Aussagenlogik - Universität Leipzig

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Grundkurs Semantik Sitzung 2: Aussagenlogik Andrew Murphy [email protected] Grundkurs Semantik – HU Berlin, Sommersemester 2015 http://www.uni-leipzig.de/∼murphy/semantik15 28. April 2015 Basiert auf Kapitel 3 von Krifkas Skript, Lehrmaterial von Andreas Haida (WS 11/12) GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 1 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Was ist die Ausdrucksbedeutung, Äußerungsbedeutung und kommunikativer Sinn des folgenden Ausdrucks? (1) Sarah sagt zu Paul am 28.04.2015 um 18.05: Hast du Lust morgen ins Kino zu gehen? λ Ausdrucksbedeutung = die wörtliche Bedeutung des Ausdrucks: (2) Der Sprecher möchte wissen, ob der Adressat am Folgetag ins Kino gehen möchte. λ Äußerungsbedeutung = die wörtliche Bedeutung zusammen mit dem Äußerungskontext: (3) Sarah möchte wissen, ob Paul am 29.04.2015 ins Kino will. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 2 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Kommunikativer Sinn = die Intention des Sprechers (was er mit der Aussage bezwecken will). (4) Sarah will mit Paul ins Kino gehen. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 3 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Was ist die Bedeutung von: (5) JAngela MerkelK = ? λ JHundK = ?Die Menge der Hunde λ JAngela Merkel lächeltK = ?Die Wahrheitsbedingungen von Angela Merkel lächelt GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 4 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Der folgende Satz ist wahr gdw. der Kreis sich in dem Quadrat befindet: (6) Der Kreis befindet sich in dem Quadrat. λ d.h. dieser Satz enthält eine Proposition, die entweder wahr oder falsch ist. λ Für das linke Bild ist die Proposition wahr (1) und für das rechte ist die Proposition falsch (0). λ Dies zeigt uns u.a., dass wichtig ist, welche Situation wir betrachten, wenn wir die Wahrheit der Proposition GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 5 Zusammenfassung der letzten Sitzung JDer Kreis befindet sich in dem QuadratK = λ Die Bedeutung des Satzes kann man auch als die Menge der Situationen betrachten, in denen dieser Satz wahr ist. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 6 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Was sind die beiden Teile des Kompositionalitätsprinzips? ∀ Die einzelnen Bedeutung der Wörter in einem Ausdruck ∀ Die Art und Weise wie sie sich synktatisch zusammensetzen GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 7 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Was ist eine Präsupposition? (7) Der König von Frankreich ist reich >> Es gibt einen König von Frankreich λ Wie kann man zeigen, dass es sich hier um eine Präsupposition handelt? (8) a. b. c. GK Semantik Der König von Frankreich ist reich, und es gibt einen König von Frankreich. *bekräftigbar Der König von Frankreich ist reich, aber es gibt keinen König von Frankreich. *aufhebbar Es ist nicht der Fall, dass der König von Frankreich reich ist. >> Es gibt einen König von Frankreich. Negation ! Aussagenlogik 28.04.15 8 Zusammenfassung der letzten Sitzung λ Was ist eine (skalare) Implikatur? (9) Viele meiner Freunde gucken Staffel 5 von Game of Thrones. + > Nicht alle meiner Freunde gucken Staffel 5 von Game of Thrones. λ Wie kann man zeigen, dass es sich hier um eine Implikatur handelt? (10) a. b. c. GK Semantik Viele meiner Freunde gucken GoT, aber nicht alle. !bekräftigbar Viele meiner Freunde gucken GoT, eigentlich alle! !aufhebbar Es stimmt nicht, dass viele meiner Freunde GoT gucken. +/ > Nicht alle meiner Freunde gucken GoT. *Negation Aussagenlogik 28.04.15 9 Aussagenlogik λ Warum wollen wir uns mit der Logik befassen, wenn wir Sprachwissenschaft betreiben? λ Antwort: Weil sprachliche