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Sommersemester 2015
TU Dortmund Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Prof. Dr. M. Voit Dipl. Math. S. Glaser Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe
Stochastik I Blatt 9 Abgabe der Hausaufgaben: Mittwoch, 03.06.2015, um 10.15 Uhr, im zugeh¨origen Briefkasten Ihrer ¨ Ubungsgruppe. Aufgabe 1 (5 Punkte) Entscheiden Sie in den folgenden F¨allen, ob der Erwartungswert und/oder die Varianz der folgenden Verteilungen P existieren und berechnen Sie gegebenenfalls die beiden Kenngr¨oßen. a) Es sei P = 31 δ3 + 14 δ4 + 14 δ8 + 61 δ12 . P k b) Es sei P = ∞ k=0 p(1 − p) δk mit p ∈]0, 1[. c) Es sei P die Verteilung mit Dichte f (x) =
1 , π(1 + x2 )
x ∈ R.
Weisen Sie zun¨achst nach, dass durch f tats¨achlich eine Dichte definiert wird. d) Es sei P das Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte x 1 f (x) = √ exp − 1]0,∞[ (x). 2 2xπ Weisen Sie zun¨achst nach, dass durch f tats¨achlich eine Dichte definiert wird. e) Bestimmen Sie den Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung Hs,w,n . (Auf die Berechnung der Varianz kann verzichtet werden.) Aufgabe 2 (4 Punkte) Die Gamma-Funktion ist gegeben durch das uneigentliche Integral: Z ∞ Γ(t) := xt−1 e−x dx (t > 0) 0
a) Zeigen Sie: (i) Γ(t + 1) = t · Γ(t) (t > 0)
(ii) Γ(n + 1) = n! (n ∈ N0 ) b) Es seien α, ν > 0. Bestimmen Sie die Konstante cα,ν , sodass durch ( cα,ν · xν−1 e−αx , falls x > 0 fα,ν (x) := 0, falls x ≤ 0 die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf (R, B(R)) definiert wird. c) Die Zufallsvariable X besitze die obige Verteilung P mit der Dichte fα,ν (x). Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V ar(X). Aufgabe 3 (3 Punkte) F¨ ur eine [0, ∞[-wertige Zufallsvariable X mit Verteilung PX ∈ M 1 (R) sei Z ∞ ety dPX (y) (t ∈ R). GX (t) := 0
Man sagt, dass GX f¨ ur R ≥ 0 existiert, falls GX (t) ∈ R f¨ ur alle t ∈] − ∞, R]. a) Es seien nun X und Y unabh¨angige, [0, ∞[-wertige Zufallsvariablen, sodass GX und GY f¨ ur ein R ≥ 0 existieren. Zeigen Sie: GX+Y (t) = GX (t) · GY (t)
f¨ ur t ∈] − ∞, R].
b) Es sei X eine Zufallsvariable, sodass GX f¨ ur ein R > 0 existiert. Zeigen Sie f¨ ur k ∈ N, dass ∂k = E(X k ). G (t) X k ∂t t=0 c) Bestimmen Sie GX , falls X (i) eine geometrisch verteilte Zufallsvariable ist; (ii) eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0 ist. Aufgabe 4 (4 Punkte) Es sei X eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie f¨ ur t > 0: 2 1 t − t2 P (X > t) > √ e . 2π t2 + 1
Tipp: Betrachten Sie die Funktion d : [0, ∞[ → R, 2 1 t − t2 t 7→ P (X > t) − √ e . 2π t2 + 1
Aufgabe 5 (Bonusaufgabe: Nachklausur 2014) Es sei X eine R-wertige Zufallsvariable mit E(X 2 ) < ∞. Ferner seien λ > 0 und c > 0. a) Zeigen Sie mit Hilfe der Markov-Ungleichung: E [(X − E(X) − c)2 ] P (X − E(X) − c < −λ − c) ≤ . (λ + c)2 b) Zeigen Sie: E [(X − E(X) − c)2 ] = V ar(X) + c2 . c) W¨ahlen Sie die Konstante c geeignet, um P (X < E(X) − λ) ≤
λ2
V ar(X) . + V ar(X)
zu folgern.
¨ Die neuen Ubungsbl atter sowie weitere Information zur Veranstaltung ¨ finden sich auf unserer Homepage: www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2015Sommer/StochI/index.htm
