Beispiele Zur Ue Statistik 1 Bei Nagel

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Beispiele zur UE Statistik 1 bei Nagel 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 1. Ein W¨ urfel wird zweimal geworfen, der Stichprobenraum Ω ist Ihnen nicht neu. Versuchen Sie, den Stichprobenraum in einem 6x6 - Punkteraster darzustellen. Was sind die folgenden Ereignisse? (a) A: Die Augenzahl der beiden W¨ urfel ist ident. (b) B: Die Augenzahl der beiden W¨ urfel unterscheidet sich um 1. (c) C: Die Augenzahl der beiden W¨ urfel unterscheidet sich um 2. (d) Was sind die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur? 2. In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet sind. Zwei Kugeln werden ohne Zur¨ ucklegen gezogen. Versuchen Sie, den Stichprobenraum Ω in einem 6x6 - Punkteraster darzustellen. Was sind die folgenden Ereignisse? (a) A: Die Augenzahl der beiden W¨ urfel ist ident. (b) B: Die Augenzahl der beiden W¨ urfel unterscheidet sich um 1. (c) C: Die Augenzahl der beiden W¨ urfel unterscheidet sich um 2. (d) Was sind die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur? (e) Was h¨atte sich ge¨andert, wenn die Ziehung mit Zur¨ ucklegen der Kugeln durchgef¨ uhrt worden w¨are. 3. 12% aller M¨anner verfolgen regelm¨aßig die Formel 1 im Fernsehen, bei der Fußball-Champions-League sind es 30%. 6% verfolgen beide Sportereignisse. (a) Wieviel Prozent der M¨anner verfolgen zumindest eine der beiden Sportveranstaltungen? (b) Wieviel Prozent der M¨anner verfolgen keine der beiden Sportveranstaltungen? 4. In einer Ortschaft wurden alle arbeitenden und arbeitsuchenden Personen erhoben und eine Aufteilung bez¨ uglich Geschlecht ergab folgende Tabelle: Besch¨aftigt Arbeitslos Weiblich 553 45 M¨annlich 857 36 Die Ereignisse A, B, W, M seien f¨ ur zuf¨allig ausgew¨ahlte Personen wie folgt definiert: A B W M ... ... ... ... die die die die Person Person Person Person ist ist ist ist arbeitslos besch¨aftigt weiblich m¨annlich (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Eintreten der jeweiligen Ereignisse. (b) Berechnen Sie p(A|W ) und p(W |A) . Sind A und W unabh¨angig? (c) Geben Sie die Frauenarbeitslosigkeit als bedingte Wahrscheinlichkeit an. ¨ wurde in einem Journal-Panorama u (d) In O1 ¨ber die Region Braunau der folgende Satz ge¨außert: Die Arbeitslosenrate liegt bei 8% und ist bei Frauen und M¨ annern in etwa gleich, n¨ amlich ca. 4%. Was ist an dieser Aussage vom statistischen Standpunkt aus ein Schwachsinn? 1 5. In einem Unternehmen wird ein Produkt an drei unterschiedlich alten Maschinen gefertigt; die alte Maschine I wird nur mehr bei Produktionsengp¨assen eingesetzt, die zweit¨alteste Maschine (II) wird noch regelm¨aßig eingesetzt, die neueste Maschine (III) ist aber schneller und ¨ verl¨asslicher. Dies kommt in der folgenden Ubersicht zum Vorschein. Maschine Produktionsanteil (in %) Ausschussrate (in %) I 10 5 II 40 2 III 50 1 (a) Man bestimme die Ausschussrate der Produktion. (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde ein defektes St¨ uck an der alten Maschine produziert? 6. In einer Bev¨ olkerung betr¨agt die Wahrscheinlichkeit, ¨alter als 70 Jahre zu werden, 0.9 und die Wahrscheinlichkeit, ¨alter als 80 zu werden, 0.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die soeben 70 Jahre alt wurde, ihren 80. Geburtstag noch erlebt? 