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Prof. Dr. Rainer Dahlhaus Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Wintersemester 2015/2016
2. Übungsblatt Aufgabe 5 (Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit, 4 = 1 + 1 + 1 + 1 Punkte). Nehmen Sie für die folgende Aufgabe an, dass es gleichwahrscheinlich ist, ob ein Junge oder Mädchen geboren wird, und an welchem Wochentag dies geschieht. Sie wissen, dass Anne zwei Kinder hat, die keine Zwillinge sind. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit, wenn (a) Sie keine zusätzlichen Informationen haben. (b) Sie Anne mit einem ihrer Kinder treffen, welches ein Junge ist. (c) Sie Anne mit einem ihrer Kinder treffen, welches ein Junge ist, und Anne sagt: "Das ist mein erstgeborenes Kind". (d) Sie Anne mit einem ihrer Kinder treffen, welches ein Junge ist, und Anne sagt: "Er ist an einem Sonntag geboren worden". Hinweis: Definieren Sie Ereignisse A1 := "Das erste Kind von Anne ist ein Junge", B1 := "Das erste Kind von Anne wurde an einem Sonntag geboren", und analog A2 , B2 für das zweite Kind. Drücken Sie dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten als bedingte Wahrscheinlichkeiten mit den Ereignissen A1 , B1 , A2 , B2 aus. Nehmen Sie dazu an, dass die vier Ereignisse gemeinsam stochastisch unabhängig sind. Aufgabe 6 (Anwendung der Formel von Bayes und der totalen Wahrscheinlichkeit, 4 = 2 + 2 Punkte). In London regnet es an einem Tag mit Wahrscheinlichkeit 21 . Die Wettervorhersage stimmt in 2 aller Fälle1 . Wenn Regen vorhergesagt ist, nimmt Mr. Pickwick einen Schirm mit; ist kein 3 Regen vorhergesagt, tut er dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 13 . (a) Es regnet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Mr. Pickwick keinen Schirm dabei? (b) Es regnet nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Mr. Pickwick seinen Schirm dabei? Hinweis: Definieren Sie zunächst R, V, S als die Ereignisse, dass es regnet, dass die Wettervorhersage stimmt, und dass Mr. Pickwick seinen Schirm mitnimmt. Drücken Sie dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten als bedingte Wahrscheinlichkeiten mit R, V, S aus. Es kann hilfreich sein, zur Übersicht ein Baumdiagramm mit den bekannten Wahrscheinlichkeiten anzufertigen. Das bedeutet: wenn es regnet, stimmt die Vorhersage mit Wahrscheinlichkeit 23 , und wenn es nicht regnet, stimmt die Vorhersage mit Wahrscheinlichkeit 23 . 1
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Aufgabe 7 (Stochastische Unabhängigkeit, 4 = 1 + 1 + 2 Punkte). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A, B, C ∈ A. (a) Zeigen Sie, dass die Ereignisse ∅ und Ω von jedem Ereignis A stochastisch unabhängig sind. (b) Zeigen Sie: Sind A, B, C gemeinsam stochastisch unabhängig, so sind sowohl A ∩ B und C als auch A ∪ B und C jeweils stochastisch unabhängig. (c) Ein Würfel, bei welchem die Augenzahlen von 1 bis 6 gleichwahrscheinlich sind, werde zweimal unabhängig voneinander geworfen. Wir definieren die folgenden Ereignisse: A = "Die erste Augenzahl ist gerade", B = "Die zweite Augenzahl ist gerade", C = "Die Summe der Augenzahlen ist ungerade". Zeigen Sie, dass die Ereignisse A, B, C paarweise stochastisch unabhängig (d.h. immer zwei der Ereignisse sind stochastisch unabhängig), aber nicht gemeinsam stochastisch unabhängig sind.
Aufgabe 8 (Diskrete Verteilungen, 4 = 2 + 1 + 1 Punkte).
(a) Man zeige, dass sich die Zähldichte der hypergeometrischen Verteilung mit Parametern (N, M, n) für N, M → ∞ und M/N → p durch die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern (n, p) approximieren lässt. (b) Ein Insekt legt 100 Eier, die sich unabhängig voneinander entwickeln. Aus jedem Ei schlüpft mit Wahrscheinlichkeit 0.01 ein Nachkomme. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 2 Nachkommen gibt? Geben Sie einmal die exakte Wahrscheinlichkeit an, und einmal die Wahrscheinlichkeit unter Nutzung der Approximation durch eine Poisson-Verteilung. (c) In einem See befinden sich 1000 Fische, von denen 200 Karpfen sind. Es werden nun (unabhängig voneinander) 10 Fische gefangen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 2 Karpfen sind? Geben Sie einmal die exakte Wahrscheinlichkeit an, und einmal die Wahrscheinlichkeit unter Nutzung der Approximation aus (a). Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 29. Oktober 2015, 09:15 Uhr vor Beginn der Vorlesung. Homepage der Vorlesung: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/EWTS/index.html
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