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¨ Ubungen zur Vorlesung Elementargeometrie“ ” SS 2016
A. Rinc´on, A. Schmitt
¨ Ubungsblatt 11 (letztes Blatt in der Wertung) Abgabe: Bis Dienstag, den 12.07.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Zum Standardmodell der euklidischen Geometrie; 10 Punkte). Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie, Ge die u¨ bliche Menge von Geraden in R2 und e : R2 × R2 −→ R die euklidische Distanzfunktion auf R2 . Beweisen Sie, dass es eine bijektive Abbildung κ : E −→ R2 gibt, die folgende Eigenschaften hat: • ∀g ∈ G: κ (g) ∈ Ge . (Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.) • ∀A, B ∈ E : d(A, B) = e(κ (A), κ (B)). (Die Abbildung κ erh¨alt Abst¨ande.) Aufgabe 2 (Zum Strahlensatz; 3+7 Punkte). Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie und A, B,C, D, P ∈ E nicht kollineare Punkte, so dass • A ∗ P ∗ B, • C ∗ P ∗ D, ← → ← → • ACkBD. a) Fertigen Sie eine Skizze der gegebenen Konfiguration an. b) Es gelte d(B, D) = 15, d(C, P) = 6 und d(D, P) = 10. Bestimmen Sie d(A, P) . d(B, P) ¨ Aufgabe 3 (Der Ahnlichkeitssatz SSS; 10 Punkte). Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie und △ABC und △DEF Dreiecke, so dass d(A,C) d(B,C) d(A, B) = = . d(D, E) d(D, F) d(E, F) Zeigen Sie △ABC ∼ △DEF.
Aufgabe 4 (Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras; 10 Punkte). Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie und △ ⊂ E ein Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c. Es gelte a2 + b2 = c2 . Beweisen Sie, dass △ einen rechten Winkel enth¨alt und c die L¨ange der Seite ist, die dem rechten Winkel gegen¨uberliegt.
