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SS 2005 Blatt 4
Prof.W. Strauss, F. Schmid
¨ Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik
Aufgabe 21. Ein W¨ urfel werde n-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit f¨allt genau beim n-ten Wurf zum k-ten mal eine Eins (k = 1, . . . , n)? Aufgabe 22. Berechnen Sie unter der Annahme, dass alle Geburtsmonate gleichwahrscheinlich sind, die Wahrscheinlichkeit, dass 1. die Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen. 2. die Geburtstage von 5 Personen in genau 2 Monate fallen. 3. von 8 Personen mindestens 2 im gleichen Monat Geburtstag haben. Aufgabe 23. Ein Produktionsverfahren zur Herstellung von bestimmten elektronischen Bauteilen liefert im Mittel 10% Ausschuß, 50% Produkte zweiter und 40% Produkte erster Wahl. Aus der laufenden Fertigung werden 5 Bauteile entnommen. Unter geeigneten Annahmen (“Ziehen mit Zur¨ ucklegen”) berechne man die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß sich unter den 4 entnommenen Bauteilen 1. ausschließlich Bauteile erster Wahl befinden, 2. kein Ausschuß und h¨ochstens zwei Bauteile zweiter Wahl befinden, 3. mindestens drei Bauteile erster Wahl befinden. Aufgabe 24. Ein Skatblatt besteht aus 32 Karten. Die Karten unterteilen sich in die Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo. In jeder Farbe gibt es die Karte As, K¨onig, Dame, Bube, Zehn, Neun, Acht und Sieben. Beim Skatspiel erh¨alt jeder der drei Spieler zehn Karten. Die restlichen zwei Karten bilden ein Extra-H¨aufchen, das man Skat nennt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur folgende Ereignisse: 1. Jeder Spieler hat genau ein As. 2. Mindestens ein Spieler hat genau zwei Buben. 3. Zwei Spieler haben keinen Buben. Aufgabe 25. Jemand tr¨agt in seiner rechten und linken Hosentasche je eine Streichholzschachtel mit je n Streichh¨olzern. Zum Anz¨ unden einer Zigarette w¨ahlt er zuf¨allig eine Steichholzschachtel aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schachtel noch genau r Streichh¨olzer sind, wenn er aus der anderen Schachtel gerade das letzte Holz herausnimmt?
Aufgabe 26. Schriftlich Ein etwas argloser Brieftr¨ager verteilt n Briefe mit unterschiedlichen Adressen auf die n zuge¨origen Briefk¨asten, allerdings achtet er beim Einwerfen kein bisschen auf die Adresse. Wie gross ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Brief seinen Adressaten erreicht? Zeigen Sie das die Wahrscheinlichkeit f¨ ur n → ∞ gegen 1 − 1e konvergiert. Hinweis: Vielleicht hilft Ihnen die Formel von Poincare-Sylvestre: P
n
∪ Ai =
i=1
n X
X
k=1
1≤i1 <···
