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Blatt 6 - Mathematisches Institut

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¨ Ubungen zur Vorlesung Analysis f¨ ur Informatiker und Lehramt Abgabetermin: Fr. 25.11.2016 bis 11:00 Uhr Abgabeort: Postfach Radl in Zimmer A 514 Mathematisches Institut Universit¨at Leipzig Agnes Radl Blatt 6 Aufgabe 1 (a) Seien (xn ) und (yn ) Folgen reeller Zahlen, wobei (xn ) bestimmt divergent gegen ∞ und (yn ) beschr¨ankt sei. Zeigen Sie: lim (xn + yn ) = ∞. n→∞ (b) Sei (xn ) ⊆ (0, ∞) eine Nullfolge. Zeigen Sie: lim 1 n→∞ xn = ∞. Aufgabe 2 Sei xk ≥ 0 f¨ ur jedes k ∈ N und sei sn := n X xk , n ∈ N. k=1 Zeigen Sie, dass die Reihe ist. P∞ k=1 xk genau dann konvergiert, wenn die Folge (sn ) beschr¨ankt Aufgabe 3 Welche der folgenden Reihen konvergieren? Begr¨ unden Sie Ihre Antworten. (Es ist nicht verlangt, im Falle von Konvergenz den Grenzwert explizit auszurechnen.) k ∞ ∞ ∞  ∞ X X X X √ 1 1 1 √ √ (a) (i) k (ii) (−1)k+1 √ . (iii) (iv) k k k k=1 k=1 k=1 k=1 k ∞  X k (b) 2k + 1 k=1 ∞ X k! (Hinweis: Bernoullische Ungleichung) (c) kk k=1 Aufgabe 4 Welche der folgenden Reihen konvergieren? Geben Sie im Falle von Konvergenz den Grenzwert explizit an. Begr¨ unden Sie Ihre Antworten. ¨ (Hinweis: Uberlegen Sie zun¨achst, wie jeweils die Folge der n-ten Partialsummen aussieht.) ∞   X √ √ (a) k− k−1 , k=1 (b) ∞ X k=2 2 . k2 − 1 (Hinweis: Bestimmen Sie zun¨achst A, B ∈ R so, dass 2 k2 −1 = A k−1 + B k+1 gilt.)