Ausdrücke logische Eigenschaften haben. λ Diese logische Folgerung hat die abstrakte Form (11) (12) a. b. c. Nur wenn Julia die Wette verliert, wird sie sich den Kopf rasieren. Julia hat sich den Kopf rasiert. ∴ Julia hat die Wette verloren a. b. c. d. e. P = Julia verliert die Wette Q = Julia rasiert sich den Kopf P→Q Q=1 ∴P=1 GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 10 Aussagenlogik (13) a. b. c. (14) a. Heute abend bekommt man ein Bier umsonst, wenn man Geburtstag hat. Paul hat ein Bier umsonst bekommen. ∴ Paul hat heute Geburtstag. P = x hat Geburtstag b. Q = x bekommet ein Bier umsonst (i) P(x) → Q(x) (ii) Q(Paul) = 1 (iii) ∴ P(Paul) = 1 λ Das P ist immer in dem wenn-Satz. In diesem Beispiel steht der wenn-Satz nach dem Q. λ Achtung: was hier verwendet wird ist eigentlich Prädikatenlogik. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 11 Aussagenlogik λ Wir haben die ganze Zeit betont, dass Sätze Propositionen erhalten, die entweder wahr oder falsch sind. λ Im letzten Beispiel haben wir gesehen, dass wir von der Wahrheit eines bestimmten Satzes auf die Wahrheit eines (scheinbar) unabhängigen Satzes schließen können. λ Da es logische Beziehungen zwischen Sätzen gibt (z.B. bei Satzverknüpfung), dann müssen wir uns mit den Gesetzen der Logik befassen. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 12 Prinzipien der Logik λ Das erste wichtige Prinzip der Logik ist das Gesetz vom Widerspruch: Gesetz vom Widerspruch Jeder Satz hat genau einen Wahrheitswert, d.h. ein Satz kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. λ Problem für natürliche Sprache: Ambiguität: (15) Das Buch ist schwer. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 13 Prinzipien der Logik λ Das zweite Prinzip ist das Bivalenzprinzip oder Zweiwertigkeitsprinzip: Bivalenzprinzip Ein Aussagesatz muss einen Wahrheitswert haben, d.h. er muss entweder wahr oder falsch sein. λ Probleme: (16) Hans ist groß λ Ohne zu wissen, ob Hans ein Kind oder ein Basketballspeiler ist, ist es schwierig zu sagen, ob der Satz wahr oder falsch ist. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 14 Prinzipien der Logik λ Außerdem sind Propositionen problematisch, deren Präsuppositionen nicht erfüllt sind: (17) Der König von Frankreich ist reich λ Wir können zunächst nicht beurteilen, ob dieser Satz wahr oder falsch ist, denn er verlangt, dass es einen König von Frankreich gibt. λ Wir können also sagen, dass sein Wahrheitswert unbestimmt ist. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 15 Logische Eigenschaften von Sätzen λ Es gibt Sätze die aus rein logischen Gründen wahr oder falsch sind. λ Logisch wahre Sätze (d.h. Sätze, die nie falsch sein können) heißen Tautologien: (18) Tautologien: a. Jedes Buch ist ein Buch b. Ein Junggeselle ist ein unverheirater Mann c. Zwei plus eins ist drei λ Logisch falsche Sätze (d.h. Sätze, die nie wahr sein können) heißen Kontradiktionen: (19) Kontradiktionen: a. Kein Buch ist ein Buch b. Ein Junggeselle ist verheiratet c. Zwei plus eins ist vier GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 16 Logische Eigenschaften von Sätzen λ Sätze, die entweder wahr oder falsch sein können abhängig von der Auswertungssituation sind kontingente Sätze: (20) Kontingente Sätze a. Die meisten Bücher sind Romane b. Draußen regnet es. c. Morgen ist Mittwoch GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 17 Logische Beziehungen zwischen Sätzen λ Ein wichtiger Begriff der Logik ist die logische Folgerung (Implikation oder Eng. entailment). λ Wenn wir über zwei (logische) Sätze sprechen können wir die Symbole Φ (’Phi’) und Ψ (’Psi’) benutzen. Der Einfachkeit halber nehme ich p und q an. λ Die logische Folgerung kann man wie folgt definieren: Logische Folgerung p ⇒ q gdw. gilt: Wenn p wahr ist, dann muss auch q wahr sein. λ Hier ist p die