Beispielklausur Physik I

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Name: Vorname: Stud. Nr: Beispielklausur Physik I Bachelorstudieng¨ ange Physik, Mathematik, interdisziplin¨ are Naturwissenschaften Prof. Dr. G. Dissertori 2016 Ihr L¨osungsweg zu den Aufgaben 1-4 muss analytisch nachvollziehbar sein, Zahlenwerte sind erst im letzten Schritt einzusetzen. Aufgaben 5-12 sind Multiple-Choice-Aufgaben mit genau einer richtigen L¨ osung. Markieren Sie genau eine L¨osung per Aufgabe in der Tabelle auf diesem Titelblatt. Kein Punkteabzug im Falle einer falschen Antwort. Konstanten: Gravitationskonstante: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: Magnetische Feldkonstante: Elektrische Feldkonstante: Elementarladung: Spezifische Ladung eines Elektrons: Atommassen-Einheit: Normtemperatur: (0 ◦ C) Avogadro-Konstante: Boltzmann-Konstante: Universelle Gaskonstante: Stefan-Boltzmann-Konstante: Konstante des Wienschen Verschiebungsgesetzes: Planck’sche Konstante ¨ Aquatorradius der Erde Bahnradius der Erde um die Sonne Bahnradius des Mars um die Sonne Masse der Sonne Masse der Erde Gravitationsbeschleunigung Erde G c µ0 0 e e/me u T NA k R σ b 6.673 2.998 4π 8.854 1.602 1.7588 1.661 273.15 6.022 1.381 8.315 5.671 2.898 · 10−11 · 108 · 10−7 · 10−12 · 10−19 · 1011 · 10−27 h RA RE RM MS ME g 6.626 6.378 1.506 2.280 1.9884 5.9722 10 · 10−34 · 106 · 1011 · 1011 · 1030 · 1024 · 1023 · 10−23 · 10−8 · 10−3 N m2 kg−2 m s−1 V s A−1 m−1 A s V−1 m−1 C C kg−1 kg = ˆ 931.49MeV K mol−1 J K−1 J mol−1 K−1 W m−2 K−4 Km Js m m m kg kg m s−2 1 Carnotprozess Ein Carnotprozess habe zwei W¨ armeb¨ ader mit Temperaturen von 27◦ C und 500◦ C. Das Arbeitsmedium sei 1 kg eines idealen Gases mit f¨ unf Freiheitsgraden und einer molaren Masse von 28.9 g/mol. Der niedrigste Druck im System betrage 25 kPa und die abgef¨ uhrte W¨arme sei 250 kJ. a) Welche Arten von Zustands¨ anderungen treten in einem Carnotprozess auf? Zeichnen Sie diese in ein p − V -Diagramm. b) Berechnen Sie den Druck an den vier Eckpunkten des Prozesses sowie das Volumen an Punkt 1. Ben¨ utzen Sie die Nummerierung wie in der Tabelle 1. Punkt 1 2 3 4 Druck 25 kPa Temperatur 500◦ C 500◦ C 27◦ C 27◦ C Volumen Tabelle 1: Carnotprozess Hinweis: Ben¨ utzen Sie f¨ ur die folgenden Teilaufgaben behelfsweise die gerundeten Werte p1 = 12500 kPa und p2 = 700 kPa, falls Sie die vorherige Teilaufgabe nicht gel¨ ost haben. c) Bestimmen Sie die zugef¨ uhrte W¨ arme und die geleistete Arbeit des Kreisprozesses. d) Berechnen Sie den thermischen Wirkungsgrad. 2 Killersatellit Ein milit¨arischer Aufkl¨ arungssatellit mit Masse m1 = 1800 kg kreist mit einer Geschwindigkeit v1 = 3080 m s−1 um die Erde. Ein Killersatellit mit der Masse m2 = 600 kg und Geschwindigkeit v2 = 3150 m s−1 holt ihn ein. Beide Satelliten bewegen sich auf der gleichen Bahn. Der Killersatellit rammt den Aufkl¨ arungssatelliten. Betrachten Sie den Rammstoss als vollkommen inelastischen Stoss. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v, die der Klumpen aus beiden Satelliten nach dem Stoss hat. Nehmen Sie dabei an, dass keine Masse verloren geht. b) Berechnen Sie die Energiedifferenz ∆E, die nach dem Stoss nicht mehr als kinetische Energie zur Verf¨ ugung steht. c) Welche H¨ ohe u ache hat der Klumpen? Nehmen Sie an, dass der Klum¨ber der Erdoberfl¨ pen nach dem Stoss einen stabilen Orbit mit konstanter Geschwindigkeit v, die Sie in a) berechnet haben, einnimmt. 