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Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt
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Versicherungstechnik Übungsblatt 4 Abgabe bis zum Dienstag, dem 10.11.2015 um 10 Uhr im Kasten 19 Aufgabe 12 Ihnen liegt eine sog. Ausscheideordnung vor, die den Abbau einer bestimmten Personengesamtheit beschreibt. Im Speziellen wird hier nur der „Austritt“ auf Grund der Ausscheideursache Tod betrachtet. a) Beschreiben Sie bitte kurz, was die abgebildeten biometrischen Größen lx , dx , qx , px und e0x bedeuteten und wie sie sich berechnen lassen. b) Zeigen Sie, dass für die Größe n px , welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein x-jähriger Mann nach n Jahren noch lebt (sog. n-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit), gilt n px
=
lx+n . lx
Gehen Sie insbesondere auf die Werte 0 px und 1 px ein. c) Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit n| qx , als x-Jähriger im Alter von x + n Jahren zu sterben (sog. um n Jahre aufgeschobene Sterbewahrscheinlichkeit) berechnen? (1,5 Punkte) Aufgabe 13 Erläutern Sie bitte den Begriff „Sterbetafel“ und überlegen Sie sich, welche Methoden für ihre Erstellung herangezogen werden können. Sehen Sie Vor- bzw. Nachteile in Ihren Verfahren? (2,5 Punkte)
Aufgabe 14 Sie sind angestellt in der mathematischen Abteilung eines Versicherungsunternehmens. Um für die Tarifgestaltung die Berechnungen zu erleichtern, sollen einige wichtige „einfache“ Barwerte von Leibrenten als neue Funktionen in Ihrem Berechnungsprogramm zur Verfügung gestellt werden. Insbesondere möchten Sie auf die umständlichen Summationen je Wert möglichst verzichten – so weit das geht. Dazu definieren Sie Dx := lx · v x ,
Nx :=
ω−x X
Dx+t
t=0
als so genannte „diskontierte Zahl der Lebenden“ bzw. „Summe der diskontierten Zahl der Lebenden“. Weiterhin soll durch Sx :=
ω−x X
Nx+t
t=0
die „doppelt diskontierten Zahlen der Lebenden“ definiert werden. Leiten Sie bitte ausführlich her, wie Sie nun mit Hilfe der so genannten Kommutationszahlen für Versicherungen auf ein Leben und einer Ausscheideursache (Dx , Nx und Sx ) die folgenden Ihnen aus Aufgabe 9 bekannten Barwerte darstellen können: a) Barwert a ¨x einer vorschüssig, lebenslänglich zahlbaren, sofort (mit dem Alter x) beginnenden Leibrente vom Betrag 1, b) Barwert ax bei nachschüssigen Zahlungen, c) Barwerte n| ax bzw. n| a ¨x für Leibrenten, die erst in n Jahren (also aufgeschoben) einsetzen, d) Barwerte ax, n bzw. a ¨x, n für Leibrenten, die sofort beginnend n Jahre lang gezahlt werden, e) Barwerte (I¨ a)x bzw. (Ia)x für lebenslänglich zahlbare, sofort (mit dem Alter x) beginnende Leibrenten, die jährlich um den Betrag 1 steigen. (3 Punkte)
Aufgabe 15 Betrachten Sie die in einer der vorangehenden Aufgaben eingeführten Kommutationszahlen. a) Gibt es eine anschauliche Interpretation für Dx und für Nx ? b) Mit Cx := v x+1 ·(lx −lx+1 ) = v x+1 ·dx = v x+1 ·lx ·qx bezeichnet man weitere Kommutationszahlen als „die diskontierte Zahl der Toten“. Finden Sie einen funktionalen Zusammenhang zwischen Cx und Dx , der ohne sonstige biometrische Größen formuliert ist. c) Die Kommutationszahlen lassen sich rekursiv berechnen. Bestimmen x ∈ {0, . . . , ω} bitte ausgehend von D0 = l0 eine Rekursionsvorschrift für Dx .
Sie
für
d) Ermitteln Sie ebenfalls eine Rekursionsvorschrift für die summierte diskontierte Zahl der Lebenden Nx mit x ∈ {0, . . . , ω}. (2 Punkte)
