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Axiomatische Geometrie
Ruben Jakob Sommersemester 2016 Universit¨at T¨ ubingen
Inhaltsverzeichnis I II
Einfu ¨ hrung Hilberts Axiomensystem
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1 Axiome der Inzidenz
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2 Axiome des Zwischenseins
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Teil I
Einfu ¨ hrung In dieser Vorlesung werden wir Hilberts axiomatische Definition bzw. Konstruktion einer Geometrie besprechen bzw. studieren und insbesondere das System der Gesetze Euklids, also die Gesetze einer Geometrie im Sinne der griechischen Antike (wie aus dem Gymnasialunterricht bekannt), aus Hilberts streng axiomatisch aufgebauter Theorie ableiten. Insbesondere sollen hierbei die klassischen Kongruenzgesetze f¨ ur Dreiecke und die eindeutige Existenz einer winkel-halbierenden Geraden, einer strecken-halbierenden Geraden, einer Senkrechten auf einer vorgegebenen Geraden durch einen vorgegebenen Punkt und einer Parallelen durch einen vorgegebenen Punkt bewiesen und nat¨ urlich auch die Innenwinkel-Summe eines Dreiecks berechnet werden. Ausserdem werden wir verstehen, warum Hilberts allgemeiner Zugang den speziellen Fall der ,,Kartesischen Ebene” u ¨ber R – jedoch nicht u orper – aus der linearen Algebra als Spezialfall enth¨alt. ¨ber jedem K¨
Teil II
Hilberts Axiomensystem Wir fixieren eine Menge von Punkten P und eine Teilmenge G der Potenzmenge Pot(P), die wir Geraden oder Linien nennen. Die Punktemenge P kann aus endlich oder aus unendlich vielen Elementen bestehen, und die Menge G aller Geraden wird zun¨achst nicht pr¨aziser eingegrenzt als durch die Forderung G ⊂ P. Offenbar erhielten wir hiermit Paare (P, G), die unserer anschaulichen Vorstellung einer ,,Geometrie” u ¨berhaupt nicht gerecht w¨ urden. Um nun sinnvolle Geometrieen mittels des Paares (P,G) zu erhalten, werden wir Eigenschaften der Elemente von P und G und insbesondere Relationen zwischen den Elementen von P und G axiomatisch fordern bzw. festlegen.
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Axiome der Inzidenz I1) F¨ ur zwei beliebige verschiedene Punkte P1 , P2 ∈ P existiert genau eine Gerade G ∈ G, die P1 und P2 enth¨ alt. I2) Jede Gerade G ∈ G enth¨ alt mindestens zwei Punkte. I3) Es existieren mindestens drei Punkte P1 , P2 , P3 , f¨ ur die es kein G ∈ G mit P1 , P2 , P3 ∈ G gibt.
Definition 1.1 Wir nennen ein Paar (P, G) aus einer Punkte- und einer Geradenmenge eine Inzidenz-Geometrie, falls deren Elemente die drei Axiome (I1), (I2), (I3) erf¨ ullen. Definition 1.2 Wir nennen im Folgenden eine Teilmenge P ⊂ P kolinear, falls es eine Gerade G mit P ⊂ G gibt. Falls es zu einer Teilmenge P ⊂ P keine solche Gerade aus G gibt, so nennen wir P nicht-kolinear. Proposition 1.1 Zwei verschiedene Geraden haben h¨ ochstens einen Schnittpunkt. 1
Beweis: Seien g1 , g2 ∈ G zwei Geraden, die zwei verschiedene Punkte A, B enthalten, also mit ](g1 ∩ g2 ) > 1. Nach Axiom (I1) existiert h¨ochstens eine Gerade, die A und B enth¨alt. Somit folgt g1 = g2 aus ](g1 ∩ g2 ) > 1, oder ¨aquivalent hierzu: g1 6= g2 ⇒ ](g1 ∩ g2 ) ≤ 1. /// ¨ In einer Ubungsaufgabe wird nachgepr¨ uft, dass das ,,Modell” der kartesischen Ebene = {(x, y)|x ∈ F, y ∈ F } u ¨ber jedem K¨orper F , dessen Geraden die L¨osungsmengen linearer Gleichungen ax + by + c = 0 f¨ ur a, b, c ∈ F
