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Aufgaben zum freien Fall
10. Von der Spitze eines Turmes lässt man einen Stein fallen. Nach 4 Sekunden sieht man ihn auf dem Boden aufschlagen. a) Wie hoch ist der Turm? b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Stein auf den Erdboden auf? c) Nach welcher Zeit hat der Stein die Hälfte seines Fallweges zurückgelegt? d) Welche Zeit braucht der Stein zum Durchfallen der letzten 20 m? e) Nach welcher Zeit (vom Loslassen aus gerechnet) hört man den Stein aufschlagen? Die -1 Schallgeschwindigkeit sei 320 ms . 16. Zum Feststellen der Tiefe eines Brunnens wird etwas Wasser hinein geschüttet. Nach 3 s hört man das Wasser unten auftreffen. a) Wie tief ist der Brunnen, wenn die Schallgeschwindigkeit 330 m/s beträgt? b) Beurteilen Sie, ob es eventuell ausreicht, die Zeit, die der Schall nach oben benötigt, zu vernachlässigen.
165. An einer 4 m langen Schnur sind vier Schrauben befestigt. Lässt man sie auf den Boden fallen, hört man in gleichen Zeitabständen 4 Geräusche. Welchen Abstand hat die 3. Schraube vom unteren Ende der Fallschnur?
213. Ein frei fallender Körper passiert zwei 12 m untereinander liegende Messpunkte im zeitlichen Abstand von 1,0 s. Aus welcher Höhe über dem oberen Messpunkt fällt der Körper und welche Geschwindigkeit hat er in den beiden Punkten?
Lösungen 10. geg.: t =4s
ges.:
m s2
g = 9,81
a)s b) v c) t 1 2
Lösung:
a) g 2 ⋅t 2 9,81m / s 2 2 2 s= ⋅4 s 2 s = 78,5 m s=
b) v =g⋅ t v = 9,81m / s 2 ⋅ 4 s v = 39,2 m / s v = 141,3 km / h c) Der halbe Fallweg = 39,3 m g s = ⋅ t2 2
t1 = 2
t1 = 2
2s g 2 ⋅ 39,3 m 9,81m / s 2
t 1 = 2,83 s 2
d) Zeit für die ersten 58 m 2s t 58 = g t 58 =
2 ⋅ 58 m 9,81m / s 2
t 58 = 3,44 s diese Zeit wird von der Gesamtzeit abgezogen: t 20 = t − t 58
t 20 = 4 s − 3,44 s t 20 = 0,56 s e) zur Fallzeit kommt die Zeit dazu, die der Schall benötigt, um wieder nach oben zu kommen. s tg = t + vs tg = 4s +
78,5 m 320 m / s
t g =4,25 s Antwort:
Der Turm ist 78,5 m hoch. Der Stein trifft mit einer Geschwindigkeit von 141,3 km/h auf dem Erdboden auf. Der Stein hat nach 2,4 s die Hälfte der Fallstrecke zurück gelegt. Für die letzten 20 m benötigt der Stein 0,56 s. Man hört den Stein nach 4,25 s aufschlagen.
16. geg.:
v s = 330 ms
ges.:
s
t =3s Lösung: In der gemessenen Zeit fällt der Stein im freien Fall nach unten und der Schall kommt in einer gleichförmigen Bewegung nach unten. Damit ist die Gesamtzeit:
t ges = t 1 + t 2 Die Wege für beide Bewegungen sind jeweils gleich und die gesuchte Brunnentiefe:
s = s1 = s 2 Die einzelnen Wege berechnen sich nach den entsprechenden Weg-Zeit-Gesetzen: Für den freien Fall:
g s1 = ⋅ t 12 2 und für den Schall nach oben:
s2 = v s ⋅ t 2 Da beide Weg gleich sind, kann man beide Gleichungen gleich setzen:
g 2 ⋅ t1 = v s ⋅ t 2 2
1: freier Fall des Steines nach unten 2: gleichförmige Bewegung des Schalls nach oben
Diese Gleichung ist so nicht lösbar, da sie zwei Unbekannte Zeiten hat. Man kann aber eine Zeit ersetzen:
t 2 = t ges − t 1 Damit wird:
g 2 ⋅ t 1 = v s ⋅ (t ges − t 1 ) 2 g 2 ⋅ t 1 = v s ⋅ t ges − v s ⋅ t 1 2 Als einzige Unbekannte taucht nun nur noch die Zeit des freien Falls auf. Über die Lösung einer quadratischen Gleichung kann diese Zeit bestimmt werden:
