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Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult¨at Institut f¨ ur Mathematik Unter den Linden 6, D-10099 Berlin Doz.Dr.sc. Werner Kleinert
¨ Ubungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie (SoSe 2016) Serie 7 Abgabe: 15.06.2016 in der Vorlesung Aufgabe 1 (Primzahlen (10 Punkte)). Sei n ∈ N eine nat¨ urliche Zahl mit n ≥ 2. (a) Zeigen Sie, dass n √ genau dann eine Primzahl ist, wenn n von keiner Primzahl p mit p ≤ n geteilt wird. (b) Pr¨ ufen Sie, ob die nat¨ urliche Zahl 2311 eine Primzahl ist. (c) Zeigen Sie, dass folgender Primzahltest gilt: Falls n ∈ N mit n ≥ 2 die Zahl (n − 1)! + 1 teilt, so ist n eine Primzahl. Begr¨ unden Sie, warum dieser Primzahltest praktisch aber wenig n¨ utzlich ist. Aufgabe 2 (Gruppen und Gruppenhomomorphismen (10 Punkte)). (a) Sei (Q, +) die additive Gruppe der rationalen Zahlen mit der u ¨blichen Addition von Br¨ uchen. Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen g : (Z, +) → (Q, +) und finden Sie heraus, ob darunter auch Gruppenisomorphismen sind. (b) Begr¨ unden Sie, warum (Z, +) und (nZ, +) isomorphe Gruppen sind f¨ ur alle n ∈ N. (c) Sei (G, ·) eine beliebige Gruppe, q ∈ Abb(G, G) mit q(x) := x · x und inv ∈ Abb(G, G) mit inv(x) := x−1 f¨ ur alle x ∈ G die Abbildungen ¨ des Quadrierenes bzw. des Invertierens in G. Zeigen Sie die Aquivalenz folgender Bedingungen: (i) (G, ·) ist eine abelsche Gruppe. (ii) q : G → G ist ein Gruppenhomomorphismus. (iii) inv : G → G ist ein Gruppenautomorphismus. Aufgabe 3 (Symmetrische Gruppe (10 Punkte)). Sei n ≥ 2, n ∈ Z und Sn := {π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} : π bijektiv} die symmetrische Gruppe. (a) Stellen Sie die Verk¨ upfungstafeln f¨ ur (S2 , ◦) und (S3 , ◦) auf. 1
(b) Zeigen Sie, dass f¨ ur alle n ≥ 3 die Gruppen (Sn , ◦) nicht kommutativ sind.
Vergessen Sie nicht, 1. die L¨ osungen jeder Aufgabe auf separaten Bl¨attern abzugeben, ¨ 2. alle Bl¨ atter mit Name, Matrikelnummer und Ubungsgruppe zu versehen, ¨ 3. Ihre L¨ osung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Ubung zu begr¨ unden.
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