Ballon Von Einem Freiballon Aus Werden Die Orte A Und B, Die

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Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Ballon Von einem Freiballon aus werden die Orte A und B, die 2700m voneinander entfernt sind, unter den Tiefenwinkeln mit den Winkelweiten α = 66° und β = 24° angepeilt. Bestimme, in welcher Höhe der Ballon über dem Punkt G schwebt. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Strecke GC habe die Länge h, die Strecke GA habe die Länge x. x ⇔ x = h ⋅ tan( 24°) ; h x + 2700m II. tan( 90° − 24°) = ; h I. tan( 90° − 66° ) = I eingesetzt in II ergibt tan( 66°) = h ⋅ tan( 24°) + 2700 m ; h Auflösen dieser Gleichung nach h ergibt h = 2700m ≈ 1500m . tan( 66°) − tan( 24° ) Der Ballon schwebt in einer Höhe von 1500m über dem Punkt G. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit *** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Baum Treffen die Sonnenstrahlen unter einem Winkel von 30° auf den Boden, so wirft ein Baum einen 45m langen Schatten. Bestimme, wie hoch der Baum ist. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe des Baums sei h. tan( 30° ) = h ⇔ h = 45m ⋅ tan( 30°) ; h ≈ 26m . 45m Der Baum ist ungefähr 26m hoch. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Baustelle 1 Die Handwerkskammer schreibt für Leitern einen Anstellwinkel von ca. 70° vor. Leitern über 7 m Länge müssen zusätzlich abgestützt werden. Bestimme, wie hoch eine ordnungsgemäß aufgestellte Leiter, die 6m lang ist, an einer Wand hoch reicht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe, die die Leiter an der Wand hoch reicht, sei h. sin( 70° ) = h ⇔ h = 6m ⋅ sin( 70°) ; h ≈ 5,64m . 6m Die Leiter reicht 5,64m an der Wand hoch. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Baustelle 2 Die Handwerkskammer schreibt für Leitern einen Anstellwinkel von ca. 70° vor. Leitern über 7 m Länge müssen zusätzlich abgestützt werden. Bestimme, wie weit eine ordnungsgemäß aufgestellte Leiter, die 6m lang ist, von der Wand entfernt auf dem Boden steht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Strecke, die die Leiter von der Wand entfernt auf dem Boden steht, sei s. cos( 70°) = s ⇔ s = 6 m ⋅ cos( 70°) ; s ≈ 2,05m . 6m Die Leiter steht 2,05m von der Wand entfernt auf dem Boden. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Baustelle 3 Die Handwerkskammer schreibt für Leitern einen Anstellwinkel von ca. 70° vor. Leitern über 7 m Länge müssen zusätzlich abgestützt werden. Bestimme, wie lang eine ordnungsgemäß aufgestellte Leiter sein muss, um 15m an einer Wand hoch zu reichen. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Länge der Leiter sei l . sin( 70°) = 15m 15m ⇔l= ; l ≈ 16 m . l sin( 70°) Die Leiter muss 16m lang sein. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Brückenrampe Geplant ist der Bau einer Brücke, die in 50m Höhe über einen Fluss führen soll. Die Zufahrt muss in Uferhöhe liegen und darf höchstens unter einem Winkel von 3° ansteigen. Bestimme, wie lang die Zufahrt mindestens sein muss. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Länge der Zufahrt sei l . sin( 3°) = 50m 50m ⇔l= ; l ≈ 955m . l sin( 3°) Die Zufahrt muss 955m lang sein. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Fabrik Von einer 40 m langen ‚Standlinie’ AB , die auf einen Fabrikschornstein zuläuft, wird dessen Spitze mit einem Thodoliten angepeilt. Die Höhenwinkel bei A und B haben die Winkelweiten α = 38° und β = 56° . Bestimme die Höhe des Schornsteins. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Die Höhe des Schornsteins sei h, die Strecke vom Punkt B zum Lotfußpunkt der Schornsteinspitze habe die Länge x. h ; 40m + x h h II. tan( 56° ) = ⇔ x = ; x tan( 56°) I. tan( 38°) = II eingesetzt in I ergibt tan( 38° ) = h h 40 m + tan( 56°) Auflösen dieser Gleichung nach h ergibt h = Der Schornstein ist 66m hoch. 2010 Thomas Unkelbach ; 40 m ⋅ tan( 38°) ≈ 66m . tan( 38°) 1− tan( 56°) Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Flugrichtung 1 Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar, Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges   v e und die Windgeschwindigkeit v W sich zur  Geschwindigkeit v B überlagern, die die Bewegung des Flugzeuges über den Boden angibt. α ist der „Kompasskurs“ des Flugzeuges. Ein Pilot steuert den Kompasskurs 90° , das Flugzeug hat die Eigengeschwindigkeit 360km / h , die Windgeschwindigkeit beträgt 60km / h . Bestimme, um welchen Winkel das Flugzeug von seinem Kurs abgelenkt wird. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Weite des gesuchten Winkels sei ϕ . tan(ϕ ) = 60km / h 1 = ⇒ ϕ ≈ 9,5° . 360km / h 6 Das Flugzeug wird um einen Winkel der Weite 9,5° von seinem Kurs abgelenkt. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Flugrichtung 2 Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar, Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges r r v e und die Windgeschwindigkeit v W sich zur r Geschwindigkeit v B überlagern, die die Bewegung des Flugzeuges über den Boden angibt. α ist der „Kompasskurs“ des Flugzeuges. Ein Pilot möchte genau Richtung Osten fliegen und steuert den Kompasskurs 80° . Die Windgeschwindigkeit beträgt 60km / h . Bestimme, mit welcher Eigengeschwindigkeit das Flugzeug fliegt, wenn es genau Richtung Osten fliegt. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs sei v e . sin( 90° − 80°) = 60 km / h 60km / h ⇒ ve = ; v e = 346 km / h . ve sin( 10°) Das Flugzeug fliegt mit einer Eigengeschwindigkeit von 346km / h . 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit *** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Flugrichtung 3 Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar, Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges r r v e und die Wind geschwindigkeit v W sich zur r Geschwindigkeit v B überlagern, die die Bewegung des Flugzeuges über den Boden angibt. α ist der „Kompasskurs“ des Flugzeuges. Ein Flugzeug hat die Eigengeschwindigkeit 420 km / h , die Windgeschwindigkeit beträgt 40 km / h . Bestimme, welchen Kompasskurs der Pilot steuern muss, damit das Flugzeug genau Richtung Osten fliegt. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Der Kompasskurs des Flugzeuges habe die Weite α . sin( 90° − α) = 40 km / h ⇒ 90° − α ≈ 5,5° ⇒ α ≈ 84,5° . 420 km / h Der Pilot muss den Kompasskurs 84,5° steuern. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit *** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Flugzeugstart Ein Flugzeug hebt mit einer Geschwindigkeit von 55m/s (Meter pro Sekunde) und einem Winkel von 34° vom Boden ab. Bestimme, in welcher Höhe sich das Flugzeug nach 6 Sekunden befindet, wenn es weiterhin mit der oben angegebenen Geschwindigkeit fliegt und welche Strecke es in dieser Zeit über den Boden überflogen hat. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Die Höhe des Flugzeugs nach 6 Sekunden sei h, die dabei über den Boden zurückgelegte Strecke habe die Lä nge s. sin( 34°) = h ⇔ h = 330 m ⋅ sin( 34°) ; h ≈ 185m . 