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TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl. Inf. F. Abu Zaid SS 2016
1. Übung Logik und Logikprogrammierung Abgabe : bis Montag, den 11.04.2016 um 09:00 Uhr am Lehrstuhl bzw. vor der Vorlesung. Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an. Aufgabe 1
4 Punkte
Emil hat seine Freunde Anne, Bernd, Christiane und Dirk auf eine Party eingeladen. Leider gibt es dabei einige Komplikationen. • Anne ist in Bernd verliebt und kommt nur mit, wenn Bernd auch kommt. • Bernd ist jedoch in Christiane verliebt und kommt nur, wenn Christiane auch kommt. • Zudem ist auch Dirk in Christiane verliebt und falls Christiane kommt, kommt Dirk auch. • Wenn Dirk mitkommt, wird er auf jeden Fall Anne oder Bernd mitbringen. • Christiane ist die Situation peinlich und falls sowohl Bernd als auch Dirk mitkommen, kommt Christiane nicht mit. (a) Formalisieren Sie die gegebenen Sachverhalte durch aussagenlogische Formeln. Hinweis: die Motivationsgründe der einzelnen Personen können dabei vernachlässigt werden. Verwenden Sie die atomaren Formeln A für “Anne kommt mit”, B für “Bernd kommt mit”, C für “Christiane kommt mit” und D für “Dirk kommt mit”. (b) Zeigen Sie, dass keiner der vier Freunde Emil zur Party begleitet. Aufgabe 2
2 Punkte
Sei P = {p1 , . . . , pn } eine endliche Menge atomarer Formeln. Wir können die Menge AL(P ) der aussagenlogischen Formeln über den atomaren Formeln aus P als eine formale Sprache über dem Alphabet Σ = {⊥, ∧, ∨, →, ¬, (, )} ∪ P auffassen. (a) Zeigen Sie, dass AL(P ) nicht regulär ist. (b) Zeigen Sie, dass AL(P ) jedoch kontextfrei ist, indem Sie eine kontextfreie Grammatik angeben, die AL(P ) erzeugt. Aufgabe 3
4 Punkte
(a) Wir betrachten die folgende Deduktion (vgl. Beispiel auf den Folien 27ff).
AK ∨ BK
[AK] AK → BK BK [BK] BK BK ∧ RL
RL (BK ∧ RL) → ¬AK ¬AK
Geben Sie für jeden Deduktionsschritt die verwendete Regel an. (b) Zeigen Sie, dass ((A ∧ B) → C) → ((A → B) → (A → C)) ein Theorem ist. http://www.tu-ilmenau.de/al/lehre/ss-2016/logik-und-logikprogrammierung/
Aufgabe 4
4 Punkte
Wir erweitern die Aussagenlogik um den zweistelligen Operator ↔ (. . . genau dann, wenn . . . ). (a) Überlegen Sie sich, wie Sie eine Aussage “ϕ genau dann, wenn ψ “ beweisen bzw. in einem Beweis verwenden würden und geben Sie entsprechende Regeln (↔ I) und (↔ E) an. (b) Verwenden Sie die Regel aus Aufgabenteil (a), um zu zeigen, dass ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) ein Theorem ist. Die folgende Aufgabe ist zum Selbststudium und wird nicht bewertet: Aufgabe 5 In einem Einstellungstest bekommen die Bewerber acht Kästchen vorgesetzt, in die sie jeweils entweder ein Kreuz oder einen Kreis zeichnen müssen. Keines der Felder darf frei bleiben.
Um die Aufgabe zu lösen, bekommen sie einen Zettel mit folgenden Hinweisen: 1. Wenn sich im vierten, fünften und sechsten Kästchen insgesamt mehr als ein Kreuz befindet, sind Sie durchgefallen. 2. Wenn im dritten, fünften und siebten Kästchen jeweils ein Kreuz ist, sind Sie durchgefallen. 3. Wenn Sie in das erste Kästchen einen Kreis, in das zweite Kästchen ein Kreuz und in das fünfte Kästchen wieder einen Kreis gezeichnet haben, sind Sie durchgefallen. 4. Wenn Sie weder in das zweite, noch in das fünfte, noch in das achte Kästchen ein Kreuz gezeichnet haben, sind Sie durchgefallen. 5. Wenn sich im vierten, fünften und siebten Kästchen je ein Kreis befindet, sind Sie durchgefallen. 6. Wenn Sie sowohl in das zweite als auch in das vierte Kästchen einen Kreis gezeichnet haben, sind Sie durchgefallen. 7. Wenn mehr als fünf Felder mit einem Kreuz gefüllt wurden, sind Sie durchgefallen. 8. Wenn sich im vierten und im sechsten Kästchen je ein Kreis befindet, im siebten aber ein Kreuz, sind Sie durchgefallen. 9. Wenn das dritte und das siebte Kästchen unterschiedlich gefüllt sind, sind Sie durchgefallen. 10. Wenn sich weder im ersten noch im sechsten noch im achten Kästchen ein Kreuz befindet, sind Sie durchgefallen. 11. Wenn sich weder im dritten, noch im vierten, noch im sechsten Kästchen ein Kreis befindet, sind Sie durchgefallen. 12. Wenn sowohl im ersten als auch im fünften als auch im sechsten Kästchen je ein Kreis gezeichnet ist, sind Sie durchgefallen. 13. Wenn sich im vierten, sechsten und achten Kästchen insgesamt mehr als ein Kreis befindet, sind Sie durchgefallen. http://www.tu-ilmenau.de/al/lehre/ss-2016/logik-und-logikprogrammierung/
14. Wenn Sie sowohl in das dritte als auch in das siebte Kästchen einen Kreis gezeichnet haben, sind Sie durchgefallen. 15. Wenn mehr als fünf Felder mit einem Kreis gefüllt wurden, sind Sie durchgefallen. 16. Wenn sich im zweiten und im vierten Kästchen je ein Kreuz befindet, sind Sie durchgefallen. Füllen Sie die Kästchen entsprechend den Regeln 1 - 16. Geben Sie dabei eine Herleitung ihrer Lösung aus den Regeln an.
http://www.tu-ilmenau.de/al/lehre/ss-2016/logik-und-logikprogrammierung/