Prämisse und q die Konklusion. (21) a. b. c. GK Semantik Heinz ist ein Junggeselle ⇒ Hanz ist unverheiratet Es blitzt und donnert ⇒ es blitzt Beijing liegt in China. China liegt in Asien ⇒ Beijing liegt in Asien Aussagenlogik 28.04.15 18 Logische Folgerung vs. Präsupposition λ An diesem Punkt könnte man sich fragen, was der Unterschied zwischen der logischen Folgerung und einer Präsupposition ist. (22) Der König von Frankreich ist reich a. >> Es gibt einen König von Frankreich b. ⇒ Es gibt einen König von Frankreich λ Hier ist die sowohl die Präsupposition und die logische Folgerung, dass es einen König von Frankreich gibt. (23) Der König von Frankreich ist nicht reich a. >> Es gibt einen König von Frankreich b. ⇏ Es gibt einen König von Frankreich GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 19 Logische Folgerung vs. Präsupposition (24) Der König von Frankreich ist nicht reich a. >> Es gibt einen König von Frankreich b. ⇏ Es gibt einen König von Frankreich λ Wenn wir den Satz negieren, dann gilt die logische Folgerung nicht mehr: (25) Der König von Frankreich ist nicht reich, weil Frankreich keinen König hat! λ Es ist also möglich, dass der König von Frankreich nicht reich ist und, dass es trotzdem keinen König gibt. λ In dieser Hinsicht sind sie wie Implikaturen (nicht vorhanden unter Negation). GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 20 Logische Beziehungen zwischen Sätzen λ Zwei Sätze sind logisch äquivalent, wenn sie gegenseitig aus einander logisch folgen: Logische Äquivalenz p ⇔ q gdw. gilt: p ⇒ q und q ⇒ q. λ p ist genau dann wahr, wenn q wahr ist. (26) a. b. c. GK Semantik Heinz ist Junggeselle ⇔ Heinz ist ein Mann und Heinz ist nicht verheiratet Maria verkauft Hans ein Auto ⇔ Hans kauft ein Auto von Maria Petra ist die Mutter von Hans ⇔ Hans ist der Sohn von Petra Aussagenlogik 28.04.15 21 Logische Beziehungen zwischen Sätzen λ Zwei Sätze sind konträr, wenn sie nicht zusammen wahr sein können: (27) a. b. Die Suppe ist heiß / Die Suppe ist kalt Heute ist Dienstag / Morgen ist Freitag λ Zwei Sätze sind kontradiktorisch, wenn sie nicht zusammen wahr oder falsch sein können: (28) a. b. Die Suppe ist heiß / Die Suppe ist nicht heiß Heute ist Montag, Dienstag oder Mittwoch / Heute ist Donnerstag, Freitag, Samstag oder Sonntag λ Sätze, die nicht in einer solche Beziehung zueinander stehen, sind (zueinander) kontingent. (29) Die Suppe ist nicht heiß / Die Suppe ist nicht kalt GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 22 Die Sprache der Aussagenlogik λ Es gibt mehrere Operation in der Aussagenlogik, die wir verwenden können, um Beziehungen zwischen Aussagesätzen (z.B. p und q) auszudrücken. λ Im folgenden schauen wir uns einige an. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 23 Die Konjunktion (p ∧ q) λ Die aussagenlogische Konjunktion wird durch ∧ ausgedrückt. λ Die Konjunktion von p und q ist dann p ∧ q. λ Die Konjunktion von p und q ist nur dann wahr, wenn sowohl p und q wahr sind. λ Dies kann man in einer sog. Wahrheitswert-Tafel ausdrücken: (30) Konjunktion: p q [p ∧ q] 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 λ Diese entspricht der natürsprachlichen Konjunktion und. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 24 Die Konjunktion (p ∧ q) λ Beachten Sie aber, dass bei natürlichsprachlichen Ausdrücken das sog. Ikonizitätsprinzip gilt: Ikonizitätsprinzip Berichte über mehrere (zeitlich abgrenzbare) Ereignisse in der Reihenfolge, in der sie passiert sind. (31) a. b. Hans hat seine Freundin gesehen und die Wohnung verlassen. ≠ Hans hat die Wohnung verlassen und seine Freundin gesehen. λ So einen Unterschied ist nicht Teil der (einfachen) aussagenlogischen Konjunktion. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 25 Die Negation (¬p) λ Die aussagenlogische Negation wird durch ¬ ausgedrückt. λ Die Negation von p ist dann ¬p. λ Die Negation von p ist nur dann wahr, wenn p falsch ist: (32) Negation: p ¬p 0 1 0 1 λ Die aussagenlogische Negation ¬p entspricht ungefähr die Umschreibung ‘Es ist nicht der Fall, dass p’. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 26 Die Negation (¬p) λ Bei der aussagenlogischen Negation ist die Klammersetzug wichtig. λ Die folgende Aussage ist ambig: (33) ¬p ∧ q λ Dies kann sowohl die Negation von nur p als auch die Negation der ganzen Konjunktion ¬[p ∧ q] bedeuten. p 0 0 1 1 ¬p 1 1 0 0 q 0 1 0 1 p 0 0 1 1 [¬p ∧ q] 0 1 0 0 q 0 1 0 1 [p ∧ q] 0 0 0 1 ¬[p ∧ q] 1 1 1 0 λ Es gibt auch solche Ambiguitäten in natürlicher Sprache (siehe Repp (2009) für Gapping im Englischen). GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 27 Die Disjunktion (p ∨ q) λ Bei der (aussagenlogischen) Disjunktion (∨) ist die Disjunktion von p und p wahr gdw. p = 1 oder q = 1. (34) Disjunktion: p q [p ∨ q] 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 λ Es gibt auch eine strengere Auffassung der Disjunktion (die exklusive Disjunktion) (manchmal: ∨e ), wo eine Disjunktion nur wahr ist, wenn eins der beiden Disjunkte wahr aber nicht beide. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 28 Die (materiale) Implikation (p → q) λ Die (materiale) Implikation oder Konditional ([p → q]) ist nur falsch, gdw. das Antezedens p wahr ist und das Konsequens falsch. λ Dies wird als ‘wenn p, dann q’ gelesen. (35) Konditional: p q [p → q] 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 λ Wenn das Antezedens (p) falsch ist, dann kann das Konsequens q trotzdem wahr sein. λ Es kann natürlich auch falsch sein. (36) Wenn es regnet, werde ich Millionär. λ In dem Fall, wo es nicht regnet, könnte ich trotzdem Millionär werden. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 29 Die (materiale) Äquivalenz (p ↔ q) λ Die (materiale) Äquivalenz oder Bikonditional ([p ↔ q]) ist nur wahr, wenn beide Sätze den gleichen Wahrheitswert haben. (37) Bikonditional: p q [p ↔ q] 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 λ Interessant hier ist, dass das Bikonditional wahr ist, wenn beide Aussagen falsch sind. λ Stellen wir uns vor, ich gehe eine Wette ein: (38) Nur Wenn Messi spielt, gewinnt Barcelona. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 30 Die (materiale) Äquivalenz (p ↔ q) (39) Bikonditional: p q [p ↔ q] 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 (40) Nur Wenn Messi spielt, gewinnt Barcelona. λ Ich verliere, wenn (40) = 0. λ Ich verliere die Wette nur, wenn Messi spielt (p = 1) und Barcelona verliert (q = 0) oder λ wenn Messi nicht spielt (p = 0) und Barcelona trotzdem gewinnt (q = 1). λ Wenn Messi nicht spielt und Barcelona nicht gewinnt (p = 0, q = 0), habe ich nicht verloren (die Wette ist ungültig). GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 31 Die Bedeutung komplexer Ausdrücke λ Es ist möglich, die Bedeutung komplexer Ausdrücke wie (41) zu berechnen: (41) p 0 0 1 1 [¬p ∧ q] → q q 0 1 0 1 ¬p 1 1 0 0 [¬p ∧ q] 0 1 0 0 [¬p ∧ q] → q 1 1 1 1 λ Also ist dieser Satz eine Tautologie (er ist immer wahr). GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 32 Kontradiktionen λ Wir wollen jetzt Wahrheitswert-tafeln verwenden, um zu zeigen, dass ein Satz eine Kontradiktion ist. (42) p 0 1 Wenn Hans kommt, dann und nur dann kommt er nicht. ¬p 1 0 GK Semantik [p ↔ ¬p] 0 0 Aussagenlogik 28.04.15 33 Kleine Hausaufgabe λ Handet es sich bei den folgenden Aussagen um eine Kontradiktion, Tautologie oder einen kontingenten Satz? Beweisen Sie das mit einer Wahrheitswert-tafel! (43) a. b. GK Semantik [ p ∨ ¬[p ∧ q]] Hans raucht und Hans raucht nicht Aussagenlogik 28.04.15 34 Literatur Krifka, Manfred (2015): Satzsemantik. Vorlesungsskript, Humboldt-Universität zu Berlin. GK Semantik Aussagenlogik 28.04.15 35