6s ⋅ 55m / s cos( 34°) = s ⇔ s = 330 m ⋅ cos(34° ) ; s ≈ 275m . 6s ⋅ 55m / s Das Flugzeug ist nach 6 s in einer Höhe von 185m und hat in dieser Zeit über den Boden 275m überflogen. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Flussbreite Um die Breite eines Flusses zu bestimmen werden von einem Turm aus die beiden Flussufer unter den Tiefe nwinkeln mit den Weiten α = 42° und β = 29° angepeilt. Bestimme die Breite des Flusses. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Die Breite des Flusses sei b, die Strecke vom Lotfußpunkt der rechten Turmspitze zum linken Flussufer habe die Länge x. x+b ; 46m x II. tan( 90° − 42°) = ⇔ x = 46m ⋅ tan( 48°) ; 46m I. tan( 90° − 29°) = II eingesetzt in I ergibt tan( 61°) = 46m ⋅ tan( 48°) + b ; 46 m Auflösen dieser Gleichung nach b ergibt b = 46m ⋅ (tan(61 °) - tan(48 °)) ≈ 32m . Der Fluss ist 32m breit. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Flussüberquerung 1 Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar, Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigenger schwindigkeit des Bootes v e und die Strömungsr geschwindigkeit v W sich zur Geschwindigkeit r v B überlagern, die die Bewegung des Bootes über den Boden angibt. α ist der „Kompasskurs“ des Bootes. Ein Kapitän steuert den Kompasskurs 90° , das Boot hat die Eigengeschwindigkeit 36km / h , die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 12km / h . Bestimme, um welchen Winkel das Boot von seinem Kurs abgelenkt wird. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Weite des gesuchten Winkels sei ϕ . tan( ϕ) = 12km / h ⇒ ϕ ≈ 18, 4° . 36 km / h Das Boot wird um einen Winkel der Weite 18,4° von seinem Kurs abgelenkt. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Flussüberquerung 2 Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar, Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, r wie die Eigengeschwindigkeit des Bootes v e und r die Strömungsgeschwindigkeit v W sich zur Ger schwindigkeit v B überlagern, die die Bewegung des Bootes über den Boden angibt. α ist der „Kompasskurs“ des Bootes. Ein Kapitän möchte das gegenüberliegende Ufer im Punkt B erreichen und steuert den Kompasskurs 60° . Die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 12km / h . Bestimme, mit welcher Eigengeschwindigkeit das Boot fahren muss, damit es das gegenüberliegende Ufer im Punkt B erreicht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Eigengeschwindigkeit des Bootes sei v e . sin( 90° − 60°) = 12km / h 12km / h ⇒ ve = ; v e = 24km / h . ve sin( 30°) Das Boot muss mit einer Eigengeschwindigkeit von 24 km / h fahren. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit *** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Flussüberquerung 3 Geschwindigkeiten stellt man in der Physik durch Pfeile dar, Geschwindigkeiten mit verschiedenen Richtungen setzt man zusammen, indem man aus den Geschwindigkeitspfeilen Dreiecke bildet. Das nebenstehende Bild zeigt, wie die Eigengeschwindigkeit r des Bootes v e und die Strömungsgeschwindigkeit r r v W sich zur Geschwindigkeit v B überlagern, die die Bewegung des Bootes über den Boden angibt. α ist der „Kompasskurs“ des Bootes. Ein Boot hat die Eigengeschwindigkeit 14km / h , die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers beträgt 12km / h . Bestimme, welchen Kompasskurs der Kapitän steuern muss, damit das Boot das gegenüberliegende Ufer im Punkt B erreicht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Der Kompasskurs des Bootes habe die Weite α . sin( 90° − α) = 12km / h ⇒ 90° − α ≈ 59° ⇒ α ≈ 31° . 