7. Eine Zeitschrift hat in Altersgruppen unterschiedliche Leseranteile, die in folgender Tabelle enthalten sind. Altersgruppe Bev¨ olkerungsanteil (in %) Leseranteil (in %) 15 - 29 25 8 30 - 49 35 7 50 + 40 4 (a) Wie hoch ist der Leseranteil in der Gesamtbev¨olkerung? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein Leser der Zeitschrift aus der j¨ ungsten Altersgruppe? 8. In einer Stadt werden Diebst¨ahle von Fahrzeugen untersucht. In Abh¨angigkeit vom Fahrzeugtyp sind Daten zu Diebstahl und Aufkl¨arungsrate in folgender Tabelle enthalten. Fahrzeug Auto (incl. LKW) Motorrad, Mofa Fahrrad Anteil an Diebst¨ahlen (in %) 25 10 65 Aufkl¨arungsrate (in %) 18 27 9 (a) Wie hoch ist die Aufkl¨arungsrate insgesamt bei Fahrzeugdiebst¨ahlen? (b) Eine Polizeistreife ertappt einen Dieb direkt beim Diebstahl eines Fahrzeugs. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wollte der Dieb ein Auto stehlen? 9. In einem Zeitungsartikel lautete ein Zwischentitel: Jede vierte Frau ist F¨ uhrungskraft. Welche zwei bedingten Wahrscheinlichkeiten wurden dabei wohl verwechselt? 10. Ein W¨ urfel wird zweimal geworfen, die geworfenen Augenzahlen sind von Interesse. Der Stichprobenraum Ω kann in einem 6x6 - Punkteraster dargestellt werden. Was sind die folgenden Ereignisse? (a) A: Mindestens ein W¨ urfel zeigt die Augenzahl 3. (b) B: Die Summe der beiden Augenzahlen ist 6. 6 5 4 3 2 1 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 1 2 3 4 5 6 p p p p p p 6 5 4 3 2 1 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 1 2 3 4 5 6 2 11. Mit den Angaben f¨ ur A und B aus dem vorigen Beispiel berechnen Sie: (a) p(A) (b) p(B) (c) p(A ∩ B) (d) Sind A und B unabh¨angig (kurze Begr¨ undung)? 12. In einem Wellness-Hotel erfolgen 70% der Buchungen von Frauen. W¨ahrend bei der Buchung von Frauen schon in 80% der F¨alle auch Wellness-Anwendungen vorbestellt werden, ist diese Vorbestellung bei Buchung durch M¨anner nur in 20% der F¨alle u ¨blich. (a) In wieviel Prozent der F¨alle werden Wellness-Angebote schon bei der Buchung vorbestellt? (b) Eine Buchung mit Vorbestellung von Wellness-Angeboten ist gerade erfolgt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Buchung von einer Frau erfolgt? 13. Von zwei Ereignissen A und B wissen wir: p(A) = 0.5 p(A ∪ B) = 0.7. (a) Wenn A und B disjunkt sind: p(B) = ? (b) Wenn A und B unabh¨angig sind: p(B) = ? (c) Berechnen Sie f¨ ur beide F¨alle: p(A|B) 14. Ein neues Rauchentw¨ ohnungsprogramm wird getestet. Bei leichten Rauchern ist die Erfolgsrate 24%, bei schweren Rauchern 16%. 70% der Raucher sind leichte Raucher. (a) Wie hoch ist die Erfolgsrate dieses neuen Rauchentw¨ohnungsprogramms? (b) Jemand hat das Programm erfolgreich absolviert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war er schwerer Raucher? 15. Was wird in R nach dem letzten Befehl der jeweiligen Befehlssequenz angezeigt? (a) a <- c(2, 4, -6) b <- a**2 b (b) a <- -10:10 sum(a) (c) a <- 0:5 aa <- a*a aa[5] 3 2 Diskrete Zufallsvariablen und ihre Momente 1. Gegeben Sei eine diskrete Verteilung auf den Punkten 1,2,3 und 4. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Punkte sind p1 = 0.1, p2 = 0.5, p3 = 0.15 und p4 =?. (a) Berechnen und skizzieren Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion! (b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz! 2. Zwei Zufallsvariablen X1 und X2 folgen derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung: 1 2 3 x F (x) 0.3 0.8 1 Es seien X1 und X2 unabh¨angig und X = X1 + X2 . (a) Berechnen und skizzieren Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion von X! (b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X! 3. Ein W¨ urfel wird zweimal geworfen, die Augenzahlen der beiden W¨ urfe sind X1 und X2 . Man bildet M = max(X1 , X2 ). (a) Welche Werte kann M annehmen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur, dass diese Werte angenommen werden und bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von M ! (b) Berechnen Sie den Erwartungswert von M ! 4. In England und Amerika wurde auf Jahrm¨arkten das folgende Gl¨ ucksspiel (Chuck a luck) gerne gespielt: Ein Spieler w¨ahlt eine Zahl zwischen 1 und 6 und wirft dann drei W¨ urfel. Zeigen alle drei W¨ urfel die angesagte Zahl, erh¨alt er drei Pfund (bzw. Dollar); zeigen zwei W¨ urfel diese Zahl, erh¨alt er zwei Pfund (Dollar); zeigt ein W¨ urfel diese Zahl, erh¨alt er ein Pfund (Dollar). Nur wenn kein W¨ urfel diese Zahl anzeigt, muss der Spieler ein Pfund zahlen. (a) Der Gewinn des Spielers ist eine Zufallsvariable G. Welche Werte kann G annehmen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur, dass diese Werte angenommen werden und bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von G! (b) Berechnen Sie den erwarteten Gewinn des Spielers! 5. Eine M¨ unze wird dreimal geworfen. X ist die Zufallsvariable daf¨ ur, wie oft Kopf gefallen ist. Beschreiben Sie X durch die Verteilungsfunktion und passende Kennzahlen! 6. In einem neu er¨ offneten Einkaufszentrum wird als Attraktion folgendes Gl¨ ucksspiel veranstaltet: Zu jeder vollen Stunde (t¨aglich von 11 bis 18 Uhr, also 8-mal) wird am zentralen Platz des Einkaufszentrums eine Person zuf¨allig ausgew¨ahlt, die ein Gl¨ ucksrad (mit den Zahlen 1 bis 10) drehen kann. Jede Zahl gewinnt einen Sachpreis, die 10 gewinnt zus¨atzlich 500 Euro. (a) Sei X die Anzahl Spieler, die an einem Tag den Geldpreis gewinnen. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X! (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mindestens 2 Spieler einen Geldpreis gewinnen? (c) Sei Y die Summe Geldes, die an einem Tag von den Teilnehmern an diesem Spiel gewonnen wird. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Y ! 7. Eine W¨ urfel wird solange geworfen, bis eine Augenzahl kleiner 3 erscheint. Es sei X die Anzahl der Fehlversuche, die bis zum Wurf einer Augenzahl kleiner 3 notwendig waren. (a) Welche Werte kann X annehmen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass mindestens 2 Fehlversuche auftreten! (b) Berechnen Sie E(X)! 4 8. Eine M¨ unze wird solange geworfen, bis die Seite Kopf erscheint. Es sei X die Anzahl der Versuche, die notwendig sind, bis Kopf erscheint. (a) Welche Werte kann X annehmen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten daf¨ ur, dass diese Werte angenommen werden! (b) Berechnen Sie E(X)! 9. F¨ ur eine binomialverteilte Zufallsvariable X gilt: E(X) = 5 V ar(X) = 4. Welche Werte haben die Parameter n und p der Binomialverteilung? 