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seien, die drei Axiome (I1), (I2), (I3) der Inzidenz erf¨ ullen. Desweiteren f¨ uhren wir eine Relation auf G, n¨amlich den Begriff der Parallelit¨at ein: Definition 1.3 Wir nennen zwei verschiedene Geraden g1 , g2 ∈ G parallel, falls g1 ∩g2 = ∅ gilt. Wir schreiben hierf¨ ur g1 ||g2 . Ausserdem sei jede Gerade g zu sich selbst parallel, d.h. es gilt g||g, ∀g ∈ G. ¨ In einer Ubungsaufgabe wird ebenfalls nachgepr¨ uft, dass das ,,Modell” F 2 der kartesischen Ebene u ¨ber jedem K¨orper F auch die folgenden beiden Varianten des Parallelen-Axioms erf¨ ullt: Definition 1.4 i) Ein Paar (P, G) erf¨ ulle das Parallelen-Axiom (P), falls es zu jeder Geraden g ∈ G und zu jedem Punkt A ∈ P h¨ ochstens eine Parallele durch A zu g gibt. ii) Ein Paar (P, G) erf¨ ulle das strenge Parallelen-Axiom (P’), falls es zu jeder Geraden g ∈ G und zu jedem Punkt A ∈ P genau eine Parallele durch A zu g gibt. Betrachten wir nun zwei einfache Beispiele f¨ ur endliches P: Beispiel 1.1 1) Es bestehe P={A, B, C} aus drei Punkten und es sei G={{A, B}, {A, C}, {B, C}}. Man kann sofort die drei Inzidenz-Axiome (I1)-(I3) nachpr¨ ufen. Da es zu keiner Geraden g eine (echte) Parallele g 0 6= g gibt, ist (P) trivial erf¨ ullt, jedoch nicht (P’).
2) Es bestehe P={A, B, C, D, E} aus f¨ unf Punkten und G bestehe aus allen Teilmengen von P, die exakt zwei Elemente enthalten, also aus den 4! = 24 ,,Verbindungen” {A, B}, {A, C}, {B, C}, . . .. Man sieht leicht, dass dies eine Inzidenz-Geometrie ist, die jedoch das Parallelen-Axiom (P) (und somit (P’)) nicht erf¨ ullt. Insbesondere beweist dieses Beispiel, dass man (P) nicht aus (I1)-(I3) folgern kann ! ¨ Als kleine Ubungsaufgabe kann man sich u ¨berlegen, dass eine Menge der Kardinalit¨at 3, also P={A, B, C}, nur eine einzige Inzidenz-Geometrie zul¨asst, n¨amlich diejenige aus Beispiel 1.1 (1). F¨ ur P={A, B, C, D} erh¨alt man bereits 5 verschiedene Inzidenz-Geometrieen (P, Gi ), i = 1, . . . , 5, von denen eine die 6 Geraden {A, B}, {A, C}, {A, D} . . . aus jeweils zwei Punkten enth¨ alt und die vier weiteren G2 , . . . , G5 die Form {A, B, C}, {A, D}, {B, D}, {C, D} haben, also vier Geraden enthalten. Da man zu je zwei (P, Gi ), (P, Gj ), 1 < i 6= j, 2
dieser zuletzt genannten 4 Geometrieen genau eine Permutation von {A, B, C, D} angeben kann, welche die Elemente von Gi auf die Elemente von Gj abbildet, erkennt man die 4 Geometrieen (P, Gi ), i = 2, . . . 5, als ,,beinahe gleich” – oder besser – als ,,zueinander isomorph”. Diese spezielle Feststellung f¨ uhrt zu den folgenden beiden allgemeinen Begriffsbildungen, welche die hohe Anzahl aller m¨oglichen Inzidenz-Geometrieen auf einer ¨ Punktemenge P in u bzw. Isomorphieklassen einteilt: ¨berschaubare AquivalenzDefinition 1.5 1) Seien (P, G) und (P 0 , G 0 ) zwei Inzidenz-Geometrieen. Falls eine bijektive Abbildung Ψ zwischen P und P 0 existiert, die ebenfalls die Mengen G und G 0 aller Linien bijektiv aufeinander abbildet, so nennen wir (P, G) und (P 0 , G 0 ) zueinander ,,isomorph” und Ψ einen Isomorphismus zwischen (P, G) und (P 0 , G 0 ). 2) Im Spezialfall (P 0 , G 0 ) = (P, G) nennen wir solch eine Abbildung einen ,,Automorphismus” von (P, G). Die Menge aller Automorphismen, zusammen mit deren Komposition als Verkn¨ upfung, bildet offenbar eine Gruppe. Im Fall endlicher Kardinalit¨at von P, also im Falle ](P) ∈ N, ist diese Gruppe offenbar eine Untergruppe der Sn , der Gruppe aller Permutationen einer n-elementigen Menge.