14km / h Das Boot muss mit dem Kompasskurs 31° fahren. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit *** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Gleichschenkliges Dreieck 1 In dem Gleichschenkligen Dreieck ABC ist b = 58,6m und α = 62° . Bestimme die Länge h der Höhe des Dreiecks. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie sin( 62°) = Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II h ⇔ h = 58,6m ⋅ sin( 62°) ; h ≈ 51,7 m . 58,6 m 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Gleichschenkliges Dreieck 2 In dem Gleichschenkligen Dreieck ABC ist a = 45,2m und γ = 98° . Bestimme die Länge h der Höhe des Dreiecks. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie cos( 12 ⋅ 98°) = Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II h ⇔ h = 45,2m ⋅ cos( 49° ) ; h ≈ 29,7 m . 45,2m 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Gleichschenkliges Dreieck 3 In dem Gleichschenkligen Dreieck ABC ist c = 124,8m und β = 36° . Bestimme die Länge h der Höhe des Dreiecks. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie tan( 36° ) = Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II 1 2 h ⇔ h = 62, 4m ⋅ tan( 36° ) ; h ≈ 45,3m . ⋅124,8m 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Gleichschenkliges Dreieck 4 In dem Gleichschenkligen Dreieck ABC ist c = 9,76m und γ = 79,5° . Bestimme die Länge h der Höhe des Dreiecks. 2011 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II tan( 12 ⋅ 79,5°) = 1 2 ⋅ 9,76 m h ⇔h= 4,88m ; h ≈ 5,87 m . tan( 39,75°) 2011 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Gleichschenkliges Dreieck 5 In dem Gleichschenkligen Dreieck ABC ist a = 65,4m und c = 54,7 m . Bestimme die Winkelweite β und die Länge h der Höhe des Dreiecks. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie cos(β) = 1 2 Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II ⋅ 54,7m 65,4m sin( 65,3° ) = ⇒ β ≈ 65,3° h ⇔ h = 65,4m ⋅ sin( 65,3°) ; h ≈ 59,4m . 65,4m 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Haus Ein Haus erscheint aus der Entfernung 115m unter dem Höhenwinkel 32° . Bestimme, wie hoch das Haus ist. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe des Hauses sei h. tan( 32° ) = h ⇔ h = 115m ⋅ tan( 32° ) ; h ≈ 72m . 115m Das Haus ist 72m hoch. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Höhe der Cheopspyramide Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine Seitenlänge von 230m. Wenn ein Be trachter 500m von der Pyramide entfernt steht, sieht er die Spitze unter einem Winkel von 16° . Die Größe des Betrachters wird vernachlässigt. Bestimme die Höhe der Cheopspyramide. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe der Cheopspyramide sei h. tan(16°) = h ⇔ h = 615m ⋅ tan( 16°) ; h ≈ 176m . 500m + 115m Die Cheopspyramide ist 176m hoch. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Kabel zur Insel Vom Ufer aus soll zum Punkt C auf einer Insel in einem See ein Kabel verlegt werden. Dazu wurde am Ufer eine Strecke von 100m abgemessen und mit einem Vermessungsgerät der Punkt C auf der Insel jeweils von den Punkten A und B angepeilt. Bestimme den Abstand des Punktes C vom Ufer. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Zu berechnen ist der Abstand des Punktes C zur Strecke AB , d.h. die Höhe h des Dreiecks auf der Seite AB . Seien p und q die beiden Teilstücke der Seite AB bis zum Lotfußpunkt der Höhe h. h h ⇔p= ; p tan( 66°) h h II. tan( 45°) = ⇔ q = ; q tan( 45°) I. tan( 66°) = Wegen c = p + q gilt 100m = h h 1 1 + = h ⋅( + )⇔h= tan( 66° ) tan( 45° ) tan( 66°) tan( 45° ) Der Abstand des Punktes C vom Ufer beträgt 69m . 2010 Thomas Unkelbach 100 m 1 1 + tan( 66°) tan( 45°) ; h ≈ 69m . Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Kirchturm Der Turmkopf einer Kirche soll als Vermessungspunkt dienen. Hierzu muss die Höhe h bestimmt werden. Von den Endpunkten einer auf den Turmkopf zulaufenden ‚Standlinie’ AB mit | AB | = 79,94m werden die Winkelweiten α = 25,24° und β = 62,17° gemessen. Bestimme die Höhe h. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Strecke vom Punkt B zum Lotfußpunkt der Kirchturmspitze habe die Länge x. h ; 79,94 m + x h h II. tan( 62,17°) = ⇔ x = ; x tan( 62,17°) I. tan( 25,24°) = II eingesetzt in I ergibt tan( 25,24°) = h h 79,94m + tan( 62,17° ) Auflösen dieser Gleichung nach h ergibt h = Der Kirchturm ist 50,17m hoch. 2010 Thomas Unkelbach ; 79,94m ⋅ tan( 25,24°) ≈ 50,17m . tan( 25,24° ) 1− tan( 62,17° ) Schwierigkeit *** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Kölner Dom Die Türme des Kölner Doms sind 160m hoch. An einem schönen Sommertag treffen die Sonnenstrahlen unter einem Winkel der Weite 35° auf den Vorplatz. Bestimme die Länge des Schattens, den die Türme des Doms werfen. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Länge des Schattens sei s. tan( 35° ) = 160m 160m ⇔s= ; s ≈ 229m . s tan( 35°) Die Türme werfen einen Schatten der Länge 229m. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Klasse 10 Thema Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken Schwierigkeit * Leiter Eine 7,10m lange Leiter ist an einer hohen Wand so angelehnt, dass sie am Boden 3,30m von der Wand entfernt ist. Bestimme, wie hoch die Leiter an der Mauer reicht und wie der Winkel zwischen der Leiter und dem Boden ist. © 2007 Thomas Unkelbach; Quelle: unbekannt Klasse 10 Thema Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken Schwierigkeit * Die Höhe der Leiter an der Wand sei h.

: h = (7,10m ) 2 − (3,30 m) 2 ≈ 6,30m . cos( α) = 3,30 m ⇒ α ≈ 62° . 7,10m Die Leiter steht 6,30m an der Hausmauer hoch. Der Winkel zwischen Leiter und Boden beträgt 62° . © 2007 Thomas Unkelbach; Quelle: unbekannt Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Leitungsmast An einem schönen Sommertag treffen die Sonnenstrahlen unter einem Winkel der Weite 75º auf den ebenen Boden auf. Ein Le itungsmast wirft einen Schatten von 6m Länge. Bestimme die Höhe des Leitungsmastes. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe des Leitungsmastes sei h. tan( 75°) = h ⇔ h = 6m ⋅ tan( 75°) ; h ≈ 22,4m . 6m Die Höhe des Leitungsmastes beträgt 22,4m . 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Leuchttürme Von zwei Leuchttürmen L1 und L2 , die 7km voneinander entfernt sind, wird ein Schiff S angepeilt. Man misst die Winkelweiten α 1 = 42° und α 2 = 55 ° . Bestimme die Entfernung des Schiffes von der Küste. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Zu berechnen ist der Abstand des Punktes S zur Strecke L 1L 2 , d.h. die Höhe h des Dreiecks auf der Seite L 1L 2 . Seien p und q die beiden Teilstücke der Seite L 1L 2 bis zum Lotfußpunkt der Höhe h. h h ⇔p= ; p tan( 42°) h h II. tan( 55° ) = ⇔ q = ; q tan( 55° ) I. tan( 42°) = Wegen c = p + q gilt 7 km = h h 1 1 + = h ⋅( + )⇔h = tan( 42° ) tan( 55°) tan( 42°) tan( 55°) Das Schiff ist 3,87km von der Küste entfernt. 