10. F¨ ur eine Zufallsvariable X gelte: E(X) = 10 V ar(X) = 9. (a) F¨ ur welchen Wert von a in Y1 = X − a gilt: E(Y1 ) = 0? (b) F¨ ur welchen Wert von b in Y2 = X/b gilt: V ar(Y2 ) = 1? (c) F¨ ur welche Werte von a und b in Y = E(Y ) = 0 und V ar(Y ) = 1? X−a b gilt: 11. In einer Bev¨ olkerungsgruppe sind 15% der Frauen Raucherinnen; aus dieser Bev¨olkerungsgruppe wird eine Zufallsstichprobe von 240 Frauen gezogen. X bezeichne die Anzahl von Raucherinnen in der Stichprobe. (a) Wie ist X verteilt (Name der Verteilung, Werte f¨ ur die Parameter)? (b) Erwartungswert und Varianz von X. (c) Pro Raucherin wird eine Zusatzinterview im Zeitausmaß von 20 Minuten gef¨ uhrt. Das gesamte Zeitausmaß (in Minuten) f¨ ur Zusatzinterviews ist eine Zufallsvariable T . Berechnen Sie E(T ) und V ar(T ). 12. Ein W¨ urfel wird solange geworfen, bis eine Augenzahl >4 aufscheint. X bezeichne die Anzahl von Versuchen bis (einschließlich) zu einer Augenzahl >4. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 Versuche notwendig sind? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Versuche notwendig sind? (c) Erwartungswert von X? 13. Eine Zufallsvariable X nimmt drei Werte mit folgenden Wahrscheinlichkeiten an: x 0 1 4 p(X = x) 0.2 0.6 0.2 (a) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X! (b) Welcher der drei Plots in der Abbildung 1 entspricht der Verteilungsfunktion von X? ¨ 14. In Osterreich sind 7% der Bev¨ olkerung in der Altersgruppe zwischen 30 und 65 Jahren tats¨achlich arm (d.h. nicht nur gef¨ahrdet). X ist die Anzahl der Armen in einer Stichprobe von 22 Personen aus dieser Altersgruppe. (a) Wie ist X verteilt (Name der Verteilung, Werte f¨ ur die Parameter)? (b) Erwartungswert und Varianz von X. (c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 2 Arme sind? 15. Was bewirken jeweils die folgenden R - Befehlssequenzen? 5 ● 0.8 0.8 ● 0.6 ● 0.6 0.6 0.8 ● 1.0 Plot 3 1.0 Plot 2 1.0 Plot 1 ● ● 0.4 0.2 0.4 0.2 0.2 0.4 ● ● −1 0 1 2 3 4 5 0.0 0.0 0.0 ● −1 0 1 2 3 4 5 Abbildung 1: Verteilungsfunktionen (a) x <- 0:3 fx <- c( 1, 3, 3, 1)/8 Fx <- cumsum(fx) cbind( x, fx, Fx) EX <- sum(x*fx) EX (b) x <- seq(10, 40, 10) fx <- c( 0.4, 0.3, 0.2, 0.1) Fx <- cumsum(fx) cbind( x, fx, Fx) EX <- sum(x*fx) VarX <- sum(x**2*fx) - EX**2 (c) # 10 x wuerfeln n <- 10 p <- 1/6 k <- 0:n # anzahl 6er pk <- choose(n, k) * (p**k) * ((1-p)**(n-k)) (d) # 30 x muenzwurf n <- 30 p <- 1/2 k <- 0:n # anzahl kopf pk <- dbinom( k, n, p) barplot(pk) 6 −1 0 1 2 3 4 5 8 4 6 8 2 4 6 8 ● 0 2 4 6 8 ● 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ● 0.4 ● 0 0.4 0.3 0.1 0.0 2 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 ● ● 0 1.0 6 0.8 4 1.0 2 ● 0.2 0.3 0.2 0.1 0.0 ● 0 0.0 ● 1.0 0.0 0.1 0.2 0.3 ● 0.4 Asymptotik und stetige Zufallsvariablen 0.4 3 ● 0 2 4 6 8 ● 0 2 4 6 8 Abbildung 2: Dichten und Verteilungen 1. X sei gleichverteilt auf dem Intervall [0, 7]. Berechnen Sie: (a) p(X < −1) (b) p(X > 6) (c) p(X ≥ 5) (d) p(X ≤ 3) 2. Eine M¨ unze wird 100-mal geworfen. X ist die Zufallsvariable daf¨ ur, wie oft Kopf gefallen ist. (a) Welcher Verteilung folgt X? Berechnen Sie E(X) und V ar(X). (b) Was kann nach der Tschebyscheff – Ungleichung f¨ ur den folgenden Ausdruck abgeleitet werden? p(|X − 50| > 10) (c) Welcher Wert gilt exakt f¨ ur den obigen Ausdruck? (d) Was kann nach der Tschebyscheff – Ungleichung zu folgender Frage gesagt werden? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 35 aber h¨ochstens 65 K¨opfe geworfen? 