3 Pirouetten Es ist Winter geworden. Jenny, Jimmy und Jonny gehen Schlittschuh laufen. Jenny bewundert die Pirouetten, die Jimmy und Jonny drehen. Jimmy streckt die Arme vom K¨orper weg, w¨ahrend Jonny die Arme anzieht und sich dadurch schneller zu drehen scheint. Als angehende Physikerin u ¨berlegt sich Jenny den physikalischen Hintergrund (siehe Abbildung 1): Sie approximiert einen Menschen durch einen idealen Zylinder von 0.5 m Durchmesser und 100 kg Masse. Durch eine masselose Verbindung sind zwei Massepunkte von jeweils m = 2 kg seitlich an der Zylinderoberfl¨ ache angebracht, die die ausstreckten Arme approximieren und deren Abstand von der Zylinderoberfl¨ ache d = 1 m betr¨ agt. Das Gesamtsystem rotiert mit einer Periode von 3 s frei um seine Symmetrieachse. Durch einen internen Mechanismus werden die beiden Abst¨ande zu d = 0 m reduziert (Abstand zur Oberfl¨ache des Zylinders). Wie gross sind die urspr¨ ungliche und die endg¨ ultige Winkelgeschwindigkeit? d = 1m d = 1m m = 2 kg m = 2 kg M = 100 kg 0.5 m Abbildung 1: Eiskunstl¨aufer. 4 Punkt auf Kegel ¨ Ein massiver Kegel mit dem halben Offnungswinkel θ zeigt mit der Spitze nach oben (siehe Abbildung 2). An dieser Spitze ist ein Massepunkt der Masse m mit einem Seil befestigt. Die Aufgaben a)-c) beschr¨ anken sich auf den Fall, dass der Massepunkt auf der Manteloberfl¨ache am gestreckten Seil aufliegt. Er kann sich also nur auf einem Kreis mit dem Radius r0 um die Kegelachse bewegen. Sei ferner φ der Winkel, den der Vektor ~er in der Zeit t u ¨berstreicht. Es wirken Reibungskr¨ afte an der Oberfl¨ ache des Kegels, die proportional zur Geschwindigkeit sind: F~R = −b~v . Urspr¨ unglich ist der Punkt in Ruhe, wird dann aber durch eine konstante Kraft F~B beschleunigt. Diese Kraft ist tangential zur Bahn des Massenpunktes F~B = FB ~eT , wobei ~eT der zur Kreisbahn tangentiale Einheitsvektor ist. Es gibt ferner die Einheitsvektoren ~er , der senkrecht zur Kegelachse und zur Bahn ist, und ~ez , der parallel zur Kegelachse ist. Rechnen Sie mit einer Gravitationsbeschleunigung g = 10 m s−1 . θ r0 m φ m r0 Abbildung 2: Punkt auf Kegel (Seitenansicht und Draufsicht). a) Zeichnen Sie alle auf den Massenpunkt J Nwirkenden Kr¨afte in Abbildung 2 (links und rechts) ein. Ben¨ utzen Sie die Symbole und f¨ ur Kr¨afte aus der Ebene hinaus bzw. in sie hinein. Schreiben Sie die zu den Einheitsvektoren ~er , ~eT und ~ez parallelen Bewegungsgleichungen des Massenpunktes auf, ohne konkrete Ausdr¨ ucke f¨ ur die Kr¨afte einzusetzen. Definieren und verwenden Sie also ein Formelzeichen f¨ ur jede Kraft. b) Setzen Sie nun konkrete Ausdr¨ ucke f¨ ur die Kr¨afte ein und zeigen Sie, dass f¨ ur den Betrag der Zugkraft des Seiles FZ und den Betrag der Normalkraft FN folgende Zusammenh¨ange gelten, wenn sich der Massenpunkt auf dem Kegel befindet: FN = −mr0 φ˙ 2 cos θ + mg sin θ FZ = mr0 φ˙ 2 sin θ + mg cos θ. c) Zeigen Sie nun mit Hilfe der Bewegungsgleichung in tangentialer Richtung, dass    F b ˙ φ(t) = 