Transcript
¨ Ubungsbeispiele
Algebra fu ¨ r LAK Sommersemester 2016
Michael Schlosser
32. Leiten Sie aus den Additionstheoremen f¨ ur Sinus und Cosinus, sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x, cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y, das folgende Additionstheorem f¨ ur den Tangens her: tan x ± tan y . tan(x ± y) = 1 ∓ tan x tan y 33. Leiten Sie (aus dem Resultat von Beispiel 32) die folgende Formel her: x sin x tan = . 2 1 + cos x Verwenden Sie diese Formel nun, um ohne Taschenrechner tan π8 zu berechnen. 34. Dr¨ ucken Sie
x x und cos 2 2 als Funktionen von cos x aus und verwenden Sie diese, um π π sin und cos 8 8 ¨ zu berechnen. Uberpr¨ ufen Sie außerdem den erhaltenen Ausdruck f¨ ur x sin 2 cos x2 sin
mit der obigen (aus Beispiel 33) f¨ ur tan x2 . 35. Man verschl¨ ussele jede Ziffer x der 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 des Dezimalsystems einzeln gem¨aß der Vorschrift y ≡ 7x − 2 (mod 10) und ordne diese (mod 10) wieder den Ziffern 0, 1, . . . , 9 zu. Da zum Beispiel x1 = 5 mit y1 = 3 (es gilt 3 ≡ 7 · 5 − 2 (mod 10)) und x2 = 8 mit y2 = 4 (es gilt 4 ≡ 7 · 8 − 2 (mod 10)) verschl¨ usselt wird, wird die Ziffernfolge 58 mit 34 kodiert. (a) Kodieren Sie Ihre Matrikelnummer! (b) Wie lautet die allgemeine Entschl¨ usselungsvorschrift (als lineare Kongruenz)? (c) Wie oft muss wiederholt die obige Kodierung auf eine beliebige Ziffernfolge angewandt werden, damit als Ergebnis wieder die urspr¨ ungliche Ziffernfolge herauskommt? (d) Angenommen, die Kodierung der 10 Ziffern w¨are von der Form y ≡ ax + b (mod 10). Bestimmen Sie alle ganzen a und b, deren zugeh¨orige Entschl¨ usselungsvorschrift gleich der Verschl¨ usselungsvorschrift ist.
2
36. Man ordne den 26 Buchstaben A, B, C, . . . , Z des gew¨ohnlichen Alphabets einzeln die Werte 0, 1, 2, . . . , 25 zu, verschl¨ ussele diese gem¨aß der Vorschrift y ≡ 7x − 2 (mod 26) und ordne sie wieder den Buchstaben A, B, C, . . . , Z zu. Da zum Beispiel x1 = H mit y1 = V (es gilt 21 ≡ 7 · 7 − 2 (mod 26)) und x2 = I mit y2 = C (es gilt 2 ≡ 7 · 8 − 2 (mod 26)) verschl¨ usselt wird, wird das Wort HI mit VC kodiert. Kodieren Sie das Wort ATTACKE und Ihren Vornamen. Wie lautet weiters die allgemeine Entschl¨ usselungsvorschrift (als lineare Kongruenz)? Entschl¨ usseln Sie damit die Wortfolge YIHOYFAL YXXACLA EYMVAL und Ihren Vornamen! 37. Geben Sie einen Isomorphismus zwischen (Q+ , ·, 1), den positiven rationalen Zahlen bez¨ uglich Multiplikation, und (Z[X], +, 0), den Polynomen u ¨ber Z in einer Ver¨anderlichen bez¨ uglich Addition, an. [Hinweis: Verwenden Sie die eindeutige Primfaktorzerlegung in Z.] 38. Bestimmen Sie alle selbstinversen Elemente der multiplikativen Gruppe SL2 (Z3 ) (der (2 × 2)-Matrizen u ¨ber Z3 mit Determinante 1). 39. Zeigen Sie, dass die Menge der Matrizen 1 0 1 0 2 0 2 0 , , , 0 1 0 2 0 1 0 2 mit Eintr¨agen aus Z3 eine Untergruppe der GL2 (Z3 ) (der multiplikativen Gruppe der invertierbaren (2 × 2)-Matrizen u ¨ber Z3 ) ist. 40. (a) Zeigen Sie, dass die Matrizen der Gestalt 1 a b 0 1 c , a, b, c ∈ Z3 0 0 1 eine nicht-abelsche multiplikative Gruppe G bildet, in der jedes Element außer I3 die Ordnung 3 besitzt. (b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von G. 41. Sei G = (G, ·, e) eine endliche Gruppe, und g ∈ G mit ord(g) = k. (Die Ordnung eines Gruppenelements g ist bekanntlich die kleinste positive nat¨ urliche Zahl k f¨ ur k die g = e gilt.) Zeigen Sie (a) g n = e genau dann, wenn k | n. (b) ord(g t ) =
k , ggT(k,t)
∀t ∈ N.
