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Prof. Dr. Duco van Straten
M. Pauly 7. Übung zur Vorlesung
„Diskrete Mathematik“ im Wintersemester 16/17
Aufgabe 1: (1+1+1 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Werte der eulerschen Phi-Funktion: (a) ϕ(143),
(b) ϕ(450),
(c) ϕ(1001).
Aufgabe 2: (2+2+4 Punkte) (a) Finden Sie eine natürliche Zahl n mit ϕ(n) = 500. (b) Zeigen Sie für n ∈ N,n > 2 ist ϕ(n) gerade. (c) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n kleiner 100 mit ϕ(n) = 64.
Aufgabe 3: (8 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt: n ist eine Primzahl ⇔ (n − 1)! ≡ −1 mod n.
Aufgabe 4: (12 Punkte) In dieser Aufgabe ist K ein Körper mit 4 Elementen, diese nennen wir 0, 1, a, b (insbesondere sind 0, 1, a, b paarweise verschieden). Mit den beiden Verknüpfungen + und · (Addition und Multiplikation). Wir wollen nur mit Hilfe der Körperaxiome die folgenden Additions- und die Multiplikationstabelle von K ausfüllen. + 0 1 a b
0
1
a
b
· 0 1 a b
0
1
a
b
Sie können dabei wie folgt vorgehen: • Begründen Sie, dass gilt 0 · x = x · 0 = 0 für alle x ∈ {0, 1, a, b}. • Überlegen Sie sich, dass in beiden Tabellen in jeder anderen Zeile und Spalte (außer Multiplikation mit 0) jedes der Symbole 0, 1, a, b genau einmal auftaucht. • Zeigen Sie durch Widerspruch a · b 6= a. Nun können Sie die Tabelle für · ausfüllen. • Zeigen Sie durch Widerspruch a+1 = b (Sie werden das Distributivgesetz und ihre schon ausgefüllte Tabelle für · brauchen). Genauso zeigt man b + 1 = a. • Folgern Sie 1 + 1 = 0. • Zeigen Sie nun a + a = 0 = b + b. Nun können Sie die Tabelle für + ausfüllen. Abgabe am Montag, den 12.12. um 12:15 Uhr.
