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¨ Ubungsbeispiele Michael Schlosser
Stochastik fu ¨ r LAK Sommersemester 2015
67. Ihnen wird folgendes Spiel angeboten: Sie d¨ urfen zwei W¨ urfel gleichzeitig werfen. Erscheinen verschiedene Augenzahlen, so bekommen Sie das Produkt der beiden Augenzahlen in Euro ausbezahlt. Erscheinen dagegen zwei gleiche Augenzahlen, dann m¨ ussen Sie die Faktorielle der um eins verminderten entsprechenden (einzelnen) Augenzahl in Euro zahlen. W¨ urden Sie dieses Spiel f¨ ur einen Einsatz von 5,50 e pro Spiel einen ganzen verregneten Sommertag lang spielen? 68. Ein bestimmtes Hotel bietet seinen G¨asten zum Fr¨ uhst¨ uck entweder Kaffee, Tee oder Kakao an. G¨aste, die zum ersten Mal in dieses Hotel absteigen (es muss sich, wie sich zeigen wird, tats¨achlich um einen “Abstieg” im wortw¨ortlichen Sinn handeln), entscheiden sich mit 60%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur Kaffee, mit 30%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur Tee und mit 10%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur Kakao. G¨aste, die sich f¨ ur Kaffee entschieden haben, kommen (wohl aus gutem Grund) mit 40%-iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr, mit 50%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie sich beim n¨achsten Mal f¨ ur Tee, mit 10%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur Kakao. Analog kommen G¨aste, die sich f¨ ur Tee entschieden haben, mit 70%iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr, mit 20%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie sich beim n¨achsten Mal f¨ ur Kaffee, mit 10%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur Kakao. G¨aste, die sich f¨ ur Kakao entschieden haben, kommen mit 30%iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr, mit 20%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie sich f¨ ur Kaffee, mit 10%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur Tee und mit 40%iger Wahrscheinlichkeit entscheiden sie sich wieder f¨ ur Kakao. (Der Kakao d¨ urfte also nicht ganz so schlecht sein.) G¨aste, die bereits zweimal gekommen sind, kommen mit 70%-iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr, ansonsten entscheiden sie sich sich, sofern sie nicht zweimal Kakao hatten, beim dritten Mal mit 20%iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur das, was sie noch nicht gehabt haben und mit 10%-iger Wahrscheinlichkeit f¨ ur das, was sie beim ersten Mal gehabt haben (vielleicht ist es inzwischen besser geworden?), w¨ahrend die, die bereits zweimal Kakao hatten, sich mit jeweils 10%iger Wahrscheinlichkeit enweder f¨ ur Kaffee, Tee oder Kakao entscheiden. (a) Unter der Bedingung, dass ein Gast beim 3. Mal sich f¨ ur Kakao entschieden hat, wie wahrscheinlich ist es, dass er insgesamt alle drei verschiedene Heissgetr¨anke zum Fr¨ uhst¨ uck genossen hat? (b) Unter der Bedingung, dass ein Gast bis zum 3. Mal alle drei verschiedene Heissgetr¨anke genossen hat, wie wahrscheinlich ist es, dass er beim 3. Mal sich f¨ ur Kakao entschieden hat? (c) Unter der Bedingung, dass ein Gast mind. zweimal sich f¨ ur dasselbe entschieden hat, wie wahrscheinlich ist es, dass er mind. einmal sich f¨ ur Tee entschieden hat? 69. Zehn Studierende des Unterrichtsfachs Mathematik geben nacheinander ihre Hausaufgaben ab, wobei der fleissigste Studierende beginnt. Dabei betr¨agt bei jeder weiteren Abgabe die Wahrscheinlichkeit, dass die L¨osungen (und L¨osungswege) der gerechneten Beispiele des gerade abgebenden Studierenden ident zu den (auch falschen) L¨osungen des fleissigsten Studierenden sind, 90%. Wie wahrscheinlich ist es, dass alle schlussendlich
