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Institut f¨ ur Theoretische Physik Universit¨ at zu K¨ oln
Prof. Dr. A. Rosch Dr. J. Lux
¨ TPII (Quantenmechanik) — Ubungsblatt 13 http://www.thp.uni-koeln.de/~lux/QMSS16/ Abgabe:
Sommersemester 2016
Mittwoch, 20. Juli 2016
1. Zwei-Teilchen Wellenfunktion (6 Punkte) Zwei identische Teilchen bewegen sich frei mit Impuls p1 und p2 entlang der x-Achse. a) Wie lautet die Zwei-Teilchen Wellenfunktion, φF/B (x1 , x2 ), f¨ ur fermionische (F) und bosonische (B) Teilchen? b) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeitsdichte |φF/B (x1 , x2 )|2 . Bestimmen Sie deren Abh¨ angigkeit von den Differenzen δx = x1 − x2 und δp = p1 − p2 und diskutieren Sie die beiden Grenzf¨ alle δx → 0 und δp → 0. Zum Vergleich: F¨ ur zwei unterscheidbare Teilchen mit den jeweiligen Impulsen p1 und p2 ist die Wellenfunktion gegeben durch φ(x1 , x2 ) = ei(p1 x1 +p2 x2 )/~ und damit |φ(x1 , x2 )|2 = 1.
2. Drei-Teilchen Wellenfunktion (8 Punkte) Betrachten Sie ein Potentialkasten der L¨ange L ( 0 f¨ ur |x| < L/2 V (x) = ∞ f¨ ur |x| > L/2
(1)
und den Ein-Teilchen Hamilton-Operator 2 ˆ 1 = pˆ + V (ˆ H x). 2m
(2)
a) Bestimmen Sie zun¨ achst die Eigenenergien und Eigenfunktionen f¨ ur ein Teilchen im Potential V (x). Nun betrachten Sie drei Teilchen im Potential V . Der Hamilton-Operator lautet nun 2 2 2 ˆ 3 = pˆ1 + pˆ2 + pˆ3 + V (ˆ H x1 ) + V (ˆ x2 ) + V (ˆ x3 ). 2m 2m 2m
(3)
Da es keine Wechselwirkung gibt, k¨ onnen die Viel-Teilchen Eigenfunktionen aus den Ein-Teilchen Eigenfunktionen konstruiert werden. b) Betrachten Sie zun¨ achst drei Bosonen. Welche Ein-Teilchen Zust¨ande sind im Grundzustand wie oft besetzt? Wie lautet die symmetrisierte Wellenfunktion und die Energie des Drei-Bosonen Grundzustandes? c) Betrachten Sie nun drei spinlose Fermionen. Welche Ein-Teilchen Zust¨ande sind im Grundzustand wie oft besetzt? Wie lautet die anti-symmetrisierte Wellenfunktion und die Energie des Drei-Fermionen Grundzustandes?
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3. Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon (6 Punkte) ˆ 1 und S ˆ 2. Betrachten Sie zwei Teilchen, die jeweils einen Spin− 12 tragen mit Spin-Operatoren S Der Spin-Anteil der Wellenfunktion sei gegeben durch einen Singulett Zustand 1 |Ψi = √ (| ↑↓i − | ↓↑i) . 2
(4)
Die Spins in diesem Zustand werden von Alice und Bob gemessen, wobei man annimmt, dass Alice und Bob weit entfernt voneinander sind und Alice nur den ersten Spin und Bob nur den zweiten Spin erh¨ alt. Alice misst zuerst den Spinzustand des ersten Teilchens in Richtung ˆ 1. e = (sin θ, 0, cos θ), d.h, sie misst den Operator e · S ˜ nachdem Alice den a) Wie lautet die nach der Messung kollabierte Wellenfunktion |Ψi, ~ ~ Messwert 2 oder − 2 erh¨ alt? b) Was wird Bob mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer darauf folgende Messung des Spinzustandes des zweiten Teilchens mit Spinoperator Sˆ2z bez¨ uglich der z−Achse messen? Anmerkung: Auf den ersten Blick hat es den Anschein als w¨ urde die Tatsache, dass Alice den Spin in eine bestimmte Richtung gemessen hat, das Ergebnis der Messung von Bob beinflussen. Einstein sprach in diesem Zusammenhang von einer “spukhaften Fernwirkung“ und stellte in einer ber¨ uhmten Arbeit mit Podolsky und Rosen die Frage, ob die Quantenmechanik die Wirklichkeit vollst¨ andig beschreiben kann. Wichtig ist die Beobachtung, dass durch die Messung keine Information von Alice zu Bob u aufiger Wiederholung ¨bertragen wird, d.h. Bob kann selbst bei h¨ des Experiments nicht aus seiner Messung herausfinden, in welche Richtung Alice gemessen hat ¨ (sonst k¨ onnte man Information mit Uberlichtgeschwindigkeit bertragen). Eine genauere Analyse des Experiments (unter Verwendung der sogenannten Bell’schen Ungleichung) zeigt, dass man mit klassischen Wahrscheinlichkeiten und nur lokalen Wechselwirkungen das Experiment nicht erkl¨ aren kann.
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