1 − exp − t br0 m ist. Hinweis: Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung φ¨ + Aφ˙ = B ist ˙ = C · exp(−At) + B , wobei A, B und C Konstanten sind. φ(t) A d) Welche Bedingung herrscht im Moment, in dem der Punkt von der Kegeloberfl¨ache abhebt? Es ist keine Rechnung notwendig, ein Satz gen¨ ugt. 5 Kinematik Ein K¨orper der Masse m1 = 2 kg bewegt sich auf einer horizontalen Ebene mit einer Geschwindigkeit von 10 ms in Richtung A. Ein zweiter K¨orper mit einer Masse m2 = 3 kg bewegt sich in derselben Ebene mit einer Geschwindigkeit von 4 ms in Richtung B (siehe Abbildung 3). Die K¨orper stossen zentral und vollkommen elastisch zusammen. Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt der K¨ orper nach dem Stoss? A m2 = 3 kg m1 = 2 kg B Abbildung 3: Stoss in der Ebene. (A) 1.6 m/s in Richtung A (B) 6.4 m/s in Richtung A (C) 6.4 m/s in Richtung B (D) 0 m/s 6 Starre Ko ¨rper Ein Yo-Yo besteht aus zwei koaxialen Scheiben, die durch eine dritte Scheibe von kleinerem Durchmesser verbunden sind. Man wickele nun einen Faden um die innere Scheibe und beginne ¨ dann, langsam daran zu ziehen. Bei welcher Zugrichtung bzw. Anderung der Zugrichtung der Kraft ¨andert sich die Rollrichtung des Yo-Yo (siehe Abbildung 4)? B C A Abbildung 4: Yo-Yo. (A) Die Rollrichtung ¨ andert sich nicht, egal in welche Richtung man am Faden zieht. (B) Zwischen B und C. (C) In Richtung B. (D) Zwischen A und B. 7 Kugel auf Treppe Eine Kugel wird oben auf einer Treppe mit einer Geschwindigkeit von 1 ms weggestossen. Jede Treppenstufe ist 7 cm breit und 7 cm hoch; die Stufen sind mit 1, 2, 3 und 4 nummeriert. Auf welche Stufe f¨ allt die Kugel zuerst? Rechnen Sie mit einer Gravitationsbeschleunigung g = −1 10 m s . Hinweis: Vernachl¨ assigen Sie die Ausdehnung der Kugel. 1 ms 1 2 3 4 Abbildung 5: Kugel auf Treppe. (A) Stufe 1 (B) Stufe 4 (C) Stufe 2 (D) Stufe 3 8 Arbeit Ein Objekt mit einer Masse m = 5 kg bewege sich mit einer betragsweise konstanten Geschwindigkeit v = 8 m s−1 auf einer Kreisbahn mit Radius r = 2 m. Es wirke lediglich die Zentripe2 talkraft in Richtung des Kreismittelpunktes mit einem Betrag FZP = m vr . Wieviel Arbeit wird pro Umdrehung verrichtet? (A) 160 J (B) 320 J (C) 0 J (D) 2011 J 9 Dynamik des Massenpunktes m = 200 g M = 5 kg d = 1m h = 40 cm Abbildung 6: Hamster. Ein M¨adchen setzt ihren Hamster mit Masse m = 200 g auf einen Ball mit Durchmesser d = 1 m und Masse M = 5 kg. Sie hebt den Ball mit dem Hamster um h = 40 cm u ¨ber den Fussboden (siehe Abbildung 6) und l¨ asst beide los. Welche H¨ohe u ¨ ber dem Fussboden wird der Hamster erreichen, nachdem der Ball mit ihm vom Fussboden zur¨ uckgesprungen ist? Nehmen Sie an, dass m  M ist und alle St¨ osse elastisch sind. Hinweis: Nehmen Sie ferner an, dass sich zwischen dem Hamster und dem Ball ein kleiner Abstand befindet, sodass der Ball erst vom Fussboden zur¨ uckprallt und erst danach der Hamster mit dem Ball kollidiert. (A) 360 cm (B) 140 cm (C) 260 cm (D) 460 cm 10 Bewegung im Potential U (x) 4 1 2 3 x Abbildung 7: Bewegung im Potential. Ein Massenpunkt befinde sich mit Geschwindigkeit v = 0 m s−1 an Position 1 in einem Potential U (x) wie in Abbildung 7 gezeigt. Welche Positionen wird er bei