Transcript
¨ bung zur Vorlesung Statistik I fu¨r U Biowissenschaften WS 2015-2016 ¨ bungsblatt 9 U 14. Dezember 2015 Aufgabe 27 (2 Punkte): Seien X und Y zwei unabh¨angige Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Zeigen Sie, dass Z1 = X + Y und Z2 = X − 2Y nicht unabh¨angig sind. Hinweis: Berechnen Sie zun¨achst die Varianz von Z1 , Z2 und Z1 + Z2 . Aufgabe 28 (4 Punkte): A
Erstellen Sie Stabdiagramme (Argument type=’h’ in plot) der Binomialverteilung f¨ ur p = 0.3 und n = 10, 100.
B
Bestimmen Sie die Ablehnungsbereiche A10 und A100 f¨ ur die zweiseitige Nullhypothese H0 : p = 0.3 (n = 10, 100). Das Signifikanzniveau sei α = 0.1.
C
Sei p1 = 0.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable X ∼ B(p1 , n) Werte in den Ablehnungsbereichen A10 bzw. A100 annimmt?
D
Bestimmen Sie die Ablehnungsbereiche f¨ ur die einseitige Nullhypothese H0 : p ≤ 0.3 (n = 10, 100). Das Signifikanzniveau sei α = 0.1.
Aufgabe 29 (4 Punkte): Es soll gepr¨ uft werden, ob eine M¨ unze fair ist. Dazu wird sie n = 1000 mal geworfen. Das Ergebnis des Experiments sei k = 450 mal “Kopf“. A
Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese H0 .
B
Berechnen Sie den P-Wert P .
C
Auf welchen der Signifikanzniveaus α = 0.1, 0.05, 0.01, 0.001 kann H0 abgelehnt werden?
D
Bestimmen Sie den unteren Ablehnungsbereich f¨ ur das Signifikanzniveau α = 10%.
Aufgabe 30 (6 Punkte): In einer Medikamentenstudie soll gezeigt werden, dass die Heilrate p eines neuen Heilmittels u ¨ber 40% liegt. A
Formulieren Sie eine geeignete Nullhypothese.
B
In die Studie werden zun¨achst nur n1 = 10 Patienten eingeschlossen. Werden von den 10 Patienten nur k1 = 3 oder weniger geheilt, dann wird die Studie abgebrochen und die Nullhypothese wird beibehalten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, die Studie nach dieser Regel abzubrechen, wenn p = 0.6 betr¨agt.
C
Werden von den 10 Patienten mehr als k1 = 3 Patienten geheilt, dann wird die Studie mit zus¨atzlich n2 = 20 Patienten fortgesetzt. Werden schließlich von den insgesamt n = n1 + n2 = 30 Patienten k = 16 oder mehr Patienten geheilt, dann wird die Nullhypothese abgelehnt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die H0 verworfen wird, obwohl p = 0.4 gilt (Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art).
Hinweis: Dieses Studiendesign heißt Simon’s Design und wird oft in Studien mit Heilmittel gegen besonders schwere Erkrankungen eingesetzt. Es erlaubt einen vorzeitigen Abbruch (hier schon nach der Behandlung von nur 10 Patienten). Dadurch wird erreicht, dass ein m¨oglicherweise wirkungsloses Medikament an nur wenigen Patienten getestet wird. Schicken Sie Ihre L¨osung bis sp¨atestens Sonntag, den 3.01.2016 direkt an Ihre(n) Tutor(in):
[email protected] (Ivo Soares Parchao)
[email protected] (Ben Hillmer)
