Transcript
¨ Ubungen zur Vorlesung Elementargeometrie“ ” SS 2016 A. Rinc´on, A. Schmitt
¨ Ubungsblatt 9 Abgabe: Bis Dienstag, den 28.06.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Kongruenzabbildungen; 5+10 Punkte). Es seien (E, G) und (E ′ , G′ ) zwei Inzidenzgeometrien. Eine Abbildung β : E −→ E ′ ist ein Isomorphismus von Inzidenzgeometrien, wenn gilt: • β ist bijektiv, • ∀g ∈ G : β (g) ∈ G′ , d.h., das Bild einer Geraden ist eine Gerade. a) Es seien (E, G, d, w) und (E ′ , G′ , d ′ , w′ ) neutrale Geometrien. Formulieren Sie den Begriff eines Isomorphismus von neutralen Geometrien. b) Es sei (E, G, d, w) eine neutrale Geometrie. Eine Kongruenzabbildung ist ein Isomorphismus β : E −→ E von neutralen Geometrien. Beweisen Sie, dass es zu jeder Geraden g ∈ G genau eine Kongruenzabbildung σg : E −→ E gibt, so dass gilt:1 • ∀P ∈ g : σl (P) = P, • ∀P ∈ E \ g : σl (P) ̸= P. Hinweis. Die gesuchte Abbildung ist anschaulich die Spiegelung an der Geraden g. ¨ Uberlegen Sie sich zun¨achst, wie man die Spiegelung an g mit Hilfe von Loten definiert. Aufgabe 2 (Kongruenzabbildungen im R2 ; 4+4+3+4 Punkte). Es sei φ ∈ [0, 2π ). Die Drehung am Ursprung um den Winkel φ ist die lineare Abbildung ρφ , die durch die Matrix ) ( cos(φ ) − sin(φ ) cos(φ ) sin(φ ) gegeben ist. Es sei c ∈ R2 . Die Translation oder Parallelverschiebung um c ist die Abbildung
τc : R2 −→ R2 v 7−→ v + c. 1 An
dieser Aussage k¨onnen Sie u¨ berpr¨ufen, ob Ihre Definition aus Teil a) angemessen ist.
a) Es sei g ⊂ R2 eine Ursprungsgerade, d.h., (0, 0) ∈ g. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der Spiegelung σg an g bzgl. der Standardbasis von R2 in Abh¨angigkeit des Winkels φ , den g mit der x-Achse einschließt. b) Zeigen Sie, dass man eine Drehung um den Ursprung als Verkn¨upfung von zwei Spiegelungen an Ursprungsgeraden schreiben kann. c) Schreiben Sie eine Translation als Verkn¨upfung von Spiegelungen. d) Schließen Sie, dass man eine Drehung an einem beliebigen Punkt als Verkettung von Spiegelungen schreiben kann. Aufgabe 3 (Kongruenz von Dreiecken; 10 Punkte). Es sei (E, G, d, w) eine neutrale Geometrie. Beweisen Sie, dass zwei Dreiecke △ und △′ genau dann kongruent sind, wenn es eine Kongruenzabbildung β : E −→ E gibt, so dass β (△) = △′ . Hinweis. Benutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 2 als Anschauung.
