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Nr. 22.06.2015
Beweisen lehren Zeige a = b. Gibt es eine Idee? - S.v. gleichschenkligen Dreieck - S.v. der Mittelsenkrechten - Kongruenzsätze Zeige α = β. Gibt es eine Idee? Dreieck - Scheitelwinkelsatz - Stufenwinkelsatz (Wechselwinkelsatz) - Kongruenzsätze Freudigmann SS-2015
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Beweisen lehren Zeige Parallelität. Gibt es eine Idee? - Stufenwinkelsatz (Wechselwinkelsatz) - ??? Zeige gleiche Streckenverhältnisse a:b = x:y. Gibt es eine Idee? - ???
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Inhalte: Ähnlichkeitsgeometrie -
Die zentrische Streckung Die Strahlensätze Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Sinus/Kosinus/Tangens im rechtwinkligen Dreieck Der Satz des Pythagoras
Frage: Welche Begründungsbasis?
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Zentrische Streckung Definition: Eine Abbildung, die jedem Punkt P einen Punk P´ zuordnet, heißt zentrische Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k>0, wenn gilt: 1. P´ liegt auf der von Z ausgehenden Halbgeraden und 2. ZP´= k·ZP P´
P Zx
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Zentrische Streckung Eigenschaften der zentrischen Streckung Satz: (ohne Beweis) a) Das Bild einer Gerade ist eine zu ihr parallele Gerade. b) Winkel werden auf gleich weite Winkel abgebildet. c) Strecken werden auf Strecken der k-fachen Länge abgebildet. P´ P Zx
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Damit beweisen: Strahlensätze h
g u v Zx y
x
Zeige: Wenn g parallel h, dann u:v = x:y Beweis: Es gibt eine zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckfaktor k, die g auf h abbildet. Dann gilt: y+ x u x k = v +v u = 1 + uv und k = y = 1 + xy , also v = y Freudigmann SS-2015
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Strahlensätze g
h
g
h
u
u v
y xZ
Z v
y
x
x
Satz 1: Aus g parallel h folgt: Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich wie Abschnitte auf dem anderen Strahl. Die Umkehrung von Satz 1 gilt. Freudigmann SS-2015
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Strahlensätze g
u
u
v
t
s
Z
h
g
h
y xZ
s
t
v
y
x
x
Satz 2: Aus g parallel h folgt: Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die von z aus gemessenen Abschnitte auf einem Strahl. Die Umkehrung von Satz 2 gilt nicht. Freudigmann SS-2015
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Ähnlichkeit Definition: Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn man die eine Figur mit einer zentrischen Streckung so abbilden kann, dass sie zu der anderen Figur kongruent ist. Folgerung In ähnliche Figuren haben - Entsprechende Winkel die gleiche Weite - Entsprechende Strecken das gleiche Längenverhältnis.
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Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Nur der wichtigste Satz) Satz: Wenn zwei Dreiecke drei gleiche Winkel haben, dann sind sie ähnlich, entsprechende Seitenverhältnisse sind also gleich. Und die Umkehrung Satz: Wenn bei zwei Dreiecken entsprechende Seitenverhältnisse gleich sind, dann sind sie ähnlich, also sind die Winkel gleich.
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Sehnensatz Zeige: a·b = x·y Wie kommt man auf eine Beweisidee? → Zu zeigen ist ein Streckenverhältnis a:x = y:b
b y x A
a B
→ In Frage kommt: Strahlensätze Ähnliche Dreiecke Freudigmann SS-2015
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Sehnensatz C
Zeige: a:x = y:b
γ
Beweis: 1. α = α* (Scheitelwinkel) 2. γ = γ* (Umfangswinkel über AB) 3. ▲AZC und ▲DZB haben gleiche Innenwinkel (Winkelsumme) 4. ▲AZC und ▲DZB sind ähnlich
b
x A
α Z y γ* α*
D
a B
(Ähnlichkeitsatz für Dreiecke) 5. a:x = y:b (Ähnlichkeitsatz für Dreiecke) Freudigmann SS-2015
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S. d. Pythagoras (ca.550 v.Ch.) C
Satz: Wenn γ = 90°, dann a2 + b2 = c2. Die Umkehrung gilt ebenfalls.
90° a
b
A
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a
B
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Satzgruppe. d. Pythagoras Analyse: 1. Das Dreieck ABC ist ähnlich zu ▲AHC und ▲HBC Also: 2. Kathetensätze b2 = p·c und a2 = q·c
C 90° γ1 γ2 a
b Höhe h
A
α
p
q H
β
B
c
3. Höhenssatz h2= p·q 4. Aus 2 folgt a2 + b2 = c2
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Verallgemeinerung des S. d. Pythagoras
Zeichnet man über die Seiten eine rechtwinkligen Dreiecks ähnliche Figuren, dann ist der Flächeninhalt der Figuren über den Katheten gleich dem Flächeninhalt der Figur über der Hypotenuse. Freudigmann SS-2015
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