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Stochastik (Laplace-Formel)
Spielw¨ urfel oder M¨ unzen werden ideal (oder fair ) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielw¨ urfel wird einmal geworfen. Berechne. (a) P (eine 5 zu w¨ urfeln) (b) P (eine ungerade Zahl zu w¨ urfeln) (c) P (eine 3 oder eine 4 zu w¨ urfeln) (d) P (eine Primzahl zu w¨ urfeln) (e) P (eine durch 3 teilbare Zahl zu w¨ urfeln) (f) P (eine durch 7 teilbare Zahl zu w¨ urfeln) (g) P (eine gerade und durch 3 teilbare Zahl zu w¨ urfeln) (h) P (eine Zahl > 1 zu w¨ urfeln) (i) P (keine Zahl > 2 zu w¨ urfeln) (j) P (eine Zahl < 10 zu w¨ urfeln) (k) P (eine 1 oder eine 3 oder eine gerade Zahl zu w¨ urfeln) 2. Ein idealer W¨ urfel wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne (a) P (zuerst eine 5 und dann eine 3 zu w¨ urfeln) (b) P (unter den gew¨ urfelten Zahlen ist eine 5 und eine 3) (c) P (mindestens eine der gew¨ urfelten Zahlen ist eine 3) (d) P (die zuerst gew¨ urfelte Zahl ist eine 2) (e) P (unter den beiden gew¨ urfelten Zahlen ist genau eine 4) (f) P (zwei Sechsen zu w¨ urfeln) (g) P (beide gew¨ urfelten Zahlen sind gleich) (h) P (beide gew¨ urfelten Zahlen sind verschieden)
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(i) P (zuerst eine gerade und dann eine ungerade Zahl zu w¨ urfeln) (j) P (die zuerst gew¨ urfelte Zahl ist um 5 kleiner als die zweite) (k) P (die zuerst gew¨ urfelte Zahl ist um 4 kleiner als die zweite) (l) P (die Summe der Augenzahlen betr¨agt 4) (m) P (der Unterschied zwischen den Augenzahlen betr¨agt 3) (n) P (das Produkt der Augenzahlen betr¨agt 6) (o) P (das Produkt der Augenzahlen betr¨agt 7) (p) P (die Summe der Augenzahlen ist kleiner als 5) (q) P (die Summe der Augenzahlen ist gr¨osser als 2 und kleiner als 5) (r) P (die Summe der Augenzahlen ist kleiner als 12) (s) P (die zweite Augenzahl ist ein ganzes Vielfaches der ersten) 3. Ein Spielw¨ urfel wird zweimal nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der Reihenfolge ihres Auftretens notiert. Berechne diesmal mit Hilfe eines Baumdiagrammes. (a) P (zuerst eine gerade und dann eine ungerade Zahl zu w¨ urfeln) (b) P (zuerst eine 1 und dann eine gerade Zahl zu w¨ urfeln) (c) P (zuerst keine 3 und dann eine Zahl gr¨osser als 4 zu w¨ urfeln) (d) P (die Zahlen 3 und 5 in beliebiger Reihenfolge zu w¨ urfeln) (e) P (mindestens eine der gew¨ urfelten Zahlen ist eine 6) (f) P (genau eine der gew¨ urfelten Zahlen ist eine 6) 4. Wie viele Elementarereignisse gibt es, wenn . . . (a) 3 Mal nacheinander gew¨ urfelt wird? (b) 4 Mal nacheinander gew¨ urfelt wird? (c) mit 7 verschiedenfarbigen W¨ urfeln gleichzeitig gew¨ urfelt wird?