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Axiome des Zwischenseins
Zur Einf¨ uhrung anschaulicher Begriffe wie Liniensegment, Dreieck, Halbstrahl, Halbebene, Winkel, Inneres eines Winkels, Inneres eines Dreiecks usw... muss zun¨achst gekl¨art werden, was wir pr¨ azise darunter verstehen wollen, dass ein Punkt B ∈ P auf einer Geraden G ∈ G ,,zwischen” zwei anderen Punkten A und C liegt. Dieser Begriff wird nun durch weitere 4 Axiome, durch die sogenannten ,,Zwischen-” oder ,,Betweenness-”Axiome konkretisiert. Es sei grunds¨ atzlich eine Inzidenz-Geometrie (P, G) beliebig fixiert. B1) Falls B zwischen A und C liegt, geschrieben ,,A ∗ B ∗ C”, so sind A, B, C drei verschiedene Punkte auf einer Geraden G. Es sei A ∗ B ∗ C zu C ∗ B ∗ A ¨aquivalent. B2) Zu zwei verschiedenen Punkten A 6= B auf einer Geraden G existiert ein weiterer Punkt C ∈ G, der A ∗ B ∗ C erf¨ ullt. B3) Seien A, B, C drei verschiedene Punkte auf einer Geraden G, so liegt genau einer zwischen den beiden anderen, d.h. es kann nicht sowohl A ∗ B ∗ C als auch B ∗ A ∗ C, oder sowohl A ∗ B ∗ C als auch A ∗ C ∗ B, gelten. B4) Seien A, B, C drei nicht-kolineare Punkte und G eine Gerade, welche diese Punkte nicht enthalte. Falls diese Gerade einen Punkt D zwischen A und B enth¨alt, so muss G ebenfalls entweder einen Punkt zwischen A und C oder einen Punkt zwischen B und C enthalten. Im letzten Axiom (B4) ist nur eine der beiden M¨oglichkeiten erlaubt, d.h. das ,,entweder...oder” ist kein ,,oder....auch”; und (B4) besagt anschaulich, dass eine Gerade nicht in ein Dreieck durch eine seiner Seiten eindringen kann, ohne dieses anschliessend durch uberliegende Seite wieder zu verlassen. genau eine gegen¨ 3
Definition 2.1
1) Wir definieren ein Geraden-Segment AB durch AB := {C ∈ P|A ∗ C ∗ B} ∪ {A, B}.
2) F¨ ur drei nicht-kolineare Punkte definieren wir ein Dreieck ABC als Vereinigung der drei Geraden-Segmente AB, BC und AC. Wir nennen AB, BC, AC die drei ,,Seiten” von ABC und A, B, C seine drei ,,Ecken”. Bemerkung 2.1 Man beachte, dass die Aufgaben 8 und 9 garantieren, dass ein Dreieck seine drei Seiten und Ecken bis auf Permutation eindeutig festlegt, d.h. sind {A, B, C} und {A0 , B 0 , C 0 } zwei Tripel aus P mit ABC = A0 B 0 C 0 , d.h. mit AB ∪ BC ∪ CA = A0 B 0 ∪ B 0 C 0 ∪ C 0 A0 , so folgt hieraus {AB, BC, CA} = {A0 B 0 , B 0 C 0 , C 0 A0 } und damit auch {A, B, C} = {A0 , B 0 , C 0 }. Aus den Axiomen (I1)-(I3) und (B1)-(B4) schliessen wir nun die fundamentale Proposition 2.2 [Ebenen-Teilung] Sei l eine Gerade in einer Geometrie (P, G) mit (I1)(I3) und (B1)-(B4). Dann kann die Menge P \ l in genau zwei nicht-leere Teilmengen, sogenannte Halbebenen, aufgeteilt werden, sodass gilt: Zwei verschiedene Punkte A, B ∈ P \ l geh¨ oren genau dann zu derselben Halbebene, wenn AB die Gerade l nicht schneidet. Beweis: Wir f¨ uhren zun¨ achst eine naheliegende Relation auf P \ l ein: A∼B
⇐⇒
Entweder A = B
oder AB ∩ l = ∅.