2010 Thomas Unkelbach 7 km 1 1 + tan( 42° ) tan( 55°) ; h ≈ 3,87 km . Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Lilienthal Otto LILIENTHAL (1840-1896) war der erste fliegende Mensch. Er flog zum Beispiel mit einem Drachenflieger aus 25m Höhe ca. 185m weit. Bestimme, in welchem Gleitwinkel LILIENTHAL geflogen ist. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Der Gleitwinkel habe die Winkelweite α . tan( α°) = 25m ⇒ α ≈ 7 ,7 ° . 185m Der Gleitwinkel betrug 7,7° . 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Loreley Von der Loreley, einem 132m über dem Rhein liegenden Felsen, sieht man die beiden Flussufer unter den Tiefenwinkeln mit den Weiten α = 41,4° und β = 65,6° . Bestimme die Breite des Rheins an dieser Stelle. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Die Breite des Rheins sei b, die Strecke vom Lotfußpunkt der Loreley am Boden zum rechten Flussufer habe die Länge x. x+b ; 132m x II. tan( 90° − 65,6°) = ⇔ x = 132m ⋅ tan( 24,4°) ; 132m I. tan( 90° − 41,4° ) = II eingesetzt in I ergibt tan( 48,6°) = 132m ⋅ tan( 24,4° ) + b ; 132m Auflösen dieser Gleichung nach b ergibt b = 132m ⋅ (tan(48,6 °) - tan(24,4 °)) ≈ 90m . Der Rhein ist an dieser Stelle 90m breit. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Parallelogramm 1 In dem Parallelogramm d = 10,0cm und α = 60° . ABCD ist a = 8,0cm , Bestimme die Länge h a der Höhe des Parallelogramms und dessen Flächeninhalt A . 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie sin( 60°) = Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II ha ⇔ h a = 10,0cm ⋅ sin( 60°) ; h a ≈ 8,7 cm 10,0cm A = a ⋅ h a = 8,0cm ⋅ 8,7cm = 69,6cm 2 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Parallelogramm 2 In dem Parallelogramm b = 7,5cm und β = 125° . ABCD ist a = 12,0cm , Bestimme die Länge h a der Höhe des Parallelogramms und dessen Flächeninhalt A . 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II sin( 180° − 125°) = ha ⇔ h a = 7,5cm ⋅ sin( 55° ) ; h a ≈ 6,1cm 7,5cm A = a ⋅ h a = 12,0cm ⋅ 6,1cm = 73, 2cm 2 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Prinzessin Um die Prinzessin zu entführen, hat der Ritter die 4,50m lange Leiter unter einem ‚Höhenwinkel’ von 65° an die Burgmauer gelehnt. Bestimme, wie hoch die Leiter an der Burgmauer reicht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe der Leiter an der Burgmauer sei h. sin( 65°) = h ⇔ h = 4,50m ⋅ sin( 65° ) ; h ≈ 4,08m . 4,50m Die Leiter reicht 4,08m hoch. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Pultdach In der nebenstehenden Abbildung ist ein sogenanntes ‚Pultdach’ gezeigt. Die Bauordnung schreibt für die Winkelweiten α und β folgende Wertebereiche vor: 0 0 0 0 65 ≤ α ≤ 80 und 35 ≤ β ≤ 45 . Bestimme, wie hoch das Dach mindestens und höchstens wird. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Zu berechnen ist der Abstand der Dachspitze zur Strecke AB , d.h. die Höhe h des Dreiecks auf der Seite AB . Seien p und q die beiden Teilstücke der Seite AB bis zum Lotfußpunkt der Höhe h. h h ⇔p= ; p tan( 65°) h h II. tan( 35° ) = ⇔ q = ; q tan( 35° ) I. tan( 65°) = Wegen c = p + q gilt 6,50m = h h 1 1 + = h ⋅( + )⇔h= tan( 65°) tan( 35°) tan( 65° ) tan( 35°) Analog ergibt sich mit den beiden anderen Winkeln h ≈ 5,53m . Das Dach wird mindestens 3,43m und höchstens 5,53m hoch. 2010 Thomas Unkelbach 6,50m 1 1 + tan( 65° ) tan( 35°) ; h ≈ 3, 43m . Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Rakete Beim Start einer Rakete von Cap Canaveral konnte man von der Zuschauertribüne aus die 10m hohe Spitze der Rakete unter den Höhenwinkeln mit den Winkelweiten α = 4,3° und β = 4,6° beobachten. Bestimme die Höhe der Rakete und die Entfernung der Rakete von der Zuschauertribüne. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Die Höhe der Rakete sei h, die Strecke von der Zuschauertribüne zum Lotfußpunkt der Spitze der Rakete auf den Boden habe die Länge s. h − 10m ; s h h II. tan( 4,6°) = ⇔ s = ; s tan( 4,6°) I. tan( 4,3° ) = II eingesetzt in I ergibt tan( 4,3°) = h − 10m ; h tan( 4,6° ) Auflösen dieser Gleichung nach h ergibt h = Aus II folgt s = 10m ≈ 153m . tan( 4,3°) 1− tan( 4,6°) h ≈ 1900 m . tan( 4,6°) Die Rakete ist 153m hoch und steht von der Zuschauertribüne 1900m entfernt. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Ruine Von zwei Peilstäben in der Ebene aus wird die Spitze der Ruine auf dem Berg angepeilt. Bestimme den Höhenunterschied zwischen der Ebene und der Spitze der Ruine. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Die Strecke von der Oberkante des rechten Peilstabs zum Lotfußpunkt der Ruine auf die Höhe 1,50m habe die Länge x, der Höhenunterschied zwischen der Oberkante der Peilstäbe und der Spitze der Ruine sei h ' . h' ; 80m + x h' h' II. tan( 50 °) = ⇔ x = ; x tan( 50°) I. tan( 30° ) = II eingesetzt in I ergibt tan( 30° ) = h' h' 80m + tan( 50° ) Auflösen dieser Gleichung nach h ' ergibt h ' = ; 80 m ⋅ tan( 30°) ≈ 89,60m . tan( 30°) 1− tan( 50°) Damit liegt die Spitze der Ruine h = h '+1,50m ≈ 91,10m höher als die Ebene. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Schornstein Ein Schornstein, der 75m hoch ist, wirft einen 70m langen Schatten. Bestimme die Weite des Winkels, unter dem die Sonnenstrahlen auf den ebenen Boden treffen. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie tan( β) = Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II 75m ⇒ β ≈ 47° . 70m Die Sonnenstrahlen treffen unter einem Winkel der Weite 47 ° auf den ebenen Boden. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Schüttkegel Beim Aufschütten von Salz, Getreide, Sand usw. entsteht ein Schüttkegel. Der Böschungswinkel (im Bild siehst du den Böschungswinkel für Salz) ist bei den einzelnen Materialien verschieden. Bestimme den Durchmesser eines 3m hohen Schüttkegel aus Salz. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Der Durchmesser des Schüttkegels sei d. tan( 34° ) = 3m 3m ⇔ d = 2⋅ ; d ≈ 8,80m . d/2 tan( 34°) Der Durchmesser des Schüttkegels beträgt 8,80m . 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Segelflugzeug 1 Ein Segelflugzeug befindet sich in 1250m Höhe und ist noch 42 km von seinem Ziel entfernt. Bestimme, wie groß der Gleitwinkel höchstens sein darf, damit das Segelflugzeug sein Ziel ohne Unterstützung durch zusätzlichen Aufwind erreicht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie tan( α°) = Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II 1250 m ⇒ α ≈ 1,7° . 42000m Der Gleitwinkel darf höchstens 1,7° betragen. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Segelflugzeug 2 Ein Segelflugzeug befindet sich in 1250m Höhe, ist noch 42 km von seinem Ziel entfernt und fliegt mit einem Gleitwinkel von 1,5° . Bestimme, in welcher Höhe das Segelflugzeug das Ziel überfliegt, wenn es das Ziel ohne Unterstützung durch zusätzlichen Aufwind erreicht. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe des Segelflugzeugs über dem Zielpunkt sei h. tan(1,5° ) = 1250m − h ; h = 1250m − tan( 1,5°) ⋅ 42000m ; h ≈ 150m . 