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Beispiele Geometrie 3 1. Sei AB der Durchmesser eines Kreises und AP eine Sehne. Die Sehne AQ halbiert den Winkel ]BAP . Zeige, dass die Tangente in Q normal auf AP steht. 2. Zwei Kreise schneiden einander in P und Q. Eine Gerade durch den Punkt P schneidet die beiden Kreise erneut in A und B. Die Tangenten an die Kreise in den Punkten A und B schneiden einander im Punkt C. Zeige, dass AQBC auf einem Kreis liegen. 3. In einem Sehnenviereck ABCD seien die gegen¨ uberliegenden Seiten nicht parallel. Verl¨angert man diese Seiten, so schneiden sie einander in den Punkten P und Q. Zeige, dass die Winkelsymmetralen der Winkel ]AP D und ]DQC normal aufeinander stehen. 4. Sei M der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats ABCD und ADE ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck u ¨ber der Quadratseite nach außen mit dem rechten Winkel in E. Zeige, dass die Strecke EM den rechten Winkel in E halbiert. 5. In einem Trapez ABCD mit AB k CD sei AB = BC + CD. Welche Beziehung besteht zwischen den Innenwinkel in A und B 6. Zwei Kreise ber¨ uhren einander von innen in einem Punkt T . Eine Sehne AB des a¨ußeren Kreises ber¨ uhrt den inneren Kreis im Punkt P . Zeige, dass T P den Winkel ]AT B halbiert. 7. Gegeben ist ein konvexes Viereck ABCD. P , Q, R, S seien die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD und DA, und X, Y die Mittelpunkte der Diagonalen. Zeige, dass die Strecken P R, QS und XY durch einen gemeinsamen Punkte gehen. 8. Gegeben sei ein Quadrat ABCD ind ein Punkt P auf im Inneren der Seite AB. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck P QR, dessen Eckpunkte Q und R am Rand des Quadrats liegen. 9. Einem regelm¨ aßigen Sechseck ist ein Quadrat einzuschreiben, sodass alle Eckpunkte des Quadrats am Rand des Sechsecks liegen. ¨ den Seiten CD und AD eines Parallelogramms werden außerhalb des Parallelogramms 10. Uber gleichseitige Dreiecke CDP und ADQ errichtet. Zeige, dass BP Q ebenfalls ein gleichseitiges Dreieck ist. 11. Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel in C. P , Q und R seien die Mittelpunkte der u ¨ber den Seiten BC, CA und AB errichteten Quadrate. Zeige, dass die Strecken P Q und CR gleich lang sind und normal aufeinander stehen. 12. Zwei gegen den Uhrzeigersinn beschriftete, gleichseitige Dreiecke ABC und A0 B 0 C 0 liegen so, dass der Mittelpunkt von BC mit dem Mittelpunkt von B 0 C 0 u ¨bereinstimmt. Welchen Winkel schließen die Geraden AC 0 und A0 B ein?