3
42. Sei R ein (assoziativer, aber nicht notwendigerweise kommutativer) Ring mit Einselement I, und A, B, C ∈ R (z.B. ist R = Matn (K), die Menge der n×n Matrizen u ¨ber einem K¨orper K, ein solcher Ring). Zeigen Sie, dass falls C und A + B − C invertierbar sind, I − C −1 A(A + B − C)−1 B = C −1 (C − B)(C − A − B)−1 (C − A) gilt. [Bemerkung: Das verallgemeinert die (einfach u ufbare) Gleichung ¨berpr¨ 1+
ab (c − a)(c − b) = , c(c − a − b) c(c − a − b)
die f¨ ur Elemente aus K gilt, sofern c 6= 0 und c − a − b 6= 0.] 43. Betrachten Sie f (X) = X 4 + X 3 + X + 1
und
g(X) = X 3 − X 2 − X + 1
als Polynome in Q[X]. (a) Bestimmen Sie den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von f und g. (b) Schreiben Sie diesen als Linearkombination von f und g. (c) Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von f und g. 44. Sei auf Q, der aus den acht verschiedenen Elementen bestehende Menge {±1, ±i, ±j, ±k}, auf folgende Weise eine Multiplikation · definiert: 1 · x = x · 1 = x, −1 · x = −x, x · x = −1, ∀x 6= ±1,
∀x ∈ Q
(−1) · (−1) = 1
i · j = k, j · i = −k Zeigen Sie, dass (Q, ·, 1) eine Gruppe bildet. 45. Gegeben sei die Menge der Matrizen α β H= | α, β ∈ C . −β α (Hier, wie auch sonst, bezeichnet α die konjugiert komplexe Zahl zu α ∈ C.) (a) Zeigen Sie, dass (H, +, ·) ein assoziativer Unterring von (Mat2 (C), +, ·) ist. (b) Wieso ist (H, +, ·) kein K¨orper? (Bemerkung: (H, +, ·) bildet allerdings einen Schiefk¨orper, den sogenannten “Quaternionenschiefk¨orper”.) 46. Verwenden Sie die Cardanosche Formel um alle (auch komplexen) L¨osungen von x3 + 9x + 6 = 0 zu bestimmen.
4
47. Zeigen Sie: Ist an − 1 (a, n ∈ N, n 6= 1) eine Primzahl, dann muss a = 2 und n eine Primzahl sein. Hinweis: Zeigen Sie die Gleichung xn − y n = (x − y)(xn−1 y + xn−2 y 2 + . . . + xy n−2 + y n−1 ). 48. Zeigen Sie: Ist an + 1 (a, n ∈ N \ {1}) eine Primzahl, dann muss a eine gerade Zahl und n eine Potenz von 2 sein. Hinweis: Zeigen Sie f¨ ur ungerade n die Gleichung xn + y n = (x + y)(xn−1 y − xn−2 y 2 + xn−3 y 3 − . . . + y n−1 ). n
49. Zeigen Sie, dass die Zahlen Fn = 22 + 1 paarweise relativ prim sind und schließen Sie daraus, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst mit Induktion, dass Fn − 2 = F0 F1 . . . Fn−1 gilt und schließen Sie weiter. √ 50. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von i + 2 u ¨ber √ √ (a) Q(i), (b) Q( 2), (c) Q(i 2), (d) Q. 51. Bestimmen Sie einen K¨orper mit 8 Elementen. 52. Bestimmen Sie einen K¨orper mit 9 Elementen.