g 2 ⋅ t 1 = v s ⋅ t ges − v s ⋅ t 1 2 g 0 = − ⋅ t 12 + v s ⋅ t ges − v s ⋅ t 1 2 2 ⋅ v s ⋅ t ges 2⋅ v s 0 = t 12 + ⋅ t1 − g g
Diese Normalform einer quadratischen Gleichung wird nun nach der bekannten Lösungsvorschrift gelöst: 2
v 2 ⋅ v s ⋅ t ges v t 1 = − s ± s + g g g 330 2 330 ms ± t1 = − 9,81 sm2 9,812
m2 s2 m2 s4
+
2 ⋅ 330 ms ⋅ 3 s 9,81 sm2
t 1 = − 33,639 s ± 1131,59 s 2 + 201,835 s 2 t 1 = − 33,639 s ± 36,516 s t 11 = 2,877 s t 12 = − 70,155 s Der zweite, negative Wert ist sinnlos und wird weggelassen. Der Stein fällt also 2,877 s nach unten. Damit bleiben für den Weg nach oben noch 0,123 s übrig. Wenn alles richtig ist, müssen die beiden damit berechneten Wege gleich sein:
g s1 = ⋅ t 12 2 9,81 sm2 s1 = ⋅ 2,877 2 s 2 2 s1 = 40,6 m
s2 = v s ⋅ t 2 s s 2 = 330 ms ⋅ 0,123 s
s 2 = 40,6 m b) Vernachlässigt man den Schallweg, reicht es aus, das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls anzuwenden:
g s = ⋅t2 2 9,81 sm2 2 2 s = ⋅3 s 2 s = 44,1m Wenn man bei der Zeitmessung einen persönlichen Fehler von 0,3 s ansetzt, ist der große Rechenaufwand über die quadratische Gleichung sicher nicht notwendig. Die Zeit, die der Schall nach oben benötigt, liegt noch innerhalb dieses Fehlerbereiches. Antwort: Der Brunnen ist 40,6 m tief.
165. 1. Frage: Wie lange fällt die letzte Schraube? s=g/2*t², nach t umgestellt: t4=Wurzel(2s/g). Dabei ist s die Gesamtlänge, also 4m. Wenn man einsetzt, kommt man auf etwa 0,9 s 2. Frage: wie lange brauchen dann die anderen Schrauben? ¼, 2/4 und ¾ dieser Zeit, denn sie sollen ja in gleichen zeitlichen Abständen auftreffen. 3. Frage: in welchen Abständen hängen dann die Schrauben? Die vierte Schraube in 4 m Höhe, die dritte Schraube in s=g/2*t3² = g/2 * 3/4Wurzel(2s/g) =2,25 m Höhe. Für die anderen Schrauben erhält man 1 m und 0,25 m. Probe: Zeit für die erste Schraube in 0,25 m Höhe: t=Wurzel(2s1/g)= 0,226 s =0,9/4 Zeit für die zweite Schraube: 0,45 s = 0,9/2 Zeit für die dritte Schraube : 0,677 s = ¾ von 0,9s Zeit für die letzte Schraube: 0,9 s
213: geg.:
∆s = 12 m ∆t = 1s
ges.:
s0 v1 v2
Lösung:
Der Körper startet im Punkt s0 und erreicht den Punkt s1. Nach 1 s erreicht er den 12 m darunter liegenden Punkt s2. Wie lange braucht er bis zum Punkt s1? Die bekannten Tatsachen werden in Formal gefasst:
g s1 = ⋅ t 2 2 g 2 s 2 = ⋅ (t + ∆t ) 2 ∆s = s 2 − s1 In die letzte Gleichung werden die beiden ersten eingesetzt: g g 2 ∆s = ⋅ ( t + ∆t ) − ⋅ t 2 2 2 Darin ist nun nur noch die Zeit eine unbekannte Größe, also die Zeit, die der Körper bis zum Punkt s1 braucht. Nun muss nur noch umgestellt werden und fertig:
g g 2 ∆s = ⋅ (t + ∆t ) − ⋅ t 2 2 2 g g ∆s = ⋅ t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − ⋅ t 2 2 2 g g g g ∆s = ⋅ t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − ⋅ t 2 2 2 2 2 g ∆s = g t∆t + ∆t 2 2
(
)
g ∆s − ∆t 2 = g t∆t 2 g ∆s − ∆t 2 2 =t g⋅ ∆ t t = 0,72 s Der Körper erreicht nach 0,72 s die erste Marke. Wie weit ist er dabei gefallen?
g s1 = ⋅ t 2 2 s1 = 2,56 m Die Geschwindigkeit berechnen sich nun einfach mit:
v1 = g⋅ t v 1 = 7,09 ms v 2 = g ⋅ (t + ∆t ) v 2 = 16,9 ms Antwort:
Der Körper ist 2,56 m über dem ersten Punkt gestartet. Die beiden Punkte werden mit 7 m/s und 17 m/s passiert.
