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SS 2005 Blatt 8
Prof.W. Strauss, F. Schmid
¨ Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik Aufgabe 50. Sie X eine reele Zufallsvariable mit der Dichte f : R → R+ . Bestimmen Sie zuerst die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen Y = X 2 . Mit Hilfe der Verteilungsfunktion F bestimmen Sie nun die Dichte g von Z. Aufgabe 51. Sei X eine reele Zufallsvariable. Zeigen Sie auf verschiedene Weisen, dass folgendes gilt: X ≥ 0 und EX = 0 ⇒ P [X = 0] = 1 d.h.: X ist P -fast sicher 0. a) Ben¨ utzen Sie dazu einmal die Definition des Maß-Integrals. Approximieren Sie X durch kn X αin IAni (ω). monoton wachsende Zufallsvariabeln Xn (ω) = i=1 Z Was gilt f¨ ur lim Xn (ω)dP (ω)? Was folgt daraus f¨ ur die Xn ? Und was folgt wiederum n→∞
daraus f¨ ur X? b) Ben¨ utzen Sie dieses mal den Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi). W¨ahlen n X Sie dabei die Xn = X · I[2k 0. Aufgabe 53. schriftlich Eine Pumpe sei ununterbrochen in Betrieb, bis sie ausfalle. Die Zufallsvariable X, die die zuf¨allige Dauer der Funktionsf¨ahigkeit der Pumpe beschreibt, m¨oge stetig verteilt sein mit einer Dichte der Form 2 λ · x · e−λ·x x > 0 f (x) = 0 x≤0 Weiter sei bekannt, dass Pumpen dieser Art im Mittel 100 Stunden laufen, bis sie ausfallen.
a) Wie ist der Parameter λ zu w¨ahlen, damit der Erwartungswert von X gleich der mittleren Laufzeit dieser Pumpen ist? b) Man bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X ≤ 100),
P (X ≤ 200 | X ≥ 100),
P (X ≤ 300 | X ≥ 200).
c) Aus Sicherheitsgr¨ unden tauscht man eine Pumpe, sobald sie 100 Stunden lang ununterbrochen gelaufen ist, gegen eine neue gleichartige aus. Man bestimme die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y , die die Einsatzzeit einer Pumpe beschreibt. (Die Einsatzzeit ist die Zeit, die vergeht, bis die Pumpe entweder ausf¨allt oder aber ausgewechselt wird.) d) Zu ermitteln sind EY , V (Y ). Aufgabe 54. schriftlich Die Pr¨amie einer neugegr¨ undeten Kfz-Versicherung betrage im ersten r Jahr α Euro. Die Pr¨amie soll λ · α Euro (0 < λ < 1) im (r + 1)-ten Jahre betragen, sofern der Versicherungsnehmer in den ersten r Jahren keinen Schadensfall bei der Versicherung angemeldet hat (r ∈ N). Wird in irgendeinem Jahr der Versicherung ein Schadensfall mitgeteilt, dann soll die Pr¨amie in diesem Jahr noch unver¨andert bleiben, im n¨achsten Jahr jedoch wieder auf α Euro hochgesetzt werden. In Bezug auf die Berechnung der Pr¨amien in den folgenden Jahren soll dieses Jahr dann so behandelt werden, als sei es das erste Versicherungsjahr. Wir setzen voraus, dass f¨ ur einen Versicherungsnehmer die Wahrscheinlichkeit, in einem beliebigen Jahr keinen Unfall zu verursachen, konstant gleich q (0 < q < 1) ist. i) Man bestimme den Erwartungswert des Pr¨amienaufkommens eines Versicherungsnehmers im n-ten Jahr. ii) Wie muß die Versicherung λ festlegen, damit der obige Erwartungswert in jedem Jahr den Wert kα (k > 0) u ¨bersteigt? (Hinweis: Dr¨ ucken Sie das Pr¨amienaufkommen im n-ten Jahr als Zufallsvariable Xn aus, die rekursiv von Xn−1 abh¨angt. Der Schadensfall im n-ten Jahr ist nat¨ urlich unabh¨angig von dem Pr¨amienaufkommen. Wenn Sie es in Vorlesung noch nicht gehabt haben, so d¨ urfen Sie dennoch benutzen, dass f¨ ur zwei unabh¨angige Zufallsvariablen X, Y folgendes gilt: E XY = EX EY .)
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