übung Für 13.11.2015
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July 2018 -
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Prof. N.P. Ernsting Übung Quantentheorie Verteilungen und damit gewichtete Messgrößen 1. Aufgabe: Für eine Bevölkerung sei folgende Altersverteilung P(a) angenommen (a = Alter zwischen 0 und amax): πa P(a ) = N Cos[ ] 2 a max a) Bestimmen Sie den Normierungsfaktor N. b) Berechnen Sie das mittlere Alter, also den Erwartungswert . 2. Aufgabe (Wir arbeiten fortan im cgs ≡ cm g sec System. Abkürzungen: cm, g, s) Wir betrachten einen harmonischen Oszillator (zB Cl-H), wobei die schwingende Masse effektiv 1 amu beträgt und die Wellenzahl ~ν = 3000 cm-1 ist. Die Bindungslänge betrage 100 pm und die Temperatur sei 1000 °C. a) Tragen Sie die potentielle Energie V (am besten in Einheiten 10-10 erg) gegen die Bindungslänge q (am besten in Einheiten pm) auf. b) Wie gross ist die Standardabweichung σ für die Abstandsverteilung bei 25°C, bei 1000°C? c) Berechnen Sie (nach Möglichkeit analytisch). d) Berechnen Sie (nach Möglichkeit analytisch). Wieviel Einheiten kB T sind das? 3. Aufgabe Wir betrachten allgemein den Harmonischen Oszillator und konzentrieren uns nun auf die kinetische Energie, die diesmal Kin heissen soll (damit wir sie nicht mit der Temperatur T verwechseln). Der Impuls sei p. a) Schreiben Sie eine Formel auf für die klassische, thermische Verteilung P(p). b) Geben Sie an! c) Berechnen Sie (nach Möglichkeit analytisch)
. Wieviel Einheiten kB T sind das? 4. Aufgabe: Wir betrachten die Torsion einer Methylgruppe Y-X-CH3 als "3facher Propeller" gegenüber dem festen Y-X Rahmen (Y-X-C sei gewinkelt), mit der Drehachse X-C. Der CH Bindungsabstand sei 1 Å, der X-C-H Winkel sei 120°. Der Tetrahedralwinkel für Y-X-C-H1 werde mit α bezeichnet. Für α=0 liege die (ekliptische) Konformation mit minimaler potentieller Energie (V(0) =0) vor. a) Geben Sie das Trägheitsmoment I für die innere Torsion an! b) Die maximale potentielle Energie sei Vmax = 6 10-14 erg. Geben Sie eine Formel für V(α) an! c) Betrachten Sie nun eines der drei (gleichwertigen) Minima, zB das um α=0. V(α) ist hier näherungsweise quadratisch (Cos quadratisch entwickeln...). Was ist - näherungsweise die Wellenzahl für die Torsion? 1