3. In Abbildung 2 sind oben Dichtefunktionen und unten Verteilungsfunktionen abgebildet, nicht notwendig direkt untereinander. Ordnen Sie Dichte- und Verteilungsfunktionen richtig zu. 4. In Abbildung 3 sind die Dichtefunktionen von Normalverteilungen abgebildet. Ihre Varianzen sind entweder 1 oder 4. Geben Sie jeweils die Parameter µ und σ f¨ ur die drei Plots an! 5. In Abbildung 4 sind die Dichtefunktionen von Exponentialverteilungen abgebildet. Ihre Parameter sind 1, 1/2 und 1/3. Geben Sie jeweils die Parameter f¨ ur die drei Plots an! 7 −4 −2 0 2 0.3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Dichte 3 0.4 Dichte 2 0.4 Dichte 1 4 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 Abbildung 3: Normalverteilungen 0 1 2 3 4 5 2.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Dichte 3 3.0 Dichte 2 3.0 Dichte 1 0 1 2 3 4 5 0 Abbildung 4: Exponentialverteilungen 8 1 2 3 4 5 6. Die Dichtefunktion f   0 ax f (x) =  0 einer Zufallsvariablen X ist durch : x<0 : 0≤x≤4 : x>4 gegeben. (a) Bestimmen Sie a so, dass f tats¨achlich eine Dichtefunktion ist! (b) p(X ≥ 3) (c) p(X > 6) (d) p(1 ≤ X < 3) (e) Berechnen Sie den E(X)! 0 5 10 15 0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Plot 3 0.25 Plot 2 0.25 Plot 1 0 5 10 15 0 5 10 15 Abbildung 5: Chi-Quadrat-Verteilungen 7. Abbildung 5 zeigt die Dichtefunktionen f¨ ur χ2 -Verteilungen mit 3, 5 und 7 Freiheitsgraden. (a) Welcher Plot geh¨ ort zu welcher χ2 -Verteilung? (b) Wie groß sind die jeweiligen Erwartungswerte und Varianzen? (c) Bei wieviel Freiheitsgraden ist die Varianz kleiner als der Erwartungswert? 8. Von einer Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariablen X ist bekannt, dass E(X 2 ) = 80. Bestimmen Sie die Freiheitsgrade von X! 9. Abbildung 6 zeigt die Dichtefunktionen f¨ ur t-Verteilungen mit 3, 5 und 10 Freiheitsgraden. (a) Welcher Plot geh¨ ort zu welcher t-Verteilung? (b) Wie groß sind die jeweiligen Erwartungswerte und Varianzen? (c) Bei wieviel Freiheitsgraden ist die Varianz <1? 10. Der Intelligenzquotient IQ in der Bev¨olkerung ist normalverteilt mit µ = 100 und σ = 10, also IQ ∼ N (100, 100). (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der IQ einer zuf¨allig ausgew¨ahlten Person u ¨ber 110? (b) Wie ist IQs = (IQ − 100)/10 verteilt? (c) Wie ist die Summe von zwei zuf¨allig ausgew¨ahlten Personen verteilt? (d) Wie ist der mittlere IQ von 4 zuf¨allig ausgew¨ahlten Personen verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt dieser mittlere IQ u ¨ber 110? 9 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Plot 3 0.4 Plot 2 0.4 Plot 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3 Abbildung 6: t-Verteilungen (e) Wie ist der mittlere IQ von 25 zuf¨allig ausgew¨ahlten Personen verteilt? Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt dieser mittlere IQ u ¨ber 110? 11. (4 Punkte) Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zuvallsvariablen X ist gegeben:  0 f¨ ur x < 1  a(x − 1) f¨ ur 1 ≤ x ≤ 4 F (x) =  1 f¨ ur x > 4 (a) Bestimmen Sie a (also so, dass F tats¨achlich eine Verteilungsfunktion ist)! (b) Welchem Plot in der Grafik 7entspricht die gegebene Verteilungsfunktion? (c) p(X ≤ 3) = ? (d) Wie lautet die Dichtefunktion f von X? 1 2 3 4 5 6 5 6 0.6 0.2 ● ● 0 1 0.0 0 ● 0.4 0.6 0.2 ● 0.0 ● ● 0.8 ● 0.4 0.6 0.4 0.2 0.0 ● 0.8 ● 0.8 ● Plot 3 1.0 Plot 2 1.0 1.0 Plot 1 2 3 4 5 6 ● 0 ● 1 2 3 4 Abbildung 7: Verteilungsfunktionen 12. Die Zufallsvariable X folgt einer t-Verteilung, ihre Varianz ist mit V ar(X) = 1.4 gegeben. Die Zufallsvariable Y steht mit X in Verbindung: Y = 2 − 3 · X (a) Wieviel Freiheitsgrade hat X? 10 (b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von Y ? 13. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zuvallsvariablen X ist gegeben:  0 f¨ ur x < 2  a(x − 2)2 f¨ ur 2 ≤ x ≤ 5 F (x) =  1 f¨ ur x > 5 (a) Bestimmen Sie a (also so, dass F tats¨achlich eine Verteilungsfunktion ist)! (b) p(X ≤ 3) = ? (c) Wie lautet die Dichtefunktion f von X? (d) Berechnen Sie E(X). 14. Was bewirken jeweils die folgenden R - Befehlssequenzen? (a) Standardnormalverteilung N(0,1) x <- seq(0, 3, 0.1) Fx <- pnorm(x) cbind( x, Fx) (b) Normalverteilung N(mu, sigma**2) mu <- 10 sigma <- 3 x <- seq(0, 3, 0.1) Fx <- pnorm(x, mean=mu, sd=sigma) cbind( x, Fx) (c) Normalverteilung N(mu, sigma**2) mu <- 100 sigma <- 10 x <- seq(0, 1, 0.1) Qx <- qnorm(x, mean=mu, sd=sigma) cbind( x, Qx) (d) Exponentialverteilungen x 0 sind. Weiters nehmen wir an, dass Xt nicht zuf¨allig sind, dass Xt 6= 0 f¨ ur ein t = 1, . . . , n und dass Xt 6= Xs f¨ ur mindestens ein Paar t 6= s gilt. 1. Betrachten Sie das lineare Regressionsmodell Yt = a + Ut , t = 1, . . . , n. (a) Bestimmen Sie den Kleinst-Quadrate Sch¨atzer f¨ ur a. (b) Ist der Kleinst-Quadrate Sch¨atzer unverzerrt? 2. Betrachten Sie das homogene lineare Regressionsmodell Yt = bXt + Ut , t = 1, . . . , n. (a) Bestimmen Sie den Kleinst-Quadrate Sch¨atzer f¨ ur b. (b) Ist der Kleinst-Quadrate Sch¨atzer unverzerrt? 3. Von einem einfachen Regressionsmodell kennen wir: 2 ? -1 erkl¨arende Var x abh¨angige Var y Residuen e -3 ? v 0 ? 1 w ? 1 Man bestimme v und w! 4. In einem Regressionsmodell Yt = a + b · t + c · t3 + ut f¨ ur t = 1, 2, . . . , 16 seien Ui iid mit Ui ∼ N (0, 9). Unter H0 : b = c = 0 ist die Teststatistik des F-Tests ∼ F (r, s). Man bestimme r und s! 5. Betrachten Sie das lineare Regressionsmodell Yt = a + bXt + Ut Gegeben seien die folgenden Daten: x: y: 1 2 2 1 3 4 4 3 5 6 t = 1, . . . , 6. 6 5 (a) Erstellen Sie ein Streudiagramm (x-y-Diagramm)! (b) Berechnen Sie die Kleinst-Quadrate-Sch¨atzer a ˆ und ˆb! (c) Veranschaulichen Sie die Einpassung der Regressionsgeraden im Streudiagramm! (d) Ermitteln und interpretieren Sie die Stichprobenkorrelation rx,y . 6. Wir nehmen das Beispiel von vorhin und ver¨andern Xt und Yt leicht. (a) Welchen Effekt f¨ ur a ˆ und ˆb h¨atte eine Addition von 10 bei Yt ? (b) Welchen Effekt h¨atte diese Addition f¨ ur rx,y ? ˆ (c) Welchen Effekt f¨ ur a ˆ und b h¨atte eine Multiplikation mit 5 bei Yt ? (d) Welchen Effekt h¨atte diese Multiplikation f¨ ur rx,y ? (e) Welchen Effekt f¨ ur a ˆ und ˆb h¨atte eine Addition von 2 bei Xt . (f) Welchen Effekt h¨atte diese Addition f¨ ur rx,y ? (g) Welchen Effekt f¨ ur a ˆ und ˆb h¨atte eine Multiplikation mit 4 bei Xt ? (h) Welchen Effekt h¨atte diese Multiplikation f¨ ur rx,y ? 17 7. Was bewirken jeweils die folgenden R - Befehlssequenzen? (a) Ausgangsbeispiel x y <- 1:6 <- c(2, 1, 4, 3, 6, 5) yx <- lm(y~x) summary(yx) plot(x,y) abline(yx) (b) Transformationen y + 10 y10 <- y + 10 y10x <- lm(y10~x) summary(y10x) (c) Transformationen y * 5 y5 <- y * 5 y5x <- lm(y5~x) summary(y5x) (d) Transformationen x + 2 x2 <- x + 2 yx2 <- lm(y~x2) summary(yx2) (e) Transformationen x * 4 x4 <- x * 4 yx4 <- lm(y~x4) summary(yx4) 18