Vorlesung Thermodynamik und Elektrodynamik Prof. Dr. Wolfgang Kinzel
WS 2015/2016
Aufgabe 21: L¨ angenkontraktion und Zeitdilatation Ein ruhender Beobachter mit der Raumzeit-Koordinate B µ = (ct, 0, 0, 0) wartet auf einen Zug, welcher durch die Koordinaten ZAµ = (ct, xA − vA t, 0, 0) mit vA = 0.95 c und xA = 3 × 106 km beschrieben wird. Der Zug habe in seinem Ruhesystem eine L¨ange von 50 m. a) Nach welcher Zeit erreicht der Zug den Beobachter, und zwar einmal gemessen im Bezugssystem des Beobachters und zum anderen gemessen im Bezugssystem des Zuges? b) Welche L¨ange hat der Zug im Bezugssystem des Beobachters ? Wie misst man die L¨ange eines bewegten Objekts?˙ Aufgabe 22: Elektromagnetische Wellen im Vakuum (Staatsexamen Herbst 2015) Die wichtigsten Eigenschaften elektromagnetischer Wellen im Vakuum sollen anhand der MaxwellGleichungen diskutiert werden. ~ und die a) Geben Sie die Maxwell-Gleichungen im Vakuum f¨ ur die elektrische Feldst¨arke E ~ an. magnetische Induktion B L¨osen Sie nun die Maxwell-Gleichungen mit Hilfe des Exponentialansatzes ~ r, t) = E ~ ~ ei(~k~r−ωt) , E(~ k
~ r, t) = B ~ ~ ei(~k~r−ωt) , B(~ k
(1)
und beantworten Sie die folgenden Fragen anhand Ihrer L¨osung: b) Welche Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen garantieren, dass man sie u ¨berhaupt mit einem Exponentialansatz vom Typ (1) l¨osen kann? c) Warum ist es legitim, einen komplexen Ansatz f¨ ur die Felder zu verwenden? d) Leiten Sie die Dispersionsrelation zwischen ω und ~k her. ~ B. ~ e) Charakterisieren Sie die relative Orientierung der Vektoren ~k, E, f) In welche Richtung weist der Poynting-Vektor (Energiestrom)? g) Wie viele unabh¨angige Polarisationszust¨ande hat die elektromagnetische Welle im Vakuum? ~ ~ und B ~~ . h) Bestimmen Sie das Verh¨altnis der Betr¨age von E k k i) Wie lautet die allgemeine L¨osung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum?
Aufgabe 23: Magnetisch permeable Kugel (Staatsexamen Fr¨ uhjahr 2011) Betrachtet sei eine magnetisch permeable Kugel mit relativer Permeabilit¨at µr und Radius R. ~ ∞ = H∞~ez gebracht. Die Kugel wird nun in ein urspr¨ unglich homogenes, magnetisches Feld H Das Medium außerhalb der Kugel habe die magnetische Permeabilit¨at des Vakuums. a) Begr¨ unden Sie anhand der Maxwell-Gleichungen, dass man das magnetische Feld in beiden ~ = −∇Φ ~ M darstellen kann, wobei ΦM ein geeignetes skalares magnetiBereichen durch H sches Potential ist. Zeigen Sie, dass das skalare Potential innerhalb und außerhalb der Kugel die Laplace-Gleichung ∇2 ΦM = 0 erf¨ ullt. b) Aufgrund der Symmetrie ist es vorteilhaft, Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) mit dem Ursprung im Zentrum der Kugel zu verwenden. Verwenden Sie den Ansatz ( −Hi r cos ϑ f¨ ur r < R ΦM = −2 (−H∞ r + mr ) cos ϑ f¨ ur r > R f¨ ur das magnetische Potential, und berechnen Sie das durch die Koeffizienten H∞ , Hi und ~ r) in Kugelkoordinaten in den beiden Bereichen. Zeigen Sie, m ausgedr¨ uckte Magnetfeld H(~ ~ ∞ wird. dass das magnetische Feld f¨ ur große Abst¨ande von der Kugel homogen und gleich H Hinweis: In Kugelkoordinaten gilt ∂ ~ = ~er ∂ + ~eϑ 1 ∂ + ~eϕ 1 . ∇ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ ~ und die magnetische Inc) Welche Stetigkeitsbedingungen sind f¨ ur das magnetische Feld H ~ an der Grenzfl¨ache r = R zu fordern? duktion B d) Berechnen Sie die unbestimmten Koeffizienten Hi und m. Wie verh¨alt sich das magnetische Feld im Inneren der Kugel f¨ ur µr → ∞? Welche Richtung hat das magnetische Feld auf der ¨außeren Oberfl¨ache der Kugel in diesem Grenzfall?
Besprechung am 02.12.2015 Web-Seite der Vorlesung: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=5227