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5. Ein Spielw¨ urfel wird dreimal nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der Reihenfolge ihres Auftretens notiert. Berechne mit Hilfe eines Baumdiagrammes. (a) P (drei Sechsen zu w¨ urfeln) (b) P (genau zwei Sechsen zu w¨ urfeln) (c) P (genau eine Sechs zu w¨ urfeln) (d) P (nur gerade Zahlen zu w¨ urfeln) (e) P (eine wachsende arithmetische Folge mit d = 2 zu w¨ urfeln) (f) P (die Augensumme 4 zu w¨ urfeln) (g) P (die Zahlen 1, 2 und 3 in beliebiger Reihenfolge zu w¨ urfeln) (h) P (nicht drei gleiche Zahlen zu w¨ urfeln) 6. Eine M¨ unze wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (zuerst Zahl, dann Kopf zu werfen) (b) P (immer Zahl zu werfen) (c) P (genau einmal Kopf zu werfen) (d) P (zweimal dieselbe Seite der M¨ unze zu werfen) (e) P (mindestens einmal Kopf zu werfen) (f) P (h¨ochstens einmal Kopf zu werfen) 7. Eine M¨ unze wird dreimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (dreimal Zahl zu werfen) (b) P (zuerst zweimal Zahl und dann Kopf zu werfen) (c) P (nie Zahl zu werfen) (d) P (genau einmal Zahl zu werfen) (e) P (genau zweimal Zahl zu werfen) (f) P (h¨ochstens einmal Kopf zu werfen)
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(g) P (h¨ochstens zweimal Kopf zu werfen) (h) P (genau zweimal nacheinander das gleiche Symbol zu werfen) 8. Eine M¨ unze wird viermal nach einander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (niemals Zahl zu werfen) (b) P (genau einmal Zahl zu werfen) (c) P (genau zweimal Zahl zu werfen) (d) P (genau dreimal Zahl zu werfen) (e) P (genau viermal Zahl zu werfen) 9. Eine M¨ unze wird f¨ unfmal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichhkeiten der folgenden Ereiginsse. (a) E: nie Zahl zu werfen (b) E: genau einmal Zahl zu werfen (c) E: genau zweimal Zahl zu werfen (d) E: genau dreimal Zahl zu werfen (e) E: mindestens viermal Zahl zu werfen (f) E: mindestens zweimal Zahl zu werfen 10. Aus einem gut gemischten Kartenspiel (vier Farben: Kreuz ♣, Pik ♠, Herz ♥, Karo ♦, neun Kartenwerte: As (11), K¨onig (4), Dame (3), Bube (2), 10, 9, 8, 7, 6) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit. (a) P (einen Pik-Buben zu ziehen) (b) P (eine Herz-Karte zu ziehen) (c) P (ein As oder einen K¨onig zu ziehen) (d) P (ein As oder eine Kreuz-Karte zu ziehen) (!) (e) P (eine Karte mit einer Zahl zu ziehen) (f) P (h¨ochstens den Kartenwert 7 zu ziehen)
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(g) P (mindestens den Kartenwert 5 zu ziehen) 11. Aus einem gut gemischten Kartenspiel (vier Farben: Kreuz Pik, Herz, Karo; neun Kartenwerte: As (11), K¨onig (4), Dame (3), Bube (2), 10, 9, 8, 7, 6) wird eine Karte gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Dann wird die Karte wieder auf den Stapel gelegt und der Stapel gut gemischt. Dann wird eine zweite Karte gezogen und wieder deren Wert und Farbe notiert. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (zuerst einen K¨onig und dann eine Dame zu ziehen (b) P (einen K¨onig und eine Dame zu ziehen) (c) P (mindestens ein Bube wird gezogen) (d) P (eine der Karten ist eine Karo-Karte und die andere eine 10) (e) P (dass zwei verschiedene Karten gezogen werden) 12. Aus einem gut gemischten Kartenspiel wird eine Karte gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Dann wird – ohne die erste Karte zur¨ uckzulegen – eine zweite Karte gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Diese Variante eines Zufallsexperimentes wird Ziehen ohne Zur¨ ucklegen genannt. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (Zwei Asse zu ziehen) (b) P (zuerst einen K¨onig und dann eine Dame zu ziehen) (c) P (einen K¨onig und eine Dame zu ziehen) (d) P (dass mindestens ein Bube gezogen wird) (e) P (zwei verschiedene Karten werden gezogen) (f) P (die Summe der Kartenwerte betr¨agt 5) 13. In einer Schachtel befinden sich 5 rote, 3 blaue und 2 weisse Kugeln. Aus dieser Schachtel werden nacheinander blind zwei Kugeln gezogen, wobei nach jeder Ziehung die Farbe der Kugel notiert und die Kugel wieder in die Schachtel zur¨ uckgelegt wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (zuerst eine weisse und dann eine rote Kugel zu ziehen) (b) P (dass eine weisse und eine rote Kugel unter den gezogenen ist) (c) P (zwei blaue Kugeln zu ziehen) (d) P (zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen)
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(e) P (zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen) (f) P (keine blaue Kugel zu ziehen) 14. In einer Schachtel befinden sich 5 rote, 3 blaue und 2 weisse Kugeln. Aus dieser Schachtel werden nacheinander blind und ohne Zur¨ ucklegen drei Kugeln gezogen, wobei nach jeder Ziehung die Farbe der Kugel notiert wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P (nur blaue Kugeln zu ziehen) (b) P (nur rote Kugeln zu ziehen) (c) P (mindestens 2 blaue Kugeln zu ziehen) (d) P (drei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen) (e) P (drei gleichfarbige Kugeln zu ziehen) (f) P (keine weisse Kugel zu ziehen) 15. Ein Kleinbus mit 9 Insassen f¨ahrt u ¨ber eine Grenze. Vier der Insassen sind Schmuggler. Ein Zollbeamter w¨ahlt zuf¨allig drei Personen zur Kontrolle aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) alle Kontrollierten Schmuggler sind? (b) keiner der Kontrollierten ein Schmuggler ist? (c) genau einer der Kontrollierten ein Schmuggler ist? 16. In einer Urne befinden sich 7 rote, 8 gr¨ une und 5 blaue Kugeln. In einer anderen Urne befinden sich 10 rote, 8 gr¨ une und 3 blaue Kugeln. Aus jeder der Urnen wird gleichzeitig eine Kugel gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) beide Kugeln rot sind? (b) beide Kugeln gleichfarbig sind? (c) mindestens eine Kugel gr¨ un, aber keine rot ist? 17. In einer Urne sind 5 schwarze, 4 weisse und 3 rote Kugeln Es wird zweimal ohne Zur¨ ucklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, (a) zwei schwarze Kugeln (b) mindestens eine rote Kugel zu ziehen?
