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Analysis 1 f¨ ur das Informatikstudium Sommersemester 2016 Sch¨ uth ¨ Ubungsblatt 9 Abgabe am 28.6.2016 zu Beginn der Vorlesung
Aufgabe 25.
(6 Punkte)
L¨osen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf, d.h. bestimmen Sie (als explizite Formeln oder Zahlen) alle L¨osungen x ∈ R, wobei in Ausdr¨ ucken loga x per Definition nur x > 0 in Frage kommt: x x (a) 5(7 ) = 3(2 ) (b) (log3 x)2 − 3 log3 x + 2 = 0 (c) xlog2 x + 16x− log2 x = 17
Aufgabe 26. (6 Punkte) P∞ k Sei P (x) = 6 0 f¨ ur alle k ≥ k0 . k=0 ak x eine Potenzreihe. ak+1 Es gebe k0 ∈ N mit ak = Beweisen Sie: Wenn die Folge gegen eine Zahl in R konvergiert oder den ak k≥k0 uneigentlichen Grenzwert ∞ hat, und wenn ak+1 ∈ R ∪ {∞} a := lim k→∞ ak
diesen (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwert bezeichnet, dann gilt f¨ ur den Konvergenzradius R von P : 0, falls a = ∞, ∞, falls a = 0, R= 1 , andernfalls. a P∞ (Tipp: Untersuchen Sie f¨ ur festes x 6= 0 die Konvergenz/Divergenz von k=0 ak xk mit Hilfe der jeweiligen daf¨ ur hinreichenden Bedingung aus dem Quotientenkriterium.)
Aufgabe 27. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: ∞ X 1 xk (a) (k + 1)2 k=0 ∞ X 2k k x (Tipp: Benutzen Sie Aufgabe 26.) (b) k (c)
k=0 ∞ X
k=0
k2 k x 3k
(d) 1 + x + x4 + x9 + x16 + x25 + x36 + . . .
(6 Punkte)