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abgegebenen L¨osungen ident sind? Wann ist die erste nicht-idente Abgabe zu erwarten unter der Bedingung, dass es zu einer nicht-identen Abgabe kommt? 70. Eine bestimmte Republik bestehe aus drei Teilrepubliken. In der Teilrepublik A gibt es 5000 Gef¨angnisinsassen, davon sind 2% M¨order. In der Teilrepublik B gibt es 12000 Insassen, davon sind 1% M¨order. In der Teilrepublik C gibt es 30000 Insassen, davon sind 5% M¨order. ( a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Gef¨angnisinsasse der Republik kein M¨order ist? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gef¨angnisinsasse, der sich als M¨order herausstellt, Gef¨angnisinsasse der Teilrepublik B ist? 71. (Ein Dreifingerspiel; vgl. insbesondere mit dem Zwei-Finger-Morra, das im Abschnitt 16.9 des der VO zugrundeliegenden Buches beschrieben wird.) Zwei Spieler A und B heben jeweils gleichzeitig (und ihre Wahl unabh¨angig voneinander treffend) einen, zwei oder drei Finger hoch. Ein geeignetes Modell f¨ ur dieses Spiel ist dann der Grundraum Ω = {1, 2, 3}2 mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(i, j) = ai · bj ,
1 ≤ i, j ≤ 3,
mit 0 ≤ a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ≤ 1 und a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = 1. (Spieler A hebt i Finger mit Wahrscheinlichkeit ai , Spieler B hebt j Finger mit Wahrscheinlichkeit bj hoch, i, j = 1, 2, 3.) Nun soll je nach Ergebnis A von B einen bestimmten Eurobetrag erhalten, der sich aus der folgenden Formel ergibt: X(i, j) = 11i δi,j − 6. Hier bezeichnet δi,j das u ¨bliche Kroneckerdelta. Ein negativer Wert von X(i, j) (offenbar trifft das genau dann zu wenn i 6= j) ist als Verlust zu verstehen, dann erh¨alt B von A den entsprechenden Eurobetrag. Ist dieses Spiel fair ? Wenn nicht, wer ist im Vorteil? Welche Spielstrategie soll B am besten w¨ahlen (im Sinne der Maximierung seines zu erwartenden Gewinns bzw. der Minimierung seines zu erwartenden Verlusts), welche Spielstrategie soll dagegen A w¨ahlen? (Spieler A kann (nur) die konkreten Gr¨oßen der Wahrscheinlichkeiten a1 , a2 bestimmen, Spieler B kann (nur) die konkreten Gr¨oßen der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten b1 , b2 bestimmen (a3 = 1 − a1 − a2 und b3 = 1 − b1 − b2 sind ja festgelegt). Es geht um die optimale Wahl von a1 , a2 bzw. b1 , b2 .) 72. Spieler A und B spielen gegeneinander, wobei in jeder Runde die Wahrscheinlichkeit, dass A bzw. B gewinnt, p bzw. 1 − p betr¨agt. Angenommen A gewinnt, sobald er n + 1 Runden gewonnen hat, w¨ahrend B gewinnt, sobald er m + 1 Runden gewonnen hat. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass A (bzw. B) gewinnt? 73. Spieler A, B und C spielen zu dritt gegeneinander, wobei in jeder Runde die Wahrscheinlichkeit, dass A, B bzw. C gewinnt, p, q bzw. 1 − p − q betr¨agt. Angenommen, A gewinnt, sobald er n + 1 Runden gewonnen hat, w¨ahrend B gewinnt, sobald er m + 1 Runden gewonnen hat, w¨ahrend wiederum C gewinnt, sobald er l + 1 Runden gewonnen hat. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass A (bzw. B oder C) gewinnt? (Wie l¨asst sich das weiters auf s Spieler verallgemeinern?)