der Bewegung im Potential erreichen? (A) 1, 2, 3, 4 (B) 1, 3, 4 (C) 1, 2, 3 (D) 1, 2 11 Mechanik Auf einem Spielplatz schaukeln nebeneinander ein Erwachsener und ein Kind auf zwei identischen (voneinander unabh¨ angigen) H¨ angeschaukeln. Der Erwachsene wiegt vier mal so viel wie das Kind. Welche der folgenden Feststellungen ist richtig? (A) Das Kind schaukelt mit der doppelten Frequenz des Erwachsenen. (B) Der Erwachsene schaukelt mit der doppelten Frequenz des Kindes. (C) Beide schaukeln mit etwa der gleichen Frequenz. (D) Das Kind schaukelt mit der vierfachen Frequenz des Erwachsenen. 12 Gravitation Ein Pendel (bestehend aus einem Faden, an dem eine Masse h¨angt) schwingt bei kleiner Auslenkung mit einer Periode T . Wenn dieses System auf den Mond gebracht w¨ urde, welche Periode h¨atte das Pendel dann? Hinweis: Die Gravitationsbeschleunigung auf dem Mond ist sechs Mal schw¨ acher als die auf der Erde. Hinweis 2: Die Periode T h¨ angt von der L¨ ange des Fadens ` und von der Gravitationsbeschleuα β nigung g wie folgt ab: T = c` g , wobei c eine dimensionslose Konstante ist. Die Werte f¨ ur α und β k¨ onnen aus einer Dimenensions¨ uberlegung bestimmt werden. √ (A) T 6 (B) T /3 (C) T /6 √ (D) T / 6 1 Carnotprozess a) Die vier Zustands¨ anderungen sind isotherme W¨armezufuhr, adiabate Entspannung, isotherme W¨ armeabfuhr und adiabate Verdichtung. Das p − V -Diagramm ist in Abbildung 1 dargestellt. Abbildung 1: Carnotprozess p − V -Diagramm. Bezeichnung der Prozessarten ist hier nicht unbedingt notwendig. b) Am Punkt 3 sind Druck und Temperatur bekannt. Mittels der molaren Masse kann die absolute Masse in die Stoffmenge n = 1 kg kg = 34.6 mol umgerechnet werden. Bei einer 0.0289 mol isothermen Zustands¨ anderung ist ∆U = 0 und daher Q = −W . Ferner ist die verrichtete Arbeit   p4 W34 = −Q34 = p3 V3 ln (1) p3 und damit   −Q34 p4 = p3 · exp p3 V3   250000 J = 25 kPa · exp 25000 Pa · 3.45 m3 = 454 kPa. (2) (3) (4) Der Druck am Punkt 1 kann mittels der Adiabatengleichung T γ p1−γ = const berechnet werden   γ   1.4 T1 γ−1 773 K 1.4−1 p1 = p4 = 454 kPa = 12.5 MPa. (5) T4 300 K Das Volumen kann mit Hilfe der idealen Gasgleichung berechnet werden zu V1 = J nRT1 773 K = 34.6 mol · 8.314 · = 0.018 m3 . p1 mol K 12.5 MPa (6) Der Druck an Punkt 2 berechnet sich wiederum mit der Adiabatengleichung  p2 = p3 T2 T3  γ γ−1  = 25 kPa 773 K 300 K  1.4 1.4−1 = 687 kPa. (7) Alle Ergebnisse sind in Tabelle 1 zusammengefasst. Punkt 1 2 3 4 Druck 12.5 MPa 687 kPa 25 kPa 454 kPa Temperatur 500◦ C 500◦ C 27◦ C 27◦ C Volumen 0.018 m3 0.32 m3 3.45 m3 0.19 m3 Tabelle 1: Carnotprozess c) Die zugef¨ uhrte W¨ arme berechnet sich f¨ ur die isotherme Zustands¨anderung 1 − 2 zu   p1 Q12 = −W12 = p1 V1 ln (8) p2   12.5 MPa 3 (9) = 12.5 MPa · 0.018 m · ln 687 kPa = 653 kJ (10) ¨ Die geleistete Arbeit ist die Summe der zu- und abgefhurten W¨arme W = Q12 + Q34 = 653 kJ + (−250 kJ) = 403 kJ (11) Mit den Ersatzergebnissen ergibt sich Q12 = 649 kJ und W = 399 kJ. d) Der Wirkungsgrad eines Carnotprozesses errechnet sich zu ηC = 1 − T3 = 0.61 T1 (12) 2 Killersatellit a) Nach dem vollkommen inelastischen Stoss hat der Satellitenklumpen die Geschwindigkeit v. Mittels Impulserhaltung erh¨ alt man