¨ Wir zeigen, dass ,,∼” eine Aquivalenzrelation ist. A ∼ A folgt aus A = A. A ∼ B impliziert B ∼ A, da AB = BA aus (B1) folgt. Gelte nun A ∼ B und B ∼ C. Fall 1: A, B, C liegen nicht auf einer Geraden. Per Definition der Relation ∼ wissen wir, dass die Gerade l die Segmente AB und BC nicht schneidet. Betrachten wir also das Dreieck ABC, so folgt aus (B4), dass die Gerade l demnach auch AC nicht schneiden kann, also dass A ∼ C gilt. Fall 2: A, B, C liegen auf einer Geraden m. Wegen A 6∈ l, gilt m 6= l. Nach Proposition 1.1 haben die Geraden l und m h¨ ochstens einen Schnittpunkt. Nach (I2) besitzt l mindestens 2 Punkte. Somit folgt die Existenz eines Punktes D ∈ l, der auch D 6∈ m erf¨ ullt. Nach (B2) existiert ein Punkt E, der D ∗ A ∗ E erf¨ ullt. Aus A 6∈ l und (I1) folgt E 6∈ l. Desweiteren gilt EA ∩ l = ∅, denn falls EA ∩ l 6= ∅ g¨alte, so w¨are ](EA ∩ l) = ](EA ∩ l) = 1 nach Proposition 1.1. Da D ∈ EA und D ∈ l gilt, folgte hieraus: {D} = EA ∩ l = EA ∩ l und somit E ∗ D ∗ A, was wegen (B3) im Widerspruch zu D ∗ A ∗ E steht. Somit haben wir A∼E gezeigt. Desweiteren gilt E 6∈ m, denn aus E ∈ m und (I1) folgte EA = m und somit D ∈ m im Widerspruch zur Wahl von D. Wegen A, B, C ∈ m sind somit {E, A, B}, {E, B, C} und {E, A, C} nicht-kolineare Mengen. Wenden wir nun sukzessive den behandelten Fall 1 4
auf diese drei Tripel an und beachten A ∼ E, so erhalten wir: A ∼ E ∧ A ∼ B ⇒ E ∼ B, E ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ E ∼ C, E ∼ C ∧ A ∼ E ⇒ A ∼ C, wie erw¨ unscht. ¨ Wir haben somit nur noch zu zeigen, dass es exakt zwei Aquivalenzklassen gibt, die wir dann als die gesuchten Halbebenen S1 , S2 bezeichnen. Nach (I3) existiert ein Punkt, der ¨ nicht auf l liegt. Somit existiert mindestens eine Aquivalenzklasse S1 . Wir w¨ahlen A ∈ S1 und einen Punkt D ∈ l. Nach (B2) existiert ein weiterer Punkt C, der A ∗ D ∗ C und somit AC ∩ l 6= ∅ erf¨ ullt. Per Definition bedeutet dies: A 6∼ C, sodass mindestens zwei ¨ Aquivalenzklassen existieren. Wir zeigen, dass es aber auch nicht mehr gibt, indem wir schliessen: A 6∼ C ∧ B 6∼ C ⇒ A ∼ B. Fall 1: A, B, C nicht kolinear. Per Voraussetzung gilt AC ∩ l 6= ∅ und BC ∩ l 6= ∅. Wenden unscht. wir (B4) auf das Dreieck ABC an, so folgt hieraus: AB ∩l = ∅, also A ∼ B, wie erw¨ Fall 2: A, B, C seien in einer Geraden m enthalten. Wie in Fall 2 des ersten Teils des Beweises k¨ onnen wir einen Punkt D ∈ l mit D 6∈ m und anschliessend einen Punkt E mit D ∗ A ∗ E w¨ ahlen, f¨ ur den wir A ∼ E zeigten. Zusammen mit A 6∼ C erhalten wir zuerst: C 6∼ E. Die Punkte B, C, E sind nicht kolinear, wie wir oben zeigten, und erf¨ ullen E 6∼ C und B 6∼ C. Somit folgt aus dem soeben behandelten Fall 1: E ∼ B. Da wir auch A ∼ E wissen, folgt nun A ∼ B, wie behauptet. /// Bemerkung 2.3 Die obige Charakterisierung der beiden Halbebenen kann auch in der folgenden Form ¨ aquivalent umformuliert werden: Zwei Punkte A, B ∈ P \ l geh¨ oren genau dann zu zwei verschiedenen Halbebenen, wenn AB die Gerade l schneidet. Proposition 2.4 [Geraden-Teilung] Sei A ein Punkt auf einer Geraden G in einer Geometrie (P, G) mit (I1)-(I3) und (B1)-(B4). Dann kann die Menge G \ {A} in genau zwei nicht-leere Teilmengen, sogenannte Strahlen S10 , S20 , aufgeteilt werden, sodass gilt: Zwei Punkte B, C ∈ G \ {A} geh¨ oren genau dann zu demselben Strahl, wenn BC den Punkt A nicht enth¨ alt. Beweis: Wir w¨ahlen mit (I3) einen Punkt E 6∈ G und die eindeutige Gerade l durch A und E. Nach Proposition 2.2 kann die Menge P \ l in genau zwei Halbebenen, S1 , S2 , aufgeteilt werden, f¨ ur die gilt: Zwei verschiedene Punkte B, C ∈ P \ l geh¨oren genau dann zu derselben ,,Halbebene”, wenn BC die Gerade l nicht schneidet, d.h. falls BC ∩ l = ∅. Wegen G ∩ l = {A} nach (I1) und BC ⊂ G gilt BC ∩ l ⊂ {A}, sodass BC ∩ l = ∅ zu A 6∈ BC ¨aquivalent ist. F¨ ur die beiden Durchschnitte Si0 := Si ∩ G, i = 1, 2, folgt somit: 1) G \ {A} = S10 ∪ S20 , 2) B ∼ C ⇐⇒ A 6∈ BC, 3) Si0 6= ∅, i = 1, 2, denn zu A existieren mit (I2) und (B2) Punkte B, D ∈ G mit B ∗ A ∗ D, also mit A ∈ BD, d.h. mit B 6∼ D. ///
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Definition 2.2
−−→ 1) Zu zwei Punkten A 6= B ∈ P definieren wir den ,,Strahl” AB als −−→ AB := {C ∈ AB \ {A}|C ∼ B} ∪ {A},
wobei AB die nach (I1) eindeutig bestimmte Gerade durch A und B sei, und wir −−→ nennen A die ,,Spitze” des Strahls AB. 2) Zu drei nicht-kolinearen Punkten B, A, C ∈ P definieren wir den ,,Winkel” am Punkt −−→ −→ A, notiert ∠BAC, als die Vereinigung der beiden Strahlen AB, AC. 3) Zu drei nicht-kolinearen Punkten A, B, C ∈ P definieren wir das Innere eines ,,Winkels” am Punkt A, notiert I(∠BAC), als die Menge aller Punkte D, f¨ ur die gilt: a) D und C liegen auf einer Seite der Geraden AB, und b) B und D liegen auf einer Seite der Geraden AC. 4) Zu drei nicht-kolinearen Punkten A, B, C definieren wir ,,das Innere” des Dreiecks ABC, notiert I(ABC), durch I(ABC) := I(∠BAC) ∩ I(∠ACB). Bemerkung 2.5 Man beachte bei der obigen Definition eines Winkels ∠BAC, dass dieser weder der Nullwinkel noch der ,,180 Grad”-Winkel sein kann und dass ausserdem ∠BAC = ∠CAB gilt. −−→ Proposition 2.6 Sei ∠BAC ein Winkel und D ein Punkt in I(∠BAC). Dann gilt AD ∩ BC 6= ∅. Beweis: Wir benennen l := AB, m := AC und n := AD. Mit (B2) existiert ein Punkt E auf m, der E ∗ A ∗ C erf¨ ullt. Da {A, B, C} nicht-kolinear ist, gilt insbesondere E 6∈ l. F¨ ur n gilt: a) n enth¨ alt weder B noch C noch E, wegen A ∈ n ∩ l bzw. A ∈ m ∩ l, Axiom (I1) und n 6= l, n 6= m. b) A = n ∩ EC, wegen E ∗ A ∗ C, Axiom (I1) und n 6= m. Und wie wir nun zeigen werden: c) n ∩ BE = ∅.
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Literatur [Art] Artin, M. (1993) Algebra, Birkh¨auser Verlag, Basel. [Bo] Bosch, S.(2006) Algebra, Springer Verlag, 6. Auflage, Berlin - Heidelberg - New York. [Green] Greenberg, M. J. (1972) Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Freeman and Company, San Francisco. [Hart] (2000) Geometry: Euclid and Beyond, Springer Verlag, Berlin - Heidelberg - New York. [Oster] Ostermann, A., Wanner, G. (2010) Geometry by its History, Springer Verlag, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin - Heidelberg - New York.
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