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Institut f¨ ur Theoretische Physik (ITP) Karlsruher Institut f¨ ur Technologie (KIT) Moderne Theoretische Physik I (TheoD, QM I) Dozent: Prof. Dr. Frans R. Klinkhamer Assistent: Dr. Viacheslav A. Emelyanov • Abgabe am Montag, den 04.07.2016; Besprechung am Mittwoch, den 06.07.2016 • Aktuelle Informationen zur Vorlesung befinden sich unter folgendem Link: https://www.itp.kit.edu/~slava/quantenmechanik_ss_16.html • Melden Sie sich rechtzeitig f¨ ur Vorleistung und Klausur durch das QISPOS-System an. Dies ist erforderlich und erfolgt unter https://campus.studium.kit.edu
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¨ Ubungsblatt 11 Aufgabe 11.1: Die Matrixdarstellung von Operatoren (8 Punkte) (a) In einem dreidimensionalen Hilbert-Raum seien zwei lineare Operatoren durch ihre Wirkung auf die Vektoren einer orthonormierten Basis {|α1 i, |α2 i, |α3 i} definiert: √ ˆ 1 i = 3|α1 i − i 2|α2 i + |α3 i , A|α √ √ ˆ 2 i = i 2|α1 i + 2|α2 i − i 2|α3 i , A|α √ ˆ 3 i = |α1 i + i 2|α2 i + 3|α3 i , A|α
(1)
√ ˆ 1 i = |α1 i + i 2|α2 i + |α3 i , B|α √ √ ˆ 2 i = −i 2|α1 i + i 2|α3 i , B|α √ ˆ 3 i = |α1 i − i 2|α2 i + |α3 i . B|α
(2)
sowie
ˆ hermitesch sind und einen Satz von gemeinsamen Beweisen Sie, dass die Operatoren Aˆ und B Zust¨anden besitzen. (3 Punkte) (b) Betrachten wir ein Teilchen der Masse m in einem Quadratpotential, das durch die Frequenz ω beschrieben ist. Bestimmen Sie nicht-verschwindende Matrixelemente qnm und pnm von den Operatoren qˆ bzw. pˆ in der Basis {|ni}, die in Aufgabe 7.1 eingef¨ uhrt wurde. Bestimmen Sie auch die Dimension dieser Matrizen qnm und pnm (5 Punkte)
1 Stand 27. 06. 2016 um 09:23:23
Aufgabe 11.2: Satz von Ehrenfest (8 Punkte) (a) Zeigen Sie im Rahmen der Schr¨odingerschen Wellenmechanik das Ehrenfestsche Theorem f¨ ur ein Teilchen der Masse m in einer Dimension, das sich in einem Potential V (q) bewegt: hˆ pi d hˆ qi = dt m
und
d hˆ pi = −hVˆ 0 (q)i . dt
(4 Punkte)
(3)
(b) Zeigen Sie weiter, dass der Ortserwartungswert hˆ q i die Newtonsche Bewegungsgleichung m
d2 hˆ q i = −Vˆ 0 (hqi) dt2
(4)
erf¨ ullt, falls Vˆ (q) ein Polynom h¨ ochstens zweiten Grades in q ist. (3 Punkte) (c) Angenommen, Vˆ (q) sei kein Polynom h¨ochstens zweiten Grades in q. Wie geartet muss eine Wellenfunktion sein, damit die Newtonsche Bewegungsgleichung zumindest n¨aherungsweise gilt? (Qualitative Antwort gen¨ ugt) (1 Punkt) Aufgabe 11.3: Das Schr¨ odinger-Bild und Heisenberg-Bild (8 Punkte) ˆ (a) F¨ ur ein abgeschlossenes System (∂ H/∂t = 0) sei AˆS eine Observable im Schr¨odingerBild, AˆH die entsprechende des Heisenberg-Bildes. Beide Bilder m¨ogen zur Zeit t0 = 0 ˆ Zeigen Sie, dass u ¨bereinstimmen. Der Anfangszustand |ψ(t0 )i sei Eigenzustand von A. |ψ(t)i f¨ ur t > 0 Eigenzustand zu AˆH (−t) mit demselben Eigenwert ist. (4 Punkte) (b) Ein kr¨ aftefreies Teilchen besitze die Masse m. Bestimmen Sie die zeitabh¨angigen Operatoren qˆH (t) und pˆH (t). Berechnen Sie auch die folgenden Kommutatoren: [ˆ qH (t), qˆH (t0 )], [ˆ pH (t), pˆH (t0 )] und [ˆ qH (t), qˆH (t0 )]. (4 Punkte)
2 Stand 27. 06. 2016 um 09:23:23