m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v m1 v1 + m2 v2 ⇒v= m1 + m2 1800 kg · 3080 m s−1 + 600 kg · 3150 m s−1 = 2400 kg −1 = 3097.5 m s (13) (14) (15) (16) b) Die zur Zerst¨ orung verwendete Energie ∆E ist die Differenz der kinetischen Gesamtenergie vor und nach dem Stoss. Es ist 1 1 ∆E = (m1 v12 + m2 v22 ) − (m1 + m2 )v 2 2 2 1 = (1800 kg · 3080 m s−1 × 3080 m s−1 + 600 kg · 3150 m s−1 × 3150 m s−1 ) 2 1 − (2400 kg · 3097.5 m s−1 × 3097.5 m s−1 ) 2 = 1.1025 × 106 J (17) (18) (19) c) Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft: G(m1 + m2 )ME (m1 + m2 )v 2 = (RA + h)2 RA + h (20) GME − RA = 3.516 · 107 m v2 (21) Daraus erh¨ alt man die H¨ ohe h= 3 Pirouetten Ein durchschnittlicher Schlittschuhl¨ aufer, der Pirouetten dreht, l¨asst sich also approximieren durch einen Vollzylinder der Masse M = 100 kg und dem Radius R = 0.25 m sowie durch zwei Massepunkte jeweils der Masse m = 2 kg im Abstand R + d = 1.25 m (Arme ausgestreckt) bzw. im AbstandR (Arme angelegt) von der Symmetrieachse des Zylinders. Das Tr¨agheitsmoment I1 bei ausgestreckten Armen ist dann die Summe der Tr¨agheitsmomente des Vollzylinders und der beiden Massenpunkte: 1 I1 = IVollzylinder + 2 · IMassenpunkt = M R2 + 2m · (R + d)2 = 9.375 kg m2 . 2 Beim Anlegen der Arme reduziert sich das Tr¨agheitsmoment auf den Wert I2 1 I2 = M R2 + 2m · R2 = 3.375 kg m2 . 2 Die anf¨angliche Winkelgeschwindigkeit ω1 betr¨agt bei einer Rotationsperiode von 3 s dann ω1 = 2π 2 = π rad s−1 T 3 I1 · ω1 = I2 · ω2 25 2 50 9.375 kg m2 2 I1 −1 = · πrad s−1 = π rad s−1 · ω1 = 2 · 3 πrad s I2 9 3 27 3.375 kg m −1 ≈ 5.82 rad s → ω2 = Dies ist fast 3 mal schneller als die anf¨ angliche Winkelgeschwindigkeit. (22) (23) (24) 4 Punkt auf Kegel a) Zeichnung: Unten angegebene Kr¨ afte sollen eingezeichnet sein. Kein Punktabzug f¨ ur Vorzeichen von FR , solange konsistent mit Definition und Rechnung. Zentrifugalkraft kann im drehenden Bezugssystem eingezeichnet sein, muss aber nicht. Es werden Polarkoordinaten verwendet. In diesem Koordinatensystem gilt, wenn der Punkt sich auf dem Kegel befindet: r = r0 = konstant und z = konstant, sowie r˙ = r¨ = z˙ = z¨ = 0. Die folgenden Kr¨afte wirken auf den Massenpunkt: • Zugkraft des Seils: F~Z = FZ (− sin θe~r + cos θe~z ) • Die Normalkraft an der Kegeloberfl¨ache: F~N = FN (cos θe~r + sin θe~z ) • Die Gravitationskraft: F~G = m~g = −mg e~z ˙ eT + z˙ e~z ) = −br0 φ~ ˙ eT • Die Reibungskraft: F~R = −b~v = −b(r˙ e~r + rφ~ • Die Beschleunigungskraft: F~B = FB ~eT Anhand von Newtons zweitem Gesetz und der allgemeinen Form der Beschleunigung in Polarkoordinaten k¨ onnen die Bewegungsgleichungen auf den drei Achsen (e~r , ~eT und e~z ) gefunden werden: −mr0 φ˙ 2 = −FZ sin θ + FN cos θ mr0 φ¨ = −br0 φ˙ + FB 0 = FZ cos θ + FN sin θ − mg (25) (26) (27) b) Aus den Gleichungen 25 und 27 ziehen wir die Normalkraft und die Zugkraft, die von φ˙ abh¨angen: FN = −mr0 φ˙ 2 cos θ + mg sin θ (28) FZ = mr0 φ˙ 2 sin θ + mg cos θ ˙ = 0) = 0 finden wir: c) Mit dem gegebenen Ansatz und der Anfangsbedingung φ(t    FB b ˙ φ(t) = 1 − exp − t br0 m d) Der Punkt hebt von der Kegeloberfl¨ache ab wenn die Normalkraft null ist. (29) (30) Aufg. Nr. 5 6 7 8 9 10 11 12 A X B C D X X X X X X X