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Seminar zur Vorlesung Physikalische Chemie II Wintersemester 2015/2016 Prof. Dr. Timo Jacob, Institut für Elektrochemie
Übungsblatt 06, Aufgaben 24-27 Seminarwoche 23.-26. November 2015
Aufgabe 24 – Quantenmechanische Aufgaben Der Formalismus der Quantenmechanik ist zunächst für viele Studierende ungewohnt. Das Bearbeiten von einfachen Aufgaben erleichtert den Einstieg in der Regel. Solche Aufgaben (Diskussionsfragen und Leichte Aufgaben) sind z.B. zu finden in Atkins, De Paula, Physikalische Chemie, Wiley VCH. Im Seminar zur Vorlesung PC2 werden oft schwierigere Aufgaben diskutiert. Dabei ist zu beachten, dass die Mathematik nicht Hauptgegenstand, sondern ein sehr gutes Hilfsmittel in der physikalischen Chemie ist. Die zur Verfügung gestellten Lösungshinweise beinhalten manchmal nur Rechenschritte. Alles Weitere/Wichtige soll im Seminar diskutiert werden. Es bietet sich immer an, vor und nach dem Rechnen zu überlegen, was die grundlegenden physikochemischen Gedanken und Schlussfolgerungen sind. Die qualitativen Überlegungen lassen sich mithilfe der Mathematik quantifizieren. Bitte
vergewissern
Sie
sich
bei
den
bisherigen
Aufgaben,
ob
Sie
die
jeweiligen
quantenmechanischen Grundlagen verstanden haben und das Ergebnis einer Rechnung immer deuten können. Aufgabe 25 – Rotation eines starren 2atomigen Moleküls a) Wie ist ein starrer Rotator mit raumfester Achse definiert? b) Die stationäre Schrödinger-Gleichung für einen starren Rotator der Masse m lautet 2 d 2 (s ) E (s ) . Hierbei gibt die Variable s die Position auf einer Kreisbahn mit dem 2m ds 2
Radius r an. Zeigen Sie, dass man mit s r auch schreiben kann:
2 d 2 ( ) E ( ) 2mr 2 d 2
c) Zwei Massen, m1 und m2, bewegen sich auf einer Ebene und sind durch eine masselose Achse starr miteinander verbunden. Der Schwerpunkt sei in Ruhe. Damit haben wir ein einfaches Modell für die Rotation eines 2atomigen Moleküls.
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Wir arbeiten mit der reduzierten Masse
m1m2 1 1 1 bzw. µ µ m1 m2 m1 m2
Für das Trägheitsmoment gilt I µR 2 . R ist der Abstand der beiden Massen. Es gibt zwei Grenzfälle: m1 m2 m m1 m2 2 2 4 4
(i)
m1 = m2: Dann ist R 2r und µ
(ii)
m1 >> m2: Dann ist R r und µ m2
Gehen Sie von der stationären Schrödinger-Gleichung
2 d 2 ( ) E ( ) aus und 2 µR 2 d 2
überzeugen Sie sich von den wichtigsten Überlegungen, die zu den Energieeigenwerten und zu den normierten Eigenfunktionen führen. d) Berechnen Sie Lˆ2
2
2 und bestimmen Sie die Eigenwerte des Operators 2
für das Quadrat des Drehimpulses des starren Rotators. e) Wie groß ist der Erwartungswert für den Drehimpuls für m 0 ? f) Wie groß ist der Erwartungswert des Drehimpulses für einen Zustand der Energie E
m2 2I
2
mit m 0 ?
In diesem Fall gilt allgemein ( ) c1
1 2
eim c2
1 2
e im .
Normieren Sie diese Linearkombination und berechnen Sie den Erwartungswert für Lˆ . Aufgabe 26 – Kommutator Zeigen Sie, dass Lˆx , Lˆy i Lˆz . Was bedeutet das Ergebnis? Aufgabe 27 – Anregung von -Elektronen Schätzen Sie mithilfe der Modelle „Teilchen im 1dim Kasten“ und „Teilchen auf dem Ring“ ab, ob die kleinste elektronische Anregung HOMO-LUMO bei 1,3,5-Hexatrien (linear) oder bei Benzol (kreisförmig) mehr Energie erfordert. Der mittlere C-C-Abstand sei R. Hinweis: EKasten
n 2h2 8mea
; 2
ERing
m2
2
2meR 2
mit m 0, 1, 2, 3...
Im elektronischen Grundzustand besetzen jeweils 6 Elektronen die untersten Zustände nach dem Pauli-Prinzip.
Dr. Ludwig Kibler, 18. November 2015,
[email protected]
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