42000 m Das Segelflugzeug überfliegt das Ziel in einer Höhe von 150m . 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit ** Tanne Eine Tanne ist 25m hoch und wirft einen Schatten von 30m Länge. Bestimme die Weite des Winkels, unter dem die Sonnenstrahlen auf den ebenen Boden treffen. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Weite des gesuchten Winkels sei α . tan( α) = 25m ⇒ α ≈ 40° . 30m Die Sonnenstrahlen treffen unter einem Winkel der Weite 40 ° auf den ebenen Boden. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit ** Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit * Turm Die Höhe eines Turmes soll bestimmt werden. Dazu hat ein Vermessungsingenieur mit Hilfe eines Thodoliten den Winkel bestimmt, unter dem ein Betrachter den Turm sieht. Bestimme die Höhe des Turmes. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Die Höhe des Turms sei h. tan( 32° ) = h − 1,8m ⇔ h = 50m ⋅ tan( 32°) + 1,8m ; h ≈ 33m . 50m Der Turm ist 33m hoch. 2010 Thomas Unkelbach Schwierigkeit * Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Turm am Fluss Von der Spitze eines Turms aus werden zwei Punkte an den beiden Ufern eines Flusses, der 40m breit ist, unter den Tiefenwinkeln mit den Winkelweiten 65° und 28 ° angepeilt. Bestimme, welche Höhe der Turm hat. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Der Turm habe die Höhe h, die Strecke vom Lotfußpunkt der Spitze des Turms zum linken Flussufer habe die Länge x. x ⇔ x = h ⋅ tan( 25°) ; h x + 40m II. tan( 90° − 28°) = ; h I. tan( 90° − 65° ) = I eingesetzt in II ergibt tan( 62°) = h ⋅ tan( 25°) + 40 m ; h Auflösen dieser Gleichung nach h ergibt h = Der Turm ist 28m hoch. 2010 Thomas Unkelbach 40m ≈ 28m . tan( 62°) − tan( 25°) Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Turm am See Von der Spitze eines Turms aus werden zwei Punkte an den beiden Ufern eines Sees, der 40m breit ist, unter den Tiefenwinkeln mit den Winkelweiten α = 65° und β = 28° angepeilt. Bestimme, welche Höhe der Turm hat. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Der Turm habe die Höhe h, die Strecke vom Lotfußpunkt der Spitze des Turms zum linken Flussufer habe die Länge x. x ⇔ x = h ⋅ tan( 25°) ; h x + 40m II. tan( 90° − 28°) = ; h I. tan( 90° − 65° ) = I eingesetzt in II ergibt tan( 62°) = h ⋅ tan( 25°) + 40 m ; h Auflösen dieser Gleichung nach h ergibt h = Der Turm ist 28m hoch. 2010 Thomas Unkelbach 40m ≈ 28m . tan( 62°) − tan( 25°) Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Vermessung am Fluss Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man an einem Ufer eine Strecke S1S2 von 400m Länge abgesteckt und am anderen Ufer einen Punkt P durch einen Vermessungsstab markiert. Man ermittelt 59° als Weite des Winkels S2 S1 P und 71° als Weite des Winkels PS2 S1 . Bestimme die Breite des Flusses. 2010 Thomas Unkelbach Bereich Geometrie Thema Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken II Schwierigkeit *** Zu berechnen ist der Abstand des Punktes P zur Strecke S1S2 , d.h. die Höhe h des Dreiecks auf der Seite S1S2 . Seien p und q die beiden Teilstücke der Seite S1S2 bis zum Lotfußpunkt der Höhe h. h h ⇔p= ; p tan( 59° ) h h II. tan( 71°) = ⇔ q = ; q tan( 71°) I. tan( 59° ) = Wegen c = p + q gilt 400 m = h h 1 1 + = h ⋅( + )⇔h= tan( 59°) tan( 71°) tan( 59°) tan( 71°) Die Breite des Flusse beträgt 423m . 2010 Thomas Unkelbach 400m 1 1 + tan( 59° ) tan( 71° ) ; h ≈ 423m .