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Übung 6 zur Vorlesung "Bedienungstheorie" 6.1 Aufgabe Gegeben sei das System M H2 1. Die Verteilungsdichte für die Bedienzeit ist gegeben durch fB HtL =
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Μ e-Μ t +
3 4
H2 ΜL e-2 Μ t
t³0
Bestimmen Sie mit Hilfe der Pollaczek-Khinchine Formel die Zustandswahrscheinlichkeiten pk = PHN = kL HN - die Anzahl der Kunden im SystemL
6.2 Aufgabe Betrachten wir das System M @X D G1 mit Ankunft in Gruppen mit Wahrscheinlichkeit cn = P@XT = nD, dass HaL Zeigen Sie, dass die erzeugte Funktion der Anzahl NHtL der angekommenden im Intervall @0, tD Kunden die Anzahl XT der Kunden, die gleichzeitig eintrifft, k beträgt. ` n Y HzL =e-Λ tH1-CHzLL beträgt, wobei CHzL = Ú¥ n=0 cn z . HbL Zeigen Sie, dass die erzeugte Funktion der Anzahl V HtL der Ankünfte während der Bedienzeit B = t, kann wie folgt angegeben werden ` V HzL = B* HΛ - Λ CHzLL, wobei F * HsL := Ù0¥ e-s t fB HtL â t ist die Laplace-Transformierte der Bedienzeit.
6.3 Aufgabe Gegeben sei das System M G ¥ (die Ankömmling sieht immer einen freien Bediener und wird sofort bearbeitet, d.h. die Verteilungsfunktionen für die Bedienzeit B und für die Verweilzeit Q übereinstimmen BHxL = PHB < xL = PHQ < xL = W HxL
Sei pk HtL = PHNHtL = kL beschreibt die Zustandswahrscheinlichkeiten, wobei p0 H0L = 1 und W = E@QD = E@BD. HaL Beweisen Sie den Satz: -Λ t pk HtL = Ú¥ n=k e
HΛ tLn n!
k 1 n-k n 1 t B Ù0 H1 - BHxLL â xF B Ù0t BHxL â xF t k t
Hinweis: 1 t
t Ù0 BHxL â x -die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bedienzeit eines Benutzeres kleine t ist, unter die
Bedingung, dass seiner Ankunftzeit gleichverteilt auf dem Intervall [0,t] ist. HbL Zeigen Sie, wenn pk = limt®¥ pk HtL, dann gilt pk =
HΛE@BDLk k!
e-ΛE@BD
Hinweis: 2
1 t
t Ù0 BHxL â x -die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bedienzeit eines Benutzeres kleine t ist, unter die
Uebungsblatt6.nb
Bedingung, dass seiner Ankunftzeit gleichverteilt auf dem Intervall [0,t] ist. HbL Zeigen Sie, wenn pk = limt®¥ pk HtL, dann gilt pk =
HΛE@BDLk k!
e-ΛE@BD
6.4 Aufgabe Gegeben sei das H2 M 1 -Warteschlangensystem mit Λ1 = 2, Λ2 = 1, Μ = 2 und Α1 = . 5
HaL Bestimmen Sie Σ. HbL Bestimmen Sie rk . HcL Bestimmen Sie fQ HtL
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HdL Bestimmen Sie W = E@QD
6.5 Aufgabe Gegeben ist ein G M 2 -System. Durch die Belegung von Plätzen in der Warteschlange vor dem Server entstehen Kosten Y mit der folgenden Verteilungsdichte cY HtL = a eb t (a) Bestimmen Sie die mittlere Kosten E@Y D für die Belegung von Plätzen in der Warteschlange (b) Unter welcher Bediengung ist die mittlere Kosten endlich.
6.6 Aufgabe Für ein G M 1 -System ist die Laplance-Transformierte der ZAZ A A* HsL =
2 Μ2
Hs+ΜL Hs+2 ΜL
bekannt. Berechnen Sie Σ, rk Hk = 0, 1, 2, ...L, FQq HtL, FQ HtL und Wq = EAQq E, W = E@QD.