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18. Im einem Korb liegen 6 schwarze, 4 blaue und 2 graue Socken. Jemand nimmt blind zwei Socken heraus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die gleiche Farbe haben? 19. Ein Student darf bei einer Pr¨ ufung 2 von 30 Pr¨ ufungsfragen ziehen. Er hat 25 Fragen gelernt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er (a) beide Fragen richtig beantworten kann? (b) mindestens eine Frage richtig beantworten kann? 20. In einer Schachtel liegen insgesamt 100 Kugeln. Von diesen Kugeln sind n rot, die u ucklegen zwei rote Kugeln zu ¨brigen schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, ohne Zur¨ ziehen, betr¨agt p = 8/75. Berechne die Anzahl der schwarzen Kugeln. 21. In einer Schachtel liegen 3 blaue und 2 rote Kugeln. Zwei Spieler ziehen abwechslungsweise eine Kugel, ohne sie wieder zur¨ uckzulegen. Sieger ist, wer als erster eine rote Kugel zieht. Wie gross ist die Wahrscheinklichkeit, dass der mit dem Ziehen beginnende Spieler gewinnt? 22. Zwei Spieler A und B werfen abwechslungsweise eine M¨ unze. Diejenige Person, welche zuerst Kopf wirft, gewinnt das Spiel. A beginnt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Spiel?
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Stochastik (Laplace-Formel) 1.
2.
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L¨ osungen
(a) 1/6
(c) 1/3
(e) 1/3
(g) 1/6
(i) 1/3
(b) 1/2
(d) 1/2
(f) 0
(h) 5/6
(j) 1
(a) 1/36
(e) 5/18
(i) 1/4
(m) 1/6
(q) 5/36
(k) 5/6
(b) 1/18
(f) 1/36
(j) 1/36
(n) 1/9
(c) 11/36
(g) 1/6
(k) 1/18
(o) 0
(d) 1/6
(h) 5/6
(l) 1/12
(p) 1/12
(s) 7/18
3.
(a) 1/4
(b) 1/12
(c) 5/18
(d) 1/18
(e) 11/36
(f) 5/18
4.
(a) 216
(b) 1296
(c) 279 936
5.
(a) 1/216
(c) 25/72
(e) 1/108
(g) 1/36
(b) 5/72
(d) 1/8
(f) 1/72
(h) 35/36
6.
(a) 1/4
(b) 1/4
(c) 1/2
(d) 1/2
(e) 3/4
(f) 3/4
7.
(a) 1/8
(c) 1/8
(e) 3/8
(g) 7/8
(b) 1/8
(d) 3/8
(f) 1/2
(h) 1/2
8.
(a) 1/16
(b) 1/4
(c) 3/8
(d) 1/4
(e) 1/16
9.
(a) 1/32
(b) 5/32
(c) 5/16
(d) 5/16
(e) 3/16
10.
(a) 1/36
(c) 2/9
(e) 5/9
(g) 2/3
(b) 1/4
(d) 1/3
(f) 5/9
11.
(a) 1/81
(b) 2/81
(c) 17/81
(d) 1/18
(e) 35/36
12.
(a) 1/105
(b) 4/315
(c) 8/315
(d) 67/315
(e) 1
(f) 8/315
13.
(a) 1/10
(b) 1/5
(c) 9/100
(d) 31/50
(e) 19/50
(f) 49/100
14.
(a) 1/120
(b) 1/12
(c) 11/60
(d) 1/4
(e) 11/120
(f) 7/15
15.
(a) 1/21
(b) 5/42
(c) 10/21
16.
(a) 1/6
(b) 149/420
(c) 32/105
17.
(a) 5/33
(b) 5/11
18. 1/3 19.
(a) 20/29
(b) 85/87
20. 33 rote und 67 schwarze Kugeln 21. 3/5 22. 2/3
8
(r) 35/36
(f) 13/16
