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Technische Universit¨at Berlin – Institut f¨ ur Theoretische Physik
19. April 2016
Prof. Dr. Tobias Brandes Dr. Judith Lehnert, Dr. Marten Richter, Mathias Hayn, Alexander Kraft Sina B¨ ohling, Jonas Rezacek
¨ 2. Ubungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik Abgabe: Di. 10. Mai 2016 vor der Vorlesung im H¨ orsaal EW 201 Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden Zwischenschritte und ausf¨ uhrliche Kommentare zum Vorgehen erwartet. Daf¨ ur gibt es Punkte! Die Zettel m¨ ussen in 3er-Gruppen abgegeben werden. Bitte geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und das Tutorium an!
Aufgabe 1 (4+2+2+3=11 Punkte): Potential-Streuung Wir betrachten ein st¨ uckweise stetiges Potential V (x) und die L¨osungen der Schr¨odingerGleichung in den jeweiligen Intervallen, a1 eik1 x + b1 e−ik1 x , −∞ < x ≤ x1 V1 , ik2 x + b e−ik2 x , V , a e x 1 < x ≤ x2 2 2 2 ... ... ... ... V (x) = ψ(x) = , ikN x + b e−ikN x , V a e x < x ≤ x N N N N −1 N VN +1 aN +1 eikN +1 x + bN +1 e−ikN +1 x , xN < x < ∞ wobei kj =
q
(2m/~2 ) (E − Vj ).
Wir betrachten den Fall E > V1 , VN +1 , so dass k1 und kN +1 reelle Wellenvektoren sind und ψ(x) laufende, ebene Wellen außerhalb des Streugebiets [x1 , xN ] beschreiben. Wir wollen nun L¨ osungen der SG unter der Streubedingung bN +1 = 0 bestimmen, d.h. wir suchen L¨osungen, die auf der rechten Seite des Streugebiets nach rechts laufen, aber keinen Anteil aufweisen, der von rechts einl¨auft. (a) Benutzen Sie die Stetigkeit von ψ(x) und ihrer Ableitung ψ 0 (x) und zeigen Sie, dass sich zwei Gleichungen ergeben, die sich in der Matrix-Form ai u1 = T 1 u2 , ui = , i = 1, 2, bi mit 1 T = 2k1 1
(k1 + k2 )ei(k2 −k1 )x1 (k1 − k2 )ei(k2 +k1 )x1
(k1 − k2 )e−i(k1 +k2 )x1 (k1 + k2 )e−i(k2 −k1 )x1
schreiben lassen. (b) Zeigen Sie, dass sich die Wellenfunktion auf der linken Seite mit der auf der rechten Seite des Streugebiets mit Hilfe der Transfer-Matrix M verbinden l¨aßt, wobei u1 = M uN +1 ,
M = T 1 T 2 ...T N
und die T i sowie uN +1 analog zu oben zu definieren sind. (c) Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte (siehe Aufgabe 3) und zeigen Sie j(x > xN ) = j(x < x1 ) =
~kN +1 ~ Im(ikN +1 |aN +1 |2 ) = |aN +1 |2 m m h i ~k ~ 1 ∗ −ik1 x ∗ ik1 x ik1 x Im (a1 e + b1 e )ik1 (a1 e − b1 e−ik1 x ) = [|a1 |2 − |b1 |2 ]. m m 1
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x > xN ) beschreibt eine Fluß rechts vom Streugebiet nach x → ∞. Auf der anderen Seite ist j(x < x1 ) auf der linken Seite die Differenz eines einfließenden, positiven Stroms (einfallende Teilchen) und eines ausfließenden, negativen Stroms (reflektierte Teilchen). (d) Der Transmissions-Koeffizient T und der Reflexions-Koeffiziente R sind definiert als das Verh¨ altnis vom Strom der transmittierten bzw. reflektierten Welle zum Strom der einfließenden Welle 2 b1 kN +1 aN +1 2 T := , R := . k1 a1 a1 Zeigen Sie damit, dass kN +1 1 T = , k1 |M11 |2 und T + R = 1
M21 2 R= M11
gilt, wobei Mij die Eintr¨ age der Transfer-Matrix M sind. Aufgabe 2 (3+3+4=10 Punkte): Streuung an Rechteck-Barriere Wir untersuchen die Streuung eines quantenmechanischen Teilchens mit Masse m und Energie E an einer Rechteck-Barriere der H¨ohe V > 0 und Breite 2a, indem wir den soeben hergeleiteten Transfermatrix-Formalismus mit N = 2,
x1 = −a,
x2 = a,
V1 = 0,
V2 = V,
V3 = 0
verwenden. (a) Zeigen Sie, dass f¨ ur das obere linke Element der durch M = T1 T2 gegebenen Transfermatrix 2 k + k22 M11 = e2ik1 a 1 i sin(−2k2 a) + cos(2k2 a) 2k1 k2 gilt und berechnen Sie anschließend das Betragsquadrat |M11 |2 . (b) Bestimmen Sie nun den Transmissionskoeffizienten T f¨ ur die drei F¨alle E < qV , E = V und E > V . Formulieren Sie ihr Ergebnis als Funktion von E/V und α = 2m a2 V . ~2 (c) Skizzieren Sie den Transmissionskoeffizienten T (E) als Funktion der Energie und vergleichen Sie das erhaltene quantenmechanische Resultat mit dem der klassischen Mechanik. Aufgabe 3 (3 Punkte): Kontinuit¨ atsgleichung Leiten Sie aus der Schr¨ odinger–Gleichung die dreidimensionale Version der Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 her: ∂ ρ(x, t) + div j(x, t) = 0. ∂t Zeigen Sie dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j gegeben ist durch j(x, t) =
~ [Ψ∗ (x, t) ∇Ψ(x, t) − Ψ(x, t) ∇Ψ∗ (x